1、考研数学三（微积分）模拟试卷 182 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqysin2x2e x 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他3.函数 f(x)在 x1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 0 5x dt， 0 sinx （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶
2、非等价无穷小D.等价无穷小5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y3y(2x1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(axb)e xB.x 2 e xC.x 2 (axb)e xD.x(axb)e x二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_8.设 F(x) 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ， 则f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.y （分数：2.00）填空项 1
3、:_11.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 a 1 1，当 n1 时，a n1 （分数：2.00）_14.设 f(x)在a，)上连续，且 （分数：2.00）_15.设 y （分数：2.00）_16.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_17.设 f n (x)xx 2 x n (n2) (1)证明方程 f 2 (x)1 有唯一的正根 x n ； (2)求 （分数：2
4、.00）_18.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a 2 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )f(a 2 ) f(a n )0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，f(0)0， 0 1 f(x)dx0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dxf()（分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dxf （分数：2.00）_21.设 f(x，y) （分数：2.00）_22.设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) （分数：2.00）_
5、23.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_24.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_25.设 u n 0， q 存在证明：当 q1 时级数 u n 收敛，当 q1 时级数 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)x，且由曲线 yf(z)，x1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线 yf(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_27.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)1 且有 f(x)3 0 x f(t)dt2x 0 1 f(tx
6、)dte x 0， 求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 182 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqysin2x2e x 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)f(0)0，所以 f(0)2，于是3.函数 f(x)在 x1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：
7、2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)不对，如 f(x) 存在，但 f(x)在 x1 处不连续，所以也不可导； (B)不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x1 处右导数存在； (C)不对，因为 ， 而 不一定存在，于是f(x)在 x1 处不一定右可导，也不一定可导；4.设 0 5x dt， 0 sinx （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y3y(2x1)e x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(axb)e xB.x 2 e xC.x 2 (axb)e xD.x(axb)e x
8、 解析：解析：方程 y2y3y(2x1)e x 的特征方程为 2 230，特征值为 1 1， 2 3，故方程 y2y3y(2x1)e x 的特解形式为 x(axb)e x ，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f(00)8.设 F(x) 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，其中 f(x)在 x0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ， 则f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
9、案：*）解析：解析：F(x)x 2 0 x f(t)dt 0 2 (t)dt，F(x)2x 0 x f(t)dt， 因为当 x0 时，F(x)x 2 ，所以 1， 而 2f(x)2f(0)，故 f(0) 9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： arctanxdx arctanxdxarctanxdxarctanxdx(arctanx) xarctanx (arctanx) 2 xarctanx 10.y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
10、析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 a 1 1，当 n1 时，a n1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x) ，因为 f(x) 0(x0)，所以数列a n 单调 又因为 a 1 1，0a n1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 a n A，则有 A )解析：14.设 f(x)在a，)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：15.设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x1 时，y ； 当 x1 时，y1；当 x1 时
11、，y1； 因为 y (1)y (1)，所以 y 在 x1 处不可导， )解析：16.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)f(x 0 )f(x 0 )(xx 0 ) (xx 0 ) 2 (xx 0 ) 3 (xx 0 ) 4 f(x)f(x 0 )f(x 0 )(xx 0 ) (xx 0 ) 2 (xx 0 ) 3 (xx 0 ) 4 ， 两式相加得 f(x)f(x)2f(x 0 )f(x 0 )(xx 0 ) 2 f (4) ( 1 )f (4) ( 2 )(
12、xx 0 ) 4 于是f(x 0 ) f (4) ( 1 )f (4) ( 2 )(xx 0 ) 2 ， 再由f (4) (x)M，得 )解析：17.设 f n (x)xx 2 x n (n2) (1)证明方程 f 2 (x)1 有唯一的正根 x n ； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 1 (x)f n (x)1，因为 n (0)10， n (1)n10，所以 n (x) 在(0，1) (0，)内有一个零点，即方程 f n (x)1 在(0，)内有一个根 因为 n (x)12xnx n1 0，所以 n (x)在(0，)内单调增加，所以 n (x) 在(0，)内的零
13、点唯一，所以方程 f n (x)1 在(0，)内有唯一正根，记为 x n (2)由 f n (x n )f n1 (x n1 )0，得 (x n x n1 )(x n 2 x n1 2 )(x n n x n1 n )x n1 n1 0，从而 x n x n1 ，所以x n n1 单调 减少，又 x n 0(n1，2，)，故 x n A，显然 Ax n x 1 1，由 x n x n 2 x n n 得 1，两边求极限得 )解析：18.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a 2 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )f(a 2 ) f(a n )0证明：存
14、在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 ca 1 (i1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 构造辅助函数 (x)f(x)k(xa 1 )(xa 2 )(xa n )，显然 (x)在a 1 ，a 2 上 n 阶 可导，且 (a 1 )(c)(a 2 )(a n )0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n1 ，a n )，使得 ( 1 (1) )( 2 (1) ) ( n (1) )0，
15、(x)在(a 1 ，a 2 )内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为c 1 ，c 2 (a 1 ,a n )，使得 (n1) (c 1 ) (n1) (c 2 )0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a 2 )，使得 n ()0 (n) (x)f (n) (x)n!k，所以 f (n) ()n!k，从而有 )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，f(0)0， 0 1 f(x)dx0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dxf()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)在0
16、，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)0，(1) 0 1 f(x)dx0，由罗尔定理，存在 (0,1使 得 ()0，而 (x) )解析：20.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dxf （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x) ，其中 介于 与 t 之间，从而 f(x 2 ) ，积分得 0 1 f(x 2 )dx )解析：21.设 f(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0f(x，y)xy， 因为 xy0，由夹逼定理得 f(x，y)0f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处连续
17、由 0 得 f x (0，0)0，同理 f y (0，0)0， 即 f(x，y)在(0，0)处可偏导 )解析：22.设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 F(t) 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr2 0 t rf(r 2 )dr 2 t2 f(u)du， 得 F(t)2tf(t 2 )，F(0)0， )解析：23.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 yf(x 2 y 2 )dxdy 1 1 xdx x3 1 yf(x 2 y 2 )dy 1 1 xdx
18、x3 1 dy 1 1 xdx x3 1 yf(x 2 y 2 )dy 1 1 x (1x 3 )dx 1 1 xdx 3 1 f(x 2 y 2 )d(x 2 y 2 ) 1 1 x 4 1 1 xF(x 2 1)F(x 2 x 6 )dx 2 0 1 x 4 sin 4 tcos 2 tdt2(I 4 I 6 ) )解析：24.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，得幂级数的收敛半径为 R1 (1)当 p0 时，记 qp，则有，因而当 x1 时， 发散，此时幂级数的收敛域为(1，1)； (2)当 0p1 时，对，所以 x1 时，级数 发散，当 x1 时，
19、显然收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)； (3)p1 时， 收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)； (4)当 p1 时，对 收敛，所以级数 收敛，当 x1 时， )解析：25.设 u n 0， q 存在证明：当 q1 时级数 u n 收敛，当 q1 时级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)x，且由曲线 yf(z)，x1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线 yf(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正
20、确答案：(1)由 xf(x)2f(x)x f(x)xcx 2 设平面图形 D 绕 z 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 因为 V(c) 0，所以 c 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)x x 2 (2)f(x)1 ，f(0)1，曲线 f(x)x x 2 在原点处的切线方程为 yx， 则 A 0 1 x(x )解析：27.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)1 且有 f(x)3 0 x f(t)dt2x 0 1 f(tx)dte x 0， 求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 0 1 f(tr)dt 0 x f(u)du，所以 f(x)3 0 x f(t)dt2x 0 1 f(tx)dte x 0 可化为 f(x)3 0 x f(t)dt2 0 x f(t)dte x 0， 两边对 x 求导得f(x)3f(x)2f(x)e x ， 由 2 320 得 1 1， 2 2， 则方程 f(x)3f(x)2f(x)0 的通解为 C 1 e x C 2 e 2x 令 f(x)3f(x)2f(x)e x 的一个特解为 y 0 axe x ，代入得 a1， 则原方程的通解为 f(x)C 1 e x C 2 e 2x xe x 由 f(0)1，f(0)1 得 C 1 0，C 2 1，故原方程的解为 f(x)e 2x xe x )解析：
