1、考研数学三(微积分)模拟试卷 181 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0 使得( )(分数:2.00)A.对任意的 x(0,)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0,)有 f(x)f(0)C.当 x(0,)时,f(x)为单调增函数D.当 x(0,)时,f(x)是单调减函数3.f(x) (分数:2.00)A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x0 处不连续D.可导且 f(x)在 x0 处连续4
2、.设 F(x) x x2 e sint sintdt,则 F(x)( )(分数:2.00)A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关5.设 y(x)是微分方程 y(x1)yx 2 ye x 满足初始条件 y(0)0,y(0)1 的解,则 (分数:2.00)A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.设 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x) (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x) (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_9. 1 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 f(x)的一个原函数为 (分数:2.00
3、)填空项 1:_11. 1 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.设 a0,x 1 0,且定义 x n1 (n1,2,),证明: (分数:2.00)_14.设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0),对任意的 x n ,作 x n1 f(x n )(n0,1,2,),证明: (分数:2.00)_15.设函数 f(x)在 x1 的某邻域内有定义,且满足f(x)2e x (x1) 2 ,研究函数 f(x) 在x1 处的可导件(分数:2.00)_16.设 f(x)在a,a(a0)上有
4、四阶连续的导数, 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式; (2)证明:存在 1 , 2 a,a,使得 (分数:2.00)_17.设 f(x)在0,)内二阶可导,f(0)2,f(0)1,f(x)0证明:f(x)0 在(0,)内有且仅有一个根(分数:2.00)_18.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)0,f(x)dx0证明: (1)存在c(a,b),使得 f(c)0; (2)存在 i (a,b)(i1,2),且 i 2 ,使得 f( 1 )f( i )0(i1,2); (3)存在 (a,b),使得 f()f(); (4)存在 (a,b),使得f
5、()3f()2f()0(分数:2.00)_19.设 f(x)在0,)上连续,非负,且以 T 为周期,证明: (分数:2.00)_20.设 f(x)在a,b上连续可导,证明: f(x) (分数:2.00)_21.求二元函数 zf(x,y)x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值(分数:2.00)_22.已知 f(x,y) 设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域,求 F(t) (分数:2.00)_23.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb 证明: (分数:2.00)_24.设u n ,c n 为正项数列,
6、证明: (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n c n1 u n1 0,且 u n 也发散; (2)若对一切正整数 n 满足 c n c n1 a(a0),且 (分数:2.00)_25.证明:S(x) (分数:2.00)_26.设函数 f(x)(x0)可微,且 f(x)0将曲线 yf(x),x1,xa(a1)及 x 轴 所围成平面图形绕x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 f(1) (分数:2.00)_27.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微,且 f(0)1由 yf(x),x 轴,y 轴及过点(x,0)且垂直于 x轴的直线围成的图形的面积与 yf(x)在0,x
7、上弧的长度相等,求 f(x)(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 181 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0 使得( )(分数:2.00)A.对任意的 x(0,)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0,)有 f(x)f(0)C.当 x(0,)时,f(x)为单调增函数D.当 x(0,)时,f(x)是单调减函数解析:解析:因为 f(0)0,所以 0,根据极限的保号性,存在 0,当 x(0
8、,)时, 有3.f(x) (分数:2.00)A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x0 处不连续D.可导且 f(x)在 x0 处连续 解析:解析:显然 f(x)在 x0 处连续,因为 ,所以 f(x)在 x0 处可导,当 x0 时,f(x)arctan , 当 x0 时,f(x)arctan , f(0) ,所以 f(x)在 x0 处连续,选(D)4.设 F(x) x x2 e sint sintdt,则 F(x)( )(分数:2.00)A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析:解析:由周期函数的平移性质,F(x) x x2 e sint sintdt,再由对称区间
9、积分性 质得 F(x) 0 (e sint e sint sint)dt 0 (e sint e sint )sintdt, 又(e sint e sint )sint 连续、非负、不恒为零,所以 F(x)0,选(A)5.设 y(x)是微分方程 y(x1)yx 2 ye x 满足初始条件 y(0)0,y(0)1 的解,则 (分数:2.00)A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析:解析:微分方程 y(x1)yx 2 ye x 中,令 x0,则 y(0)2, 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析: 7
10、.设 f(x) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: ,因为函数 f(x)在 x0 处连续, 所以 a8.设 f(x) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a2)填空项 1:_ (正确答案:b1)解析:解析:因为 f(x)在 x1 处可微,所以 f(x)在 x1 处连续, 于是 f(10)f(1)1(10)ab,即 ab19. 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.设 f(x)的一个原函数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:11. 1 (分数:2.00)填
11、空项 1:_ (正确答案:正确答案:2(1ln2))解析:解析:三、解答题(总题数:16,分数:32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.设 a0,x 1 0,且定义 x n1 (n1,2,),证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为正数的算术平均数不小于几何平均数,所以有 x n1 (n1,2,),从而 x n1 x n 0(n2,3,), 故x n n2 单调减少,再由 x n 0(n2,3,),则 x n 存在, 令 x n A,等式 x n1 两边令 n得 A ,解得 )解析:14.设函数 f(x)可导且 0f(x)
12、(k0),对任意的 x n ,作 x n1 f(x n )(n0,1,2,),证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:x n1 x n f(x n )f(x n1 )f( n )(x n x n1 ),因为 f(x)0,所以 x n1 x n 与 x n x n1 同号,故x n 单调 x n f(x n1 )f(x n ) xn xn1 f(x)dx f(x n ) xn xn1 f(x)dxf(x n ) dxf(x n )k, 即x n 有界,于是 x n 存在, 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续,等式 x n1 f(x n )两边令 n,得 )解析:15.设函数 f
13、(x)在 x1 的某邻域内有定义,且满足f(x)2e x (x1) 2 ,研究函数 f(x) 在x1 处的可导件(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 x1 代入不等式中,得 f(1)2e 当 x1 时,不等式两边同除以x1,得 )解析:16.设 f(x)在a,a(a0)上有四阶连续的导数, 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式; (2)证明:存在 1 , 2 a,a,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 存在,得 f(0)0,f(0)0,f(0)0, 则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x) x 4 其中 介于 0 与 x 之间 (
14、2)上式两边积分得 a a f(x)dx a a f (4) ()x 4 dx 因为 f (4) (x)在a,a上为连续函数,所以 f (4) (x)在a,a上取到最大值 M 和最小值 m,于是有 mx 4 f (4) Mx 4 , 两边在a,a上积分得 a 5 a a f (4) ()x 4 dx a 5 , 从而 a a f (4) ()x 4 dx a a f(x)dx , 于是 m a a f(x)dxM, 根据介值定理,存在 1 a,a,使得 f (4) ( 1 ) )解析:17.设 f(x)在0,)内二阶可导,f(0)2,f(0)1,f(x)0证明:f(x)0 在(0,)内有且仅有
15、一个根(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)0,所以 f(x)单调不减,当 x0 时,f(x)f(0)1 当 x0时,f(x)f(0)f()x,从而 f(x)f(0)x,因为 f(0)x/, 所以 f(x) 由 f(x)在0,)上连续,且 f(0)20, )解析:18.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)0,f(x)dx0证明: (1)存在c(a,b),使得 f(c)0; (2)存在 i (a,b)(i1,2),且 i 2 ,使得 f( 1 )f( i )0(i1,2); (3)存在 (a,b),使得 f()f(); (4)存在 (a,b),使
16、得f()3f()2f()0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 F(x) a x f(t)dt,则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 F(x) f(x)故存在 c(a,b),使得 a b f(x)dxF(b)F(a)F(c)(ba)f(c)(ba)0,即 f(c)0 (2)令 h(x)e x f(x),因为 h(a)h(c)h(b)0,所以由罗尔定理,存在 1 (a,c), 2 (c,b),使得 h( 1 )h( 2 )0, 而 h(x)e x f(x)f(x)且 e x 0,所以 f( i )f( i )0(i1,2) (3)令 (x)e x f(x)f(x),(
17、 1 )( 2 )0,由罗尔定理,存在 ( 1 , 2 ) (a, b),使得 ()0, 而 (x)e x f(x)f(x)且 e x 0,所以 f()f() (4)令 g(x)e x f(x),g(a)g(c)g(b)0, 由罗尔定理,存在 1 (a,c), 2 (c,b),使得 g( 1 )g( 2 )0, 而 g(x)e x f(x)f(x)且 e x 0,所以 f( 1 )f( 1 )0,f( 2 )f( 2 )0 令 (x)e 2x f(x)f(x),( 1 )( 2 )0, 由罗尔定理,存在 ( 1 , 2 ) )解析:19.设 f(x)在0,)上连续,非负,且以 T 为周期,证明
18、: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对充分大的 x,存在自然数 n,使得 nTx(n1)T, 因为 f(x)0,所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n1)T f(t)dt 即 n 0 T f(t)dt 0 x f(t)dt(n1) 0 T f(t)dt,由 )解析:20.设 f(x)在a,b上连续可导,证明: f(x) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在a,b上连续,所以f(x)在a,b上连续,令f(c) f(x) 根据积分中值定理, f(x)dxf(),其中 a,b 由积分基本定理,f(c)f() c f(x)dx,取绝对值得 f(c)
19、f() c )f(x)dxf() a b f(x)dx,即 )解析:21.求二元函数 zf(x,y)x 2 y(4xy)在由 x 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)求 f(x,y)在区域 D 的边界上的最值, 在 L 1 :y0(0x6)上,z0; 在 L 2 :x0(0y6)上,z0; 在 L 3 :y6x(0x6)上,z2x 2 (6x)2 3 12x 2 由 6x 2 24x0 得 x4,因为 f(0,6)0,f(6,0)0,f(4,2)64,所以 f(x,y)在 L 3 上最小值为64,最大值为 0 (2)在区域
20、 D 内,由 得驻点为(2,1), )解析:22.已知 f(x,y) 设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域,求 F(t) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 t0 时,F(t)0; 当 0t1 时,F(t) ; 当 1t2 时,F(t) f(x,y)dxdy1 )解析:23.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb 证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为积分区域关于直线 yx 对称, )解析:24.设u n ,c n 为正项数列,证明: (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n c n1 u n1 0,且 u n 也发散
21、; (2)若对一切正整数 n 满足 c n c n1 a(a0),且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n c n1 u n1 0,于是 c n u n c n1 u n1 c n u n c 1 u 1 0, 从而 u n c 1 u 1 也发散 (2)因为对所有 n 满足 c n c n1 a,则 c n u n c n1 u n1 au n1 ,则 c n u n (c n1 a)u n1 ,所以 ,于是 )解析:25.证明:S(x) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然级数的收敛域为(,), 显然 S(x)满足
22、微分方程 y (4) y0 y (4) y0 的通解为 yC 1 e x C 2 e x C 3 cosxC 4 sinx, 由 S(0)1,S(0)S(0)S(0)0 得 ,C 1 0,故和函数为 S(x) )解析:26.设函数 f(x)(x0)可微,且 f(x)0将曲线 yf(x),x1,xa(a1)及 x 轴 所围成平面图形绕x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)f(1)若 f(1) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由题设知, 1 a f 2 (x)dx a 2 f(a)f(1),两边对 a 求导,得 3f 2 (a)2af(a)a 2 f(a) , )解析:27.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微,且 f(0)1由 yf(x),x 轴,y 轴及过点(x,0)且垂直于 x轴的直线围成的图形的面积与 yf(x)在0,x上弧的长度相等,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析: