1、考研数学三（微积分）模拟试卷 192 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数3.28设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f + (a)与 f (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x
2、=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导4.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条5.设 y(x)是微分方程 y+(x1)y+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F
3、(x)x 2 ，则 f0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.在区间1，1上的最大值为 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f x (1，2)=1，f y (1，2)=4，则 f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 =a0，令 a n = 1 n f(x)dx证明：
4、a n 收敛且 0 （分数：2.00）_15.求极限 （分数：2.00）_16.求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_17.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 =(e a +e b )f()+f()（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_19.设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(001)证明： （分数：2.00）_20.设 F(x)
5、为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_21.设 f(x)在(，+)上有定义，且对任意的 x，y(，+)有f(x)f(y)xy证明： a b f(x)dx(ba)f(a) （分数：2.00）_设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_(2).若 （分数：2.00）_22.设 且 D：x 2 +y 2 2x，求 （分数：2.00）_23.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_24.求幂级数 （分数：2.00）_25.设 u 0 0，且 （分数：2.00）_26.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速
6、度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 192 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00
7、）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f(0)0，所以 根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有3.28设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f + (a)与 f (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解析：因为 f + (a)存在，所以 4.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2
8、 条D.3 条 解析：解析：因为 无水平渐近线； 由 有两条铅直渐近线； 由5.设 y(x)是微分方程 y+(x1)y+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程 y+(x1)y+x 2 y=e x 中，令 x=0，则 y(0)=2，于是 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 x sin(xt) 2 dt x 0 sinu 2 (du)=sinu 2 du，则 7.= 1 （分数：2.0
9、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则 f0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F(x)=x 2 0 x f(t)dt 0 x t 2 f(t)dt，F(x)=2x 0 x f(t)dt， 因为当 x0时，F(x)x 2 ，所以 9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.在区间1，1上的最大值为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
10、：ln3）解析：解析：令 时，I(x)0，当 为 I(x)在1，1上的最小值点，又11.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f x (1，2)=1，f y (1，2)=4，则 f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)=t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf x (6tx，ty)+yf y (tx，ty)=3t 2 f(x，y)，取 t=1，x=1，y=2 得 f x (1，2)+2f y (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=3.12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：正确答案：2）解析：解析： 0 f(x)dx= 0 dx 0 x 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 =a0，令 a n = 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 a n+1 a n =f(n+1) n n+1 f(x)dx=f(n+1)f()0(n，n+1)所以a n 单调减少因为 a n = f(k)f(x)dx+f(n)，而 k k+1 f(k)f(x)dx0(k
12、=1，2，n1)且 所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 存在由 a n =f(1)+f(2) 1 2 f(x)dx+f(n) n1 n f(x)dx，而 f(k) k1 k f(x)dx0(k=2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：15.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求 f(x)的间断点并分类 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，1，2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(00)f(0+0)，所以=0 为跳跃间断点； 由 得 x=
13、02 为可去间断点； 当 x=k(k=1，3，4，)时， 由得 x=k(k=1，3，4，)为第二类间断点； 由 )解析：17.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 =(e a +e b )f()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 再由 f(a)=f(b)=1，得 =e f()+f()， 从而 =(e a +e b )e f()+f()， 令 (x)=e 2x ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：18.设 f(x)在0，1上二阶可导
14、，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e x f(x)一 f(x)且 e x 0，所以方程 f(c)f(c)=0 在(0，1)内有根)解析：19.设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(001)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ 其中 介于 x 与 x+
15、h 之间由已知条件得 两边同除以 h，得 )解析：20.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 由 F(0)=1，F(x)0，得 )解析：21.设 f(x)在(，+)上有定义，且对任意的 x，y(，+)有f(x)f(y)xy证明： a b f(x)dx(ba)f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(ba)f(a)= a b f(a)dx 所以 a b f(x)dx(ba)f(a)= a b f(x)f(a)dx a b f(x)f(a)dx a b (xa)dx= )解析：设 u=u(x，y，
16、z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 从而 )解析：22.设 且 D：x 2 +y 2 2x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：23.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(z，Y)0zR，0YR， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2R 2 ，x0，Y0 (x，y)=e (x2+y2) ， 因为 (x，y)=e (x2+y2) 0 且 D 1
17、D 2 ， 于是 令 R+同时注意到 0 R e x2 dx0，根据夹逼定理得 0 + e x2 dx= )解析：24.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 幂级数 的收敛半径为 当 发散， 所以 幂级数 当发散， 所以 )解析：25.设 u 0 0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 q1 时，取 所以存在 N0，当 nN 时， 而 收敛 当 ql时，取 所以存在 N0，当 nN 时， 所以有 )解析：26.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R x =k x v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y v 2 ，摩擦力为 w=(mgR y )，由牛顿第二定律，有 记 B=g，显然 A0，故有 分离变量得 又当 t=0 时， 所以当 v=0 时， )解析：
