1、考研数学三(微积分)模拟试卷 185 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 为 f(x)arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x 0 )0,则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调增加,当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调减少C.f(x)在 x
2、0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f(0)0,则 f(x)在 x0 处一定取到极值4.设函数 f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)f(t)dtC. o x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5. 1 (分数:2.00)填空项 1:_6.设两曲线 yx 2 axb 与2y1xy 3 在点(1,1)处相切,则 a 1,b 2(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_7.曲线 y (分数:2.00)填空项 1:_8
3、. 1 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 zf(x,y)二阶可偏导, (分数:2.00)填空项 1:_10.微分方程 yy2(y) 2 0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_12.求 (分数:2.00)_13.设 f(x)在0,1上有定义,且 e x f(x)与 e f(x) 在0,1上单调增加证明:f(x)在0,1上连续(分数:2.00)_14.设 (分数:2.00)_15.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内二阶可导,且 0,又 f(2)2 (分数:2.
4、00)_16.设 f(x)二阶可导,f(0)0,且 f(x)0证明:对任意的 a0,b0,有 f(ab)f(a)f(b)(分数:2.00)_17.设 k 为常数,方程 kx (分数:2.00)_18.求 (分数:2.00)_19.设 f(x)有界,且 f(x)连续,对任意的 x(,)有f(x)f(x)1证明:f(x)1(分数:2.00)_20.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ,它们与直线 x1 所围成的图形 面积为 S 2 ,且 a1 (1)确定 a,使 S 1 S 2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积(
5、分数:2.00)_21.设 uf 其中 f(s,t)二阶连续可偏导,求 du 及 (分数:2.00)_22.计算 (分数:2.00)_23.证明:用二重积分证明 (分数:2.00)_24.设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导,且 0证明:级数 (分数:2.00)_25.设函数 f 0 (x)在(,)内连续,f n (x) 0 x f n1 (t)dt(n1,2,) (1)证明:f n (x) 0 x (t)(xt) n1 dt(n1,2,); (2)证明: (分数:2.00)_26.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1,1),曲线 L 1 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为
6、 2,曲 线 L 2 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2,求两曲线所围成区域的面积(分数:2.00)_27.设 A 从原点出发,以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶,B 从(x 0 ,0)出发(x 0 0),以始终指向 点 A的固定速度 v 1 ,朝 A 追去,求 B 的轨迹方程(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 185 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 为 f(x)arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值
7、,则 为( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:令 f(a)f(0)f()a,即 arctana ,3.下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 f(x 0 )0,则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调增加,当 x(x 0 ,x 0 )时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f(0)0,则 f(x)在 x0 处一定取到极值 解析:解析: 当 x 0(n)时,f(x) 0,则 f(x)在 x0 的任意邻域内都不单 调减少,(A
8、)不对; f(x) f(x)在 x0 处取得极大值,但其在 x0 的任一 领域内皆不单调,(B)不对; f(x)4.设函数 f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)f(t)dt C. o x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析:解析:因为 tf(t)f(t)为偶函数,所以 0 x tf(t)f(t)dt 为奇函数,(A)不对;因 为 f(t 2 )为偶函数,所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数,(C)不对;因为不确定 f 2 (t)的奇偶性,所以 (D)不对;令 F(x) 0
9、 x tf(t)f(t)dt, F(x) 0 x tf(t)f(t)dt 0 x (u)f(u)f(u)(du)F(x),选(B)二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5. 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 e ln2(1x) 1ln 2 (1x)x 2 , 6.设两曲线 yx 2 axb 与2y1xy 3 在点(1,1)处相切,则 a 1,b 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)填空项 1:_ (正确答案:3)解析:解析:因为两曲线过点(1,1),所以 ba0,又由 yx 2 axb 得 a2,再 由2y1xy 3
10、 得2 7.曲线 y (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y2x4)解析:解析: 曲线8. 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9.设 zf(x,y)二阶可偏导, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y 2 xy1)解析:解析:由 2y(x),因为 f y (x,0)x,所以 (x)x,即 10.微分方程 yy2(y) 2 0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:17,分数:34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2
11、.00)_解析:12.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.设 f(x)在0,1上有定义,且 e x f(x)与 e f(x) 在0,1上单调增加证明:f(x)在0,1上连续(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对任意的 x 0 0,1,因为 e x f(x)与 e f(x) 在0,1上单调增加, 所以当xx 0 时,有 故 f(x 0 )f(x)e x0x f(x 0 ), 令 xx 0 由夹逼定理得 f(x 0 0)=f(x 0 );当 xx 0 时,有 )解析:14.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设 f(x)在0,2上连续,在(
12、0,2)内二阶可导,且 0,又 f(2)2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 由积分中值定理得 f(2)2 f(x)dxf(c),其中 c1, , 由罗尔定理,存在 x 0 (c,2) (1,2),使得 f(x 0 )0 令 (x)e x f(x),则 (1)(x 0 )0, 由罗尔定理,存在 (1,x 0 ) )解析:16.设 f(x)二阶可导,f(0)0,且 f(x)0证明:对任意的 a0,b0,有 f(ab)f(a)f(b)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:不妨设 ab,由微分中值定理,存在 1 (0,a), 2 (b,ab),使得 )解析:17.设 k 为常数,方程
13、kx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)kx 1,f(x)k ,x(0,) (1)若 k0,由 f(x),又 f(x)k 0,所以原方程在 (0,)内恰有一个实根; (2)若 k0, f(x)1,又 f(x) 0,所以原方程也恰有 一个实根; (3)若 k0, ,令 f(x)k , 又 f(x) 0,所以 f(x 0 )1 为 f(x)的最大值,令 1 0,得 k ,所以 k 的取值范围是kk )解析:18.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x) (x1), 由 f(x) 得 f(x) ,令 f(x)0 得xe 当 x(0,e)时,f(x)0;当 x(e
14、,)时,f(x)0,则 xe 为 f(x)的最大点, )解析:19.设 f(x)有界,且 f(x)连续,对任意的 x(,)有f(x)f(x)1证明:f(x)1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)e x f(x),则 (x)e x f(x)f(x), 由f(x)f(x)1得(x)e x ,又由 f(x)有界得 ()0,则 (x)(x)() x (x)dx,两边取绝对值得 e x f(x) x (x)dx x e x dxe x ,所以f(x)1)解析:20.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ,它们与直线 x1 所围成的图形 面积为 S 2 ,且 a1
15、 (1)确定 a,使 S 1 S 2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0,0),(a,a 2 ) 当 0a1 时,SS 1 S 2 0 a (axx 2 )dx a 1 (x 2 )dx 令 Sa 2 时,S 1 S 2 取到最小 值,此时最小值为 当 a0 时,S a 0 (axx 2 )dx 0 1 (x 2 ax)dx , 因为 S (a 2 1)0,所以 S(a)单调减少,故 a0 时 S 1 S 2 取最小值,而 S(0) 时,S 1
16、S 2 最小 (2)旋转体的体积为 V x )解析:21.设 uf 其中 f(s,t)二阶连续可偏导,求 du 及 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D:x 2 y 2 2x2y1 可化为 D:(x1) 2 (y1) 2 1, 令 0t2,0r1, 则 (xy 2 )dxdy 0 2 dt 0 1 r(1rcost12rsintr 2 sin2t)rdr )解析:23.证明:用二重积分证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 (x,y)x 2 y 2 R 2 ,x0,y0, S(x,y)0xR,0yR,
17、D 2 (x,y)x 2 y 2 2R 2 ,x0,y0 令 R同时注意到 0 R e x2 dx0,根据夹逼定理得 0 e x2 dx )解析:24.设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导,且 0证明:级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 0,得 f(0)0,f(0)0由泰勒公式得 f(x)f(0)f(0)x,其中 介于 0 与 x 之间 又 f(x)在 x0 的某邻域内连续,从而可以找到一个原点在其内部的闭区间,在此闭区 间内有f(x)M,其中 M0 为 f(x)在该闭区间上的界 所以对充分大的n,有 )解析:25.设函数 f 0 (x)在(,)内连续,f n (x)
18、0 x f n1 (t)dt(n1,2,) (1)证明:f n (x) 0 x (t)(xt) n1 dt(n1,2,); (2)证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)n1 时,f 1 (x) 0 x f 0 (t)dt,等式成立; 设 nk 时,f k (x) 0 x f 0 (t)(xt) k1 dt, 则 nk1 时,f k1 (x) 0 x f k (t)dt 0 x dt 0 t f 0 (u)(tu) k1 du 0 x du u x f 0 (u)(tu) k1 dt 0 x f 0 (u)(xu) k du 由归纳法得 f n (x) 0 x f 0 (t)(
19、xt) n1 dt(n1,2,) (2)对任意的x(,),f 0 (t)在0,x或x,0上连续,于是存在 M0(M 与 x 有关),使得f 0 (t)M(t0,x或 tx,0),于是 f n (x) 0 x (xt) n1 dt x n 因为 收敛,根据比较审敛法知 )解析:26.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1,1),曲线 L 1 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2,曲 线 L 2 在点(x,y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2,求两曲线所围成区域的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对曲线 L 1 ,由题意得 2,解得 yx(2xC 1 ), 因为曲线 L 1 过点(1,1),所以 C 1 1,故 L 1 :y2x 2 x 对曲线 L 2 ,由题意得 (x)2,解得 , 因为曲线 L 2 过点(1,1),所以 C 2 1,故 L 2 :y2 由 2x 2 x2 得两条曲线的交点为( ,0)及(1,1), 故两条曲线所围成区域的面积为 A 2x 2 x)dx )解析:27.设 A 从原点出发,以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶,B 从(x 0 ,0)出发(x 0 0),以始终指向 点 A的固定速度 v 1 ,朝 A 追去,求 B 的轨迹方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 t 时刻 B 点的位置为 M(x,y),则 )解析: