1、考研数学三（微积分）模拟试卷 184 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 xa 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)在(a，b)内可导，若B.f(x)在(a，b)内可导，若C.f(x)在(，)内可导，若D.f(x)在(，)内可导，若4.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函
2、数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. a x f(t)dtC. x o f(t)dt x 0 f(t)dtD. x x tf(t)dt二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)x 2 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x，y)可微，f(1，2)2，f x (1，2)3，f y (1，2)4，(x)fx,f(x，2x)，则 (1) 1（分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)t 3 f(x，y)，且 f x (1，2)1，
3、f y (1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yxe y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)0，f( )1，f(1)0证明：(1)存在 (（分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f (a)0证明：存 在(a
4、，b)，使得 f()0（分数：2.00）_17.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 3xk0 根的个数（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_19.设 a n tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_21.设 z(x 2 y 2 ) sec2 ，求 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，
5、且 f(x)0证明： （分数：2.00）_24.设 f(x)在(，)内一阶连续可导，且 1证明： 收敛，而 （分数：2.00）_25.设 a n ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_26.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_27.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 184 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.
6、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 xa 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 xa 处可导，所以 f(x)在 xa 处连续，于是存在 0，当xa 时，有 f(x)0，于是3.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)在(a，b)内可导，若B.f(x)在(a，b)内可导，若C.f(x)在(，)内可导，若D.f(x)在(，)内可导，若 解析：解析：设 f(x) f(x)，f(x) 时，f(x)0
7、，其中 kZ，则 f(x)，(A)不对。 设 f(x) f(x)0，(B)不对； 设 f(x)x， f(x)，但 f(x)1，4.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. a x f(t)dtC. x o f(t)dt x 0 f(t)dtD. x x tf(t)dt 解析：解析：设 (x) x x tf(t)dt2 0 x tf(t)dt， (xT)2 0 xT (t)dt2 0 x tf(t)2 x xT tf(t)dt(x)，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. 1 （分数：2
8、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析： 6.设 f(x)x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(14x)e 8x）解析：解析： 7.设 f(x，y)可微，f(1，2)2，f x (1，2)3，f y (1，2)4，(x)fx,f(x，2x)，则 (1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 (x)f x x，f(x，2x)f y x，f(x，2x)f x (x，2x)2f y (x，2x)，所以 (1)f x 1，f(1，2)f y 1，f(1，2)f x (1，2)2f y (1，2) 34
9、(38)478. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)t 3 f(x，y)，且 f x (1，2)1，f y (1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf x (tx，ty)yf(tx，ty)3t 2 f(x，y)，取 t1，x1，y2 得 f x (1，2)2fy(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)310.微分方程 yxe y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
10、确答案：*）解析：解析： 所以原方程的通解为 e y 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 1，因为 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)0，f( )1，f(1)0证明：(1)存在 (（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)f(x)x，(x)在0，1上连续
11、， 0，(1)10， 由零点定理，存在 ( )解析：16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f (a)0证明：存 在(a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f (a)，所以存在 0，当 0xa 时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)0 由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：17.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 3xk0 根的个数（分数：2.00）_正
12、确答案：(正确答案：令 f(x)x 3 3xk， f(x)， )解析：18.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在区间0,1上连续，所以 f(x)在区间0,1上取到最大值 M 和最小值m，对 f(x)f(0)f(c)x（其中 c 介于 0 与 x 之间）两边积分得 0 1 f(x)dx 0 1 f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m 0 1 xdx 0 1 f(c)xdxM 0 1 xdx， 即 m2 0 1 f(c)xdxM 或 m2 0 1 f(x)dxM， 由介值定
13、理，存在 0，1，使得 f()2 0 1 f(x)dx)解析：19.设 a n tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n a n2 (1tan 2 x)tan n xdx tan n xd(tanx) ， 同理 a n a n2 因为 tan 2 x，tan n2 在0， 上连续，tan x tan n2 x，且 tan n x， tan n2 x 不恒等，所以 xdx，即 a n a n2 ， 于是 a n a n2 2a n ，即 a n )解析：20.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x
14、)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)lnt(t0)，g(t) 0，再令 x 0 0 1 f(x)dx，则有 g(f)g(x 0 )g(x 0 ) )解析：21.设 z(x 2 y 2 ) sec2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z 2sec 2 (xy)ln(x 2 y 2 ) sec 2 (xy)， 2sec 2 (xy)tan(xy)ln(x 2 y 2 ) )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (x 2 y 2 )dxdy (x 2 y 2 )dxdy (x 2 y 2 )dxdy 而 (x 2 y 2 )dxdy
15、0 2 d 0 2 r 3 dr8 (x 2 y 2 )dxdy 所以 (x 2 y 2 )dxdy )解析：23.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在(，)内一阶连续可导，且 1证明： 收敛，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 得 f(0)0，f(0)1，于是 因为 f(x)f(0)1，所以存在 0，当x 时，f(x)0， 于是存在 N0，当 nN 时， ， 由莱布尼兹审敛法知 收敛， 因为 )解析：25.设 a n ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正
16、确答案：由 a n a n2 sec 2 xtan n xdx ，a n a n2 sec 2 xtan n2 xdx ，得 (1)当 0 时，因为级数 收敛，所以级数 收敛； (2)当 0 时，因为级数 发散，所以级数 )解析：26.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yyy(Xx)， 令 X0，则 Yyxy，切线与 y 轴的交点为(0，yxy)， 由题意得 x 2 x 2 y 2 4，解得 y ，变量分离得 dy dx，积分得 因为曲线经过点(2，0)，所以 C0，故曲线为 y )解析：27.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 C，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)a(tT)，又 bH(t)sct，)解析：
