1、考研数学三（微积分）模拟试卷 191 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 k0，则函数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.= 1 （分数：2.00）填
2、空项 1:_6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.差分方程 y t+1 2y t =32 t 的通解为 y(t)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17
3、，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x tf(t 2 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)（分数：2.00）_15.求极限 （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f(x) （分数：2.00）_18.求由方程 x 2 +y 2 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_19.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1
4、 ，a n 且 f(a 2 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(，+)有f(x)+f(x)1.证明：f(x)1（分数：2.00）_22.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：In 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.设
5、 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_25.设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_26.证明： （分数：2.00）_27.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_28.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 191 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(
6、总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为4.设 k0，则函数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 得 x=e，当 0xe 时，f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点
7、的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 0 x tf(xt)dt x 0 (xu)f(u)(du)=x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du， 0 x tan(xt) 2 dt x 0 arctanu 2 (du)= 0 x arctanu 2 du， 则 7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）
8、填空项 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析：因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续， 于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f+xf+x y1 g 1
9、 +yx y1 lnxg 1 +yx 2y1 lnxg 11 +2y 2 x y1 g 12 +2x y+1 lnxg 21 +4xyg 22 .）解析：解析：由 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yx y1 g 1 (x y ，x 2 +y 2 )+2xg 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 11.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 1)）解析：解析： u x f(u 2 v 2 )dv= u 1 f(u 2 v 2 )d(u 2 v 2 )= 0 u21 f(t)dt， 则
10、0 x du u 1 vf(u 2 v 2 )= 0 x du 0 u21 f(t)dt= 0 x21 f(t)dt， 12.差分方程 y t+1 2y t =32 t 的通解为 y(t)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y t+1 2y t =0 的通解为 y(t)=C2 t ，f(t)=32 t ，因为 2 为特征值，所以设特解为 y t * =at2 t ，代入原方程得 ，故原方程的通解为 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，F
11、(x)= 0 x tf(t 2 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= 0 x tf(t 2 x 2 )dt= 0 x f(t 2 x 2 )d(t 2 x 2 ) 则 n2=2，n=4，且 )解析：15.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上连续，故f
12、(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时， M=f(x 0 )=f(x 0 )一 f(0)=f()x 0 f() )解析：18.求由方程 x 2 +y 2 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据隐函数求导数法，得 令 得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 )解析：19.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 2 )=f(a
13、2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立；设 c 为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 构造辅助函数 (x)=f(x)k(xa 1 )(x 2 )(x n )，显然 (x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0，由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n1 ，a n )，使得 ( 1 (1)
14、)=( 2 (1) )=( n (1) )=0，(x)在(a 1 ，a n )内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n1) (c 1 )= (n1) (c 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a n )，使得 n ()=0而 n (x)=f n (x)n!k，所以 f n ()=n!k，从而有 )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：21.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(，+)有f(x)
15、+f(x)1.证明：f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 (x)=e x f(x)+f(x)， 由f(x)+f(x)1得(x)e x ，又由 f(x)有界得 ()=0，则 (x)=(x)()= x (x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) x (x)dx x e x dx=e x ，所以f(x)1)解析：22.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：In 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=lnt(t0)， )解析：设 （分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0
16、)处是否连续?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 +y 2 2x+2y1 可化为 D：(x1) 2 +(y1) 2 1，令 0t2，0r1，则 (x+y 2 )dxdy= 0 2 dt 0 1 (1+rcost+1+2rsint+r 2 sin 2 t)rdr= )解析：24.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx
17、 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 f 2 (x)dx， 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 f(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)f(y)dy， 根据对称性，I= 0 1 dx 0 1 xf(x)f(y)f(y)f(x)dy， 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(yx)f(x)f(y)dy， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(yx)f(x)f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以 )解析：25.设
18、 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=x+y 得 y=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y(0)=2，根据麦克劳林公式，有 因为 )解析：26.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数的收敛域为(，+)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) y=0 y (4) y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e x +C 3 cosx+C 4 sinx，由 S(0)=1，S(0)=S(0)=S(0)=0得 C 4 =0，故和函数为 )解析：27.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其
19、上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得 令 arctanp=C 1 x 因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 P x=0 =1，从而 y= 因为曲线过点(0，1)，所以 所求曲线为 因为 )解析：28.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 两边积分，得 由 y()=0，得c 0 =x 0 k ， 从而 当 k1 时， 由 y(x 1 0)=0，得 则 B 的轨迹方程为 当 k=1时，B 的轨迹方程为 )解析：
