1、考研数学三（微积分）模拟试卷 181 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数3.f(x) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x0 处不连续D.可导且 f(x)在 x0 处连续4
2、.设 F(x) x x2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关5.设 y(x)是微分方程 y(x1)yx 2 ye x 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00
3、）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 a0，x 1 0，且定义 x n1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_14.设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x n ，作 x n1 f(x n )(n0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_15.设函数 f(x)在 x1 的某邻域内有定义，且满足f(x)2e x (x1) 2 ，研究函数 f(x) 在x1 处的可导件（分数：2.00）_16.设 f(x)在a，a(a0)上有
4、四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在 1 ， 2 a,a，使得 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，)内二阶可导，f(0)2，f(0)1，f(x)0证明：f(x)0 在(0，)内有且仅有一个根（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(x)dx0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)0； (2)存在 i (a，b)(i1，2)，且 i 2 ，使得 f( 1 )f( i )0(i1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()f()； (4)存在 (a，b)，使得f
5、()3f()2f()0（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： f(x) （分数：2.00）_21.求二元函数 zf(x，y)x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_22.已知 f(x，y) 设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求 F(t) （分数：2.00）_23.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明： （分数：2.00）_24.设u n ，c n 为正项数列，
6、证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n c n1 u n1 0，且 u n 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 c n c n1 a(a0)，且 （分数：2.00）_25.证明：S(x) （分数：2.00）_26.设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 yf(x)，x1，xa(a1)及 x 轴 所围成平面图形绕x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 f(1) （分数：2.00）_27.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)1由 yf(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x轴的直线围成的图形的面积与 yf(x)在0，x
7、上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 181 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f(0)0，所以 0，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0
8、，)时， 有3.f(x) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x0 处不连续D.可导且 f(x)在 x0 处连续 解析：解析：显然 f(x)在 x0 处连续，因为 ，所以 f(x)在 x0 处可导，当 x0 时，f(x)arctan ， 当 x0 时，f(x)arctan ， f(0) ，所以 f(x)在 x0 处连续，选(D)4.设 F(x) x x2 e sint sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x) x x2 e sint sintdt，再由对称区间
9、积分性 质得 F(x) 0 (e sint e sint sint)dt 0 (e sint e sint )sintdt， 又(e sint e sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A)5.设 y(x)是微分方程 y(x1)yx 2 ye x 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程 y(x1)yx 2 ye x 中，令 x0，则 y(0)2， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 7
10、.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，因为函数 f(x)在 x0 处连续， 所以 a8.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a2）填空项 1:_ （正确答案：b1）解析：解析：因为 f(x)在 x1 处可微，所以 f(x)在 x1 处连续， 于是 f(10)f(1)1(10)ab，即 ab19. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11. 1 （分数：2.00）填
11、空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1ln2)）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 a0，x 1 0，且定义 x n1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 x n1 (n1，2，)，从而 x n1 x n 0(n2，3，)， 故x n n2 单调减少，再由 x n 0(n2，3，)，则 x n 存在， 令 x n A，等式 x n1 两边令 n得 A ，解得 )解析：14.设函数 f(x)可导且 0f(x)
12、(k0)，对任意的 x n ，作 x n1 f(x n )(n0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n1 x n f(x n )f(x n1 )f( n )(x n x n1 )，因为 f(x)0，所以 x n1 x n 与 x n x n1 同号，故x n 单调 x n f(x n1 )f(x n ) xn xn1 f(x)dx f(x n ) xn xn1 f(x)dxf(x n ) dxf(x n )k， 即x n 有界，于是 x n 存在， 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n1 f(x n )两边令 n，得 )解析：15.设函数 f
13、(x)在 x1 的某邻域内有定义，且满足f(x)2e x (x1) 2 ，研究函数 f(x) 在x1 处的可导件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x1 代入不等式中，得 f(1)2e 当 x1 时，不等式两边同除以x1，得 )解析：16.设 f(x)在a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在 1 ， 2 a,a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 存在，得 f(0)0，f(0)0，f(0)0， 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x) x 4 其中 介于 0 与 x 之间 (
14、2)上式两边积分得 a a f(x)dx a a f (4) ()x 4 dx 因为 f (4) (x)在a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) Mx 4 ， 两边在a，a上积分得 a 5 a a f (4) ()x 4 dx a 5 ， 从而 a a f (4) ()x 4 dx a a f(x)dx ， 于是 m a a f(x)dxM， 根据介值定理，存在 1 a，a，使得 f (4) ( 1 ) )解析：17.设 f(x)在0，)内二阶可导，f(0)2，f(0)1，f(x)0证明：f(x)0 在(0，)内有且仅有
15、一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)1 当 x0时，f(x)f(0)f()x，从而 f(x)f(0)x，因为 f(0)x/， 所以 f(x) 由 f(x)在0，)上连续，且 f(0)20， )解析：18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(x)dx0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)0； (2)存在 i (a，b)(i1，2)，且 i 2 ，使得 f( 1 )f( i )0(i1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()f()； (4)存在 (a，b)，使
16、得f()3f()2f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x) a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(x) f(x)故存在 c(a，b)，使得 a b f(x)dxF(b)F(a)F(c)(ba)f(c)(ba)0，即 f(c)0 (2)令 h(x)e x f(x)，因为 h(a)h(c)h(b)0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )h( 2 )0， 而 h(x)e x f(x)f(x)且 e x 0，所以 f( i )f( i )0(i1，2) (3)令 (x)e x f(x)f(x)，(
17、 1 )( 2 )0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a， b)，使得 ()0， 而 (x)e x f(x)f(x)且 e x 0，所以 f()f() (4)令 g(x)e x f(x)，g(a)g(c)g(b)0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g( 1 )g( 2 )0， 而 g(x)e x f(x)f(x)且 e x 0，所以 f( 1 )f( 1 )0，f( 2 )f( 2 )0 令 (x)e 2x f(x)f(x)，( 1 )( 2 )0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：19.设 f(x)在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明
18、： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n1)T， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n1)T f(t)dt 即 n 0 T f(t)dt 0 x f(t)dt(n1) 0 T f(t)dt，由 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c) f(x) 根据积分中值定理， f(x)dxf()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)f() c f(x)dx，取绝对值得 f(c)
19、f() c )f(x)dxf() a b f(x)dx，即 )解析：21.求二元函数 zf(x，y)x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y0(0x6)上，z0； 在 L 2 ：x0(0y6)上，z0； 在 L 3 ：y6x(0x6)上，z2x 2 (6x)2 3 12x 2 由 6x 2 24x0 得 x4，因为 f(0，6)0，f(6，0)0，f(4，2)64，所以 f(x，y)在 L 3 上最小值为64，最大值为 0 (2)在区域
20、 D 内，由 得驻点为(2，1)， )解析：22.已知 f(x，y) 设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求 F(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)0； 当 0t1 时，F(t) ； 当 1t2 时，F(t) f(x，y)dxdy1 )解析：23.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 yx 对称， )解析：24.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n c n1 u n1 0，且 u n 也发散
21、； (2)若对一切正整数 n 满足 c n c n1 a(a0)，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n c n1 u n1 0，于是 c n u n c n1 u n1 c n u n c 1 u 1 0， 从而 u n c 1 u 1 也发散 (2)因为对所有 n 满足 c n c n1 a，则 c n u n c n1 u n1 au n1 ，则 c n u n (c n1 a)u n1 ，所以 ，于是 )解析：25.证明：S(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数的收敛域为(，)， 显然 S(x)满足
22、微分方程 y (4) y0 y (4) y0 的通解为 yC 1 e x C 2 e x C 3 cosxC 4 sinx， 由 S(0)1，S(0)S(0)S(0)0 得 ，C 1 0，故和函数为 S(x) )解析：26.设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 yf(x)，x1，xa(a1)及 x 轴 所围成平面图形绕x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 f(1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设知， 1 a f 2 (x)dx a 2 f(a)f(1)，两边对 a 求导，得 3f 2 (a)2af(a)a 2 f(a) ， )解析：27.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)1由 yf(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x轴的直线围成的图形的面积与 yf(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
