1、考研数学三（微积分）模拟试卷 185 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 为 f(x)arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ,x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调减少C.f(x)在 x
2、0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x0 处一定取到极值4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)f(t)dtC. o x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设两曲线 yx 2 axb 与2y1xy 3 在点(1，1)处相切，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_8
3、. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 zf(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yy2(y) 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 0，又 f(2)2 （分数：2.
4、00）_16.设 f(x)二阶可导，f(0)0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(ab)f(a)f(b)（分数：2.00）_17.设 k 为常数，方程 kx （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(，)有f(x)f(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_20.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x1 所围成的图形 面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积（
5、分数：2.00）_21.设 uf 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_24.设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 0证明：级数 （分数：2.00）_25.设函数 f 0 (x)在(，)内连续，f n (x) 0 x f n1 (t)dt(n1，2，) (1)证明：f n (x) 0 x (t)(xt) n1 dt(n1，2，)； (2)证明： （分数：2.00）_26.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为
6、 2，曲 线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_27.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向 点 A的固定速度 v 1 ，朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 185 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 为 f(x)arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值
7、，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(a)f(0)f()a，即 arctana ，3.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 ,x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x0 处一定取到极值 解析：解析： 当 x 0(n)时，f(x) 0，则 f(x)在 x0 的任意邻域内都不单 调减少，(A
8、)不对； f(x) f(x)在 x0 处取得极大值，但其在 x0 的任一 领域内皆不单调，(B)不对； f(x)4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)f(t)dtB. 0 x tf(t)f(t)dt C. o x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)f(t)为偶函数，所以 0 x tf(t)f(t)dt 为奇函数，(A)不对；因 为 f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以 (D)不对；令 F(x) 0
9、 x tf(t)f(t)dt， F(x) 0 x tf(t)f(t)dt 0 x (u)f(u)f(u)(du)F(x)，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 e ln2(1x) 1ln 2 (1x)x 2 ， 6.设两曲线 yx 2 axb 与2y1xy 3 在点(1，1)处相切，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(1，1)，所以 ba0，又由 yx 2 axb 得 a2，再 由2y1xy 3
10、 得2 7.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2x4）解析：解析： 曲线8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 zf(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 xy1）解析：解析：由 2y(x)，因为 f y (x，0)x，所以 (x)x，即 10.微分方程 yy2(y) 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2
11、.00）_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加， 所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0x f(x 0 )， 令 xx 0 由夹逼定理得 f(x 0 0)=f(x 0 )；当 xx 0 时，有 )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在0，2上连续，在(
12、0，2)内二阶可导，且 0，又 f(2)2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由积分中值定理得 f(2)2 f(x)dxf(c)，其中 c1， ， 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f(x 0 )0 令 (x)e x f(x)，则 (1)(x 0 )0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：16.设 f(x)二阶可导，f(0)0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(ab)f(a)f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，ab)，使得 )解析：17.设 k 为常数，方程
13、kx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)kx 1，f(x)k ，x(0，) (1)若 k0，由 f(x)，又 f(x)k 0，所以原方程在 (0，)内恰有一个实根； (2)若 k0， f(x)1，又 f(x) 0，所以原方程也恰有 一个实根； (3)若 k0， ，令 f(x)k ， 又 f(x) 0，所以 f(x 0 )1 为 f(x)的最大值，令 1 0，得 k ，所以 k 的取值范围是kk )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x) (x1)， 由 f(x) 得 f(x) ，令 f(x)0 得xe 当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e
14、，)时，f(x)0，则 xe 为 f(x)的最大点， )解析：19.设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(，)有f(x)f(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)，则 (x)e x f(x)f(x)， 由f(x)f(x)1得(x)e x ，又由 f(x)有界得 ()0，则 (x)(x)() x (x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) x (x)dx x e x dxe x ，所以f(x)1)解析：20.设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x1 所围成的图形 面积为 S 2 ，且 a1
15、 (1)确定 a，使 S 1 S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当 0a1 时，SS 1 S 2 0 a (axx 2 )dx a 1 (x 2 )dx 令 Sa 2 时，S 1 S 2 取到最小 值，此时最小值为 当 a0 时，S a 0 (axx 2 )dx 0 1 (x 2 ax)dx ， 因为 S (a 2 1)0，所以 S(a)单调减少，故 a0 时 S 1 S 2 取最小值，而 S(0) 时，S 1
16、S 2 最小 (2)旋转体的体积为 V x )解析：21.设 uf 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 y 2 2x2y1 可化为 D：(x1) 2 (y1) 2 1， 令 0t2，0r1， 则 (xy 2 )dxdy 0 2 dt 0 1 r(1rcost12rsintr 2 sin2t)rdr )解析：23.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)x 2 y 2 R 2 ，x0，y0， S(x，y)0xR，0yR，
17、D 2 (x，y)x 2 y 2 2R 2 ，x0，y0 令 R同时注意到 0 R e x2 dx0，根据夹逼定理得 0 e x2 dx )解析：24.设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 0证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0，得 f(0)0，f(0)0由泰勒公式得 f(x)f(0)f(0)x，其中 介于 0 与 x 之间 又 f(x)在 x0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区 间内有f(x)M，其中 M0 为 f(x)在该闭区间上的界 所以对充分大的n，有 )解析：25.设函数 f 0 (x)在(，)内连续，f n (x)
18、0 x f n1 (t)dt(n1，2，) (1)证明：f n (x) 0 x (t)(xt) n1 dt(n1，2，)； (2)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)n1 时，f 1 (x) 0 x f 0 (t)dt，等式成立； 设 nk 时，f k (x) 0 x f 0 (t)(xt) k1 dt， 则 nk1 时，f k1 (x) 0 x f k (t)dt 0 x dt 0 t f 0 (u)(tu) k1 du 0 x du u x f 0 (u)(tu) k1 dt 0 x f 0 (u)(xu) k du 由归纳法得 f n (x) 0 x f 0 (t)(
19、xt) n1 dt(n1，2，) (2)对任意的x(，)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M 与 x 有关)，使得f 0 (t)M(t0，x或 tx，0)，于是 f n (x) 0 x (xt) n1 dt x n 因为 收敛，根据比较审敛法知 )解析：26.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲 线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对曲线 L 1 ，由题意得 2，解得 yx(2xC 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 1，故 L 1 ：y2x 2 x 对曲线 L 2 ，由题意得 (x)2，解得 ， 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 2 1，故 L 2 ：y2 由 2x 2 x2 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1)， 故两条曲线所围成区域的面积为 A 2x 2 x)dx )解析：27.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向 点 A的固定速度 v 1 ，朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 )解析：
