1、考研数学三（微积分）模拟试卷 189 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 xa 处的左右导数都存在，则 f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续3.设函数 f(x)满足关系 f(x)f 2 (x)x，且 f(0)0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 yf(x)的拐点D.(0，f(0)不是 yf(x)的拐点4.设
2、 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)1，f(0)2 且 f(x)在 x0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(
3、x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dtf(x)xsinx，则 f(x) 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x) （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_10.差分方程 y t1 2y t 32 t 的通解为 y(t) 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 e 3 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_13.设 f(x) （分数：2.00）_14.设 f(x)连续可导， （分数：
4、2.00）_15.一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 x i a，b(i1，2，n)及 k i 0(i 1，2，n)且满足 k 1 k 2 k n 1证明： f(k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n )k 1 f(x 1 )k 2 x 2 k n f(x n )（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f (a)f (b)0证明：存在 (a，b)，使 得 f()0（
5、分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.设 f(x)在(0，)内连续且单调减少证明： 1 n1 f(x)dx （分数：2.00）_20.证明： 0 xa sinx dx a cosx dx （分数：2.00）_21.设函数 xf(u)，方程 u(u) y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微， P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_22.计算 I xydxdy，其中 D 由 yx，y （分数：2.00）_23.若正项级数 u n 收敛，证明： （分数：2.00）_24.求幂级数 （分数：2.00）_25.利用变换 xarc
6、tant 将方程 cos 4 x cos 2 x(2sin2x) （分数：2.00）_26.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚 导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 189 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 xa
7、 处的左右导数都存在，则 f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 xa 处右可导，所以 存在，于是3.设函数 f(x)满足关系 f(x)f 2 (x)x，且 f(0)0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 yf(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 yf(x)的拐点解析：解析：由 f(0)0 得 f(0)0，f(x)1zf(x)f(x)，f(0)10，由极限保号 性，存在 0，当 0x 时，f(x)0，再由 f(0)0，得4.设 f(x，
8、y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 0，因为 M 0 为 最大值点，所以 ACB 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （
9、正确答案：正确答案：1）解析：解析：6.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)1，f(0)2 且 f(x)在 x0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)0，又因为 f(x)在 x0 的 邻域内连续，所以 f(x)f(0)f(0)x x 2 (x 2 )1x 2 (x 2 )， 7.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dtf(x)xsinx，则 f(x) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosxxsinxC）解析：解析：由 0 1 f(xt
10、)dtf(x)xsinx，得 0 1 f(xt)d(xt)xf(x)x 2 sinx，即 0 x f(t)dtxf(x)x 2 sinx，两边求导得 f(x)2sinxxcosx，积分得 f(x)cosxxsinxC8.设 f(x)满足等式 xf(x)f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 1 f(x)dxxf(x) 0 1 0 1 xf(x)dxf(1) 0 1 f(x) dx 4 0 1 f(x)dx 0 1 d(1x) 4 0 1 f(x)dx 0 1 dt4 0 1 f(x)dx cos 2 d 4 0 1 f(x)dx ， 于是 0 1
11、 f(x)dx2 9.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 0 f(x)dx 0 dx 0 x dt 0 dt t 10.差分方程 y t1 2y t 32 t 的通解为 y(t) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C2 t ）解析：解析：y t1 2y t 0 的通解为 y(t)C2 t ， f(t)32 t ，因为 2 为特征值，所以设特解为 y t * at2 t ，代入原方程得 a ，故原方 程的通解为 y(t)C2 t 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
12、骤。（分数：2.00）_解析：12.设 e 3 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f(x) 其次 f(x)的间断点为 xk(k0，1，)，因为 )解析：14.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x f(xt)dt x 0 f(u)(du) 0 x f(u)du， xln(1x)xx (x 2 ) 得 )解析：15.一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值
13、不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 SS(t)，显然 S(0)0，S(0)0，S(1)1，S(1)0由泰勒公式 两式相减，得 S( 2 )S( 1 )8 )解析：16.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 x i a，b(i1，2，n)及 k i 0(i 1，2，n)且满足 k 1 k 2 k n 1证明： f(k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n )k 1 f(x 1 )k 2 x 2 k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n ，显然 x 0 a，b 因为
14、f(x)0，所以 f(x)f(x 0 )f(x 0 )(xx 0 )， 分别取 xx i (i1，2，n)，得 由 k i (i1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i1，2，n)，得 )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f (a)f (b)0证明：存在 (a，b)，使 得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f (a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f (a) 0，则存在 0(ba)，当 0xa 时， )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(x 2 e x )(x 2 2x)e x ， )解析：19.设
15、f(x)在(0，)内连续且单调减少证明： 1 n1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n1 f(x)dx 1 2 f(x)dx 2 3 f(x)dx n n1 f(x)dx， 当x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dxf(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n1 f(x)dxf(n)，相加得 1 n1 f(x)dx f(k)； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 1 2 f(x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f(n) n1 n f(x)dx， 相加得 f(2)f(n) 1 n f(x)dx，于是
16、 )解析：20.证明： 0 xa sinx dx a cosx dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 xf(u)，方程 u(u) y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微， P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：zf(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 方程 u(u) y x P(t)dt 两边对 x及 y 求偏导，得 )解析：22.计算 I xydxdy，其中 D 由 yx，y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 (x
17、，y)0x1， ， )解析：23.若正项级数 u n 收敛，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x0 时，ln(1x)x，于是 为正项级数， 而 ln(1u n )u n (u n 2 )， )解析：24.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 x 2n 的收敛半径为 R，收敛区间为(，) )解析：25.利用变换 xarctant 将方程 cos 4 x cos 2 x(2sin2x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： y0 的特征方程为 2 210，特征值为 1 2 1， 则 )解析：26.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚 导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 )解析：
