1、考研数学三（微积分）模拟试卷 190 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 bx 2 cx 0 ln(12x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.aB.aC.aD.a 为任意常数，b2，c03.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在
2、 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f(x)在 xx 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点5.累次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x,y)dyD. 0 1 dx 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x)连续，且 （分数：2
3、.00）填空项 1:_7.设 f(x)满足 f(x)f(x2)，f(0)0，又在(1，1)内 f(x)x，则 f （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 yy(x)满足y （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求函数 yln(x （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)1(x0，1)，又
4、f(0)f(1)，证明：f(x)（分数：2.00）_16.证明：当 x0 时，(x 2 1)lnx(x1) 2 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_20.证明：当 x0 时，f(x) 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_21.设 zz(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_22.计算 I （分数：2.00）_
5、23.设 a n tan n xdx (1)求 (a n a n2 )的值； (2)证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_24.求幂级数 （分数：2.00）_25.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)2f(x)3 0 x f(tx)dt3x2，求 f(x)（分数：2.00）_26.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 190 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
6、项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 bx 2 cx 0 ln(12x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.aB.aC.aD.a 为任意常数，b2，c0 解析：解析：因为 ax 3 bx 2 cx 0 ln(12x) sintdt， 3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令4.下列说
7、法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f(x)在 xx 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令 f(x) f(0)0，但5.累次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x,y)dyD. 0 1 dx 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设
8、 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 0 x tf(xt)dt x 0 (xu)f(u)(du)x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du， 0 x arctan(xt) 2 dt 0 x arctanu 2 du， 7.设 f(x)满足 f(x)f(x2)，f(0)0，又在(1，1)内 f(x)x，则 f （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(1，1)内 f(x)x， 所以在(1，1)内 f(x) 由 f(0)0 得 f(x)8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
9、：*）解析：解析：9.设函数 yy(x)满足y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 r tf(r 2 t 2 )dt 0 r (r 2 t 2 )d(r 2 t 2 ) 0 r2 f(u)du， cos(xy)dr 2 cos()， 原式 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求函数 yln(x （分数：
10、2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)ln(x )， 因为 f(x)ln f(x)， 所以函数yln(x )为奇函数，于是 即函数 yln(x )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)1(x0，1)，又 f(0)f(1)，证明：f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)f(x)f(x)x f( 1 )x 2 (0，x)， f(1)f(x)f(x)(1x) f( 2 )(1x) 2 ， 2 (x，1)， 两式相减，得 f(x) f( 1 )x 2 f( 2 )(1x) 2 两边取绝
11、对值，再由f(x)1，得 f(x) x 2 (1x) 2 )解析：16.证明：当 x0 时，(x 2 1)lnx(x1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)(x 2 1)lnx(x1) 2 ，(1)0 (x)2xlnxx2 ，(1)0(x)2lnx1 ，(1)20 (x) 则 故x1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值 点，而最小值为 (1)20，故 (x)0(x0) )解析：17.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 1f(0)f(1) ， 1 (0,1)， f(2
12、)f(1) , 2 (1,2)， 两式相减，得 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 k f(x)dx )解析：20.证明：当 x0 时，f(x) 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f(x)(xx 2 )sin 2n x0 得 x1，xk(k1，2，)， 当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0(除 xk(k1，
13、2，)外 f(x)0)， 于是 x1 为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx， 所以当 x0，1时，(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n x 2n1 x 2n2 ， 于是 f(x)f(1) 0 1 (xx 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n1 x 2n2 )dx )解析：21.设 zz(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 a n tan n xdx (1)求 (a n a n2 )的值； (2)证明：对任意常数
14、0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)a n a n2 ， )解析：24.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然该幂级数的收敛区间为1，1， 而 xln(1x)(1x1)xxln(1x)(1x1) 则 S(x)x(1x)ln(1x)(1x1). 当 x1 时，S(1)1， 所以 S(x) )解析：25.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)2f(x)3 0 x f(tx)dt3x2，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(tx)dt 0 x f(tx)d(xt) x 0 f(u)du 0 x f(u)du， 则有 f(x)2f(x)
15、3 0 x f(u)du3x2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数， 于是f(0)0，代入上式得 f(0)1 将 f(x)2f(x)3 0 x f(u)du3x2 两边对 x 求导数得 f(x)2f(x)3f(x)3， 其通解为 f(x)C 1 e x C 2 e 3x 1，将初始条件代入得 f(x)1)解析：26.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻细菌总数为 S，则有 kS，S(0)100，S(24)400， SCe kt ，C100，k ， 所以 S )解析：
