1、考研数学三(微积分)模拟试卷 190 及答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设当 x0 时,有 ax 3 bx 2 cx 0 ln(12x) sintdt,则( )(分数:2.00)A.aB.aC.aD.a 为任意常数,b2,c03.f(x)g(x)在 x 0 处可导,则下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.f(x),g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导,g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导,g(x)在
2、 x 0 处可导D.f(x),g(x)在 x 0 处都可能不可导4.下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.设 f(x)在 x 0 二阶可导,则 f(x)在 xx 0 处连续B.f(x)在a,b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a,b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(x)在(a,b)内有唯一的极值点,则该极值点一定为最值点5.累次积分 (分数:2.00)A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x,y)dyD. 0 1 dx 二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.设 f(x)连续,且 (分数:2
3、.00)填空项 1:_7.设 f(x)满足 f(x)f(x2),f(0)0,又在(1,1)内 f(x)x,则 f (分数:2.00)填空项 1:_8. 1 (分数:2.00)填空项 1:_9.设函数 yy(x)满足y (分数:2.00)填空项 1:_10.设 f(x)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_12.求 (分数:2.00)_13.求函数 yln(x (分数:2.00)_14.求 (分数:2.00)_15.设 f(x)在0,1上二阶可导,且f(x)1(x0,1),又
4、f(0)f(1),证明:f(x)(分数:2.00)_16.证明:当 x0 时,(x 2 1)lnx(x1) 2 (分数:2.00)_17.设 f(x)在0,2上三阶连续可导,且 f(0)1,f(1)0,f(2) (分数:2.00)_18. (分数:2.00)_19.设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx(分数:2.00)_20.证明:当 x0 时,f(x) 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 (分数:2.00)_21.设 zz(x,y)满足 证明: (分数:2.00)_22.计算 I (分数:2.00)_
5、23.设 a n tan n xdx (1)求 (a n a n2 )的值; (2)证明:对任意常数 0, (分数:2.00)_24.求幂级数 (分数:2.00)_25.设 f(x)为偶函数,且满足 f(x)2f(x)3 0 x f(tx)dt3x2,求 f(x)(分数:2.00)_26.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400,求前 12 小时后的细菌总数(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 190 答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选
6、项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设当 x0 时,有 ax 3 bx 2 cx 0 ln(12x) sintdt,则( )(分数:2.00)A.aB.aC.aD.a 为任意常数,b2,c0 解析:解析:因为 ax 3 bx 2 cx 0 ln(12x) sintdt, 3.f(x)g(x)在 x 0 处可导,则下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.f(x),g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导,g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导,g(x)在 x 0 处可导D.f(x),g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析:解析:令4.下列说
7、法正确的是( )(分数:2.00)A.设 f(x)在 x 0 二阶可导,则 f(x)在 xx 0 处连续B.f(x)在a,b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a,b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(x)在(a,b)内有唯一的极值点,则该极值点一定为最值点 解析:解析:令 f(x) f(0)0,但5.累次积分 (分数:2.00)A. 0 1 dy B. 0 1 dy C. 0 1 dx 0 1 f(x,y)dyD. 0 1 dx 解析:解析:积分所对应的直角坐标平面的区域为 D:0x1,0y二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.设
8、 f(x)连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 0 x tf(xt)dt x 0 (xu)f(u)(du)x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du, 0 x arctan(xt) 2 dt 0 x arctanu 2 du, 7.设 f(x)满足 f(x)f(x2),f(0)0,又在(1,1)内 f(x)x,则 f (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为在(1,1)内 f(x)x, 所以在(1,1)内 f(x) 由 f(0)0 得 f(x)8. 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案
9、:*)解析:解析:9.设函数 yy(x)满足y (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.设 f(x)连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: 0 r tf(r 2 t 2 )dt 0 r (r 2 t 2 )d(r 2 t 2 ) 0 r2 f(u)du, cos(xy)dr 2 cos(), 原式 三、解答题(总题数:16,分数:32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:12.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.求函数 yln(x (分数:
10、2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)ln(x ), 因为 f(x)ln f(x), 所以函数yln(x )为奇函数,于是 即函数 yln(x )解析:14.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设 f(x)在0,1上二阶可导,且f(x)1(x0,1),又 f(0)f(1),证明:f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 f(0)f(x)f(x)x f( 1 )x 2 (0,x), f(1)f(x)f(x)(1x) f( 2 )(1x) 2 , 2 (x,1), 两式相减,得 f(x) f( 1 )x 2 f( 2 )(1x) 2 两边取绝
11、对值,再由f(x)1,得 f(x) x 2 (1x) 2 )解析:16.证明:当 x0 时,(x 2 1)lnx(x1) 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)(x 2 1)lnx(x1) 2 ,(1)0 (x)2xlnxx2 ,(1)0(x)2lnx1 ,(1)20 (x) 则 故x1 为 (x)的极小值点,由其唯一性得其也为最小值 点,而最小值为 (1)20,故 (x)0(x0) )解析:17.设 f(x)在0,2上三阶连续可导,且 f(0)1,f(1)0,f(2) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式,得 1f(0)f(1) , 1 (0,1), f(2
12、)f(1) , 2 (1,2), 两式相减,得 )解析:18. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 k f(x)dx )解析:20.证明:当 x0 时,f(x) 0 x (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x0 时,令 f(x)(xx 2 )sin 2n x0 得 x1,xk(k1,2,), 当 0x1 时,f(x)0;当 x1 时,f(x)0(除 xk(k1,
13、2,)外 f(x)0), 于是 x1 为f(x)的最大值点,f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时,sinxx, 所以当 x0,1时,(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n x 2n1 x 2n2 , 于是 f(x)f(1) 0 1 (xx 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n1 x 2n2 )dx )解析:21.设 zz(x,y)满足 证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.计算 I (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设 a n tan n xdx (1)求 (a n a n2 )的值; (2)证明:对任意常数
14、0, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)a n a n2 , )解析:24.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然该幂级数的收敛区间为1,1, 而 xln(1x)(1x1)xxln(1x)(1x1) 则 S(x)x(1x)ln(1x)(1x1). 当 x1 时,S(1)1, 所以 S(x) )解析:25.设 f(x)为偶函数,且满足 f(x)2f(x)3 0 x f(tx)dt3x2,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 x f(tx)dt 0 x f(tx)d(xt) x 0 f(u)du 0 x f(u)du, 则有 f(x)2f(x)
15、3 0 x f(u)du3x2,因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)是奇函数, 于是f(0)0,代入上式得 f(0)1 将 f(x)2f(x)3 0 x f(u)du3x2 两边对 x 求导数得 f(x)2f(x)3f(x)3, 其通解为 f(x)C 1 e x C 2 e 3x 1,将初始条件代入得 f(x)1)解析:26.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400,求前 12 小时后的细菌总数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 t 时刻细菌总数为 S,则有 kS,S(0)100,S(24)400, SCe kt ,C100,k , 所以 S )解析: