1、考研数学三（微积分）模拟试卷 180 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且
2、 f( 0 ) D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 4.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x) 0 x f(xt)dt，G(x) 0 1 xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小5.设幂级数 a n (x2) n 在 x6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2B.4C.D.无法确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.当 x0 时，xsinxcos2xcx x ，则 c 1，k 2（分数
3、：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_8.设函数 yy(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.I(x) （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)在1，)内可导，f(x)0 且 f(x)a0，令 a n 1 n f(x)dx证明：a n )收敛且 0 （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.设 f(x)连续
4、，(x) 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点(1)写出 f(x)在 xc 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；(2)证明：f(c)2a（分数：2.00）_17.设 f(x)3x 3 Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20？（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的 a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_19.设 S(x) 0 x c
5、ostdt (1)证明：当 nx(n1) 时，2nS(x)2(n1)； (2)求 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)f(b)0证明： f(x) （分数：2.00）_21.设 uu(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_22.计算 0 1 dx （分数：2.00）_23.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得f(x,y)g(x,y)df(,) （分数：2.00）_24.设 (n1，2，；a n 0，b n 0)，证明： (1)若级数 b n
6、 收敛，则级数 a n 收敛； (2)若级数 a n 发散，则级数 （分数：2.00）_25.设 f(x) ，且 a 0 1,a n1 a n n(n0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求 （分数：2.00）_26.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_27.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比， 在 t10 s 时，速度等于 50 cms外力为 392 cms 2 ，问运动开始 1 min 后的速度是多少?（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 180 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、
7、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以 0， 于是3.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 f( 0 ) D.若 f(x)在 x 0 的去心
8、邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：解析：设 f(x) 显然 f(x)在 x0 处连续，对任意的 x 0 0，因为 f(x) 不存在，所以 f(x)在 x 0 处不连续，(A)不对； 同理 f(x)在 x0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，(B)不对； 因为 f()，其中 介于 x 0 与 x 之间，且 f(x)存在，所以 也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 f(x 0 ) f(x)，选(C)； 令 4.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x) 0 x f(x
9、t)dt，G(x) 0 1 xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：F(x) 0 x f(xt)dt 0 x f(xt)d(xt) 0 x f(u)du， G(x) 0 1 xg(xt)dt 0 x g(u)du，则 5.设幂级数 a n (x2) n 在 x6 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）A.2 B.4C.D.无法确定解析：解析：因为 a n (x2) n 在 x6 处条件收敛，所以级数 a n x n 的收敛半径为R4，又因 为级数 a n x n 有相同的收敛
10、半径，所以 的收敛半径为 R4，于是 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.当 x0 时，xsinxcos2xcx x ，则 c 1，k 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为 x0 时，sinxx (x 3 )， cos2x1 (x 2 )12x 2 (x 2 )， sinxcos2xx 3 (x 3 )， 所以 xsinxcos2x x 3 (x 3 ) x 3 ，故 c 7.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为(1 x 2 ，cos 2 x1(cosx1
11、)(cosx1)x 2 ， 且(1 8.设函数 yy(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(xln2)）解析：解析：当 xln2 时，t1；当 t1 时，y0 (1)当 t1 时，由 1， 0 y e u2 du t2 1 arcsinudu0 两边对 t 求导数得 2tarcsint 2 0， 则 ，则法线方程为y (xln2) (2)当 t1 时，由 1 0 y e u2 du t2 1 arcsinudu0 两边对 t求导得 e y2 2tarcsint 2 0， 则 ，法线方程为 y (xln2)， 即法线方程为y 9. 1 （分数：2.00）填空项 1:
12、_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.I(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析： I(x)0，当 x 时，I(x)0，所以 x 为 f(x)在1，1上的最小值点，又 I(1) 0 1 ln(u 2 u1) 0 1 0， I(1) 0 1 11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3e）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(x)在1，)内可导，f(x)0 且 f(x)a0，令 a n 1 n f(x)dx证明
13、：a n )收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n1 a n f(n1) n n1 f(x)dxf(n1)f()0(n，n1)， 所以a n 单调减少 因为 a n k k1 f(k)f(x)dxf(n)，而 k k1 f(k)f(x)dx0(k1，2，n1) 且 f(x)a0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，)，故 a n f(n)0，所以 a n 存在 由 a n f(1)f(2) 1 2 f(x)dxf(n) n1 n f(x)dx， 而f(k) k1 k f(x)
14、dx0(k2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)连续，(x) 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，(x) 0 1 f(xt)dt 0 1 f(xt)d(xt) 0 x f(u)du， (x) xf(x) 0 x f(u)du 当 x0 时，(0) 0 1 f(0)dt0， 因为 )解析：16.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点(1)写出 f(x)在 xc 处带 Lagr
15、ange 型余项的一阶泰勒公式；(2)证明：f(c)2a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(x)f(c)f(c)(xc) (xc) 2 ，其中 介于 c 与 x 之间 (2)分别令 x0，x1，得 f(0)f(c)f(c)c c 2 ， 1 (0,c)， f(1)f(c)f(c)(1c) (1c 2 )， 2 (c,1)， 两式相减，得 f(c)f(1)f(0) (1c) 2 ，利用已知条件，得 f(c)2a c 2 (1c) 2 ， 因为 c 2 (1c) 2 1，所以f(c)2a )解析：17.设 f(x)3x 3 Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f
16、(x)20？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)20 等价于 A20x 3 3x 5 ， 令 (z)20x 2 3x 5 ，由 (x)60x 2 15x 4 0，得 x2， (x)120x60x 3 ，因为 (2)2400，所以 x2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20)解析：18.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的 a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)0，f(1)1，且 f(0) f(1)，
17、所以由 端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c) 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得 )解析：19.设 S(x) 0 x costdt (1)证明：当 nx(n1) 时，2nS(x)2(n1)； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 nx(n1) 时， 0 n costdt 0 x costdt 0 (n1) costdt， 0 n costdtn 0 costdtn costdt2n costdt2n， 0 (n1) costdt2(n1)，则 2nS(x)2(n1) (2)由 nx(n1)，得 ， 从而 ，根据夹逼定理得 )解析：20.设 f
18、(x)在a，b上连续可导，且 f(a)f(b)0证明： f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 f(a)f(b)0，所以 两式相加得f(x) )解析：21.设 uu(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 ， 所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数 从而 )解析：22.计算 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得f(x,y)g(x,y
19、)df(,) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 m g(x,y)d f(x,y)g(x,y)dM g(x,y)d (1)当 g(x，y)d0 时， f(x，y)g(x，y)d0，则对任意的(，)D，有 f(x,y)g(x,y)df(,) g(x,y)d (2)当g(x,y)d0 时， )解析：24.设 (n1，2，；a n 0，b n 0)，证明： (1)若级数 b n 收敛，则级数 a
20、 n 收敛； (2)若级数 a n 发散，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 ，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， )解析：25.设 f(x) ，且 a 0 1,a n1 a n n(n0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x)xe x 则 f(x)满足的微分方程为 f(x)f(x)xe x ， f(x) 因为 a 0 1，所以 f(0)1，从而 C1，于是 f(x)e x )解析：26.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： coty，解得 f(0，y)Csiny 由 f(0， )1，得 C1，即 f(0，y)siny 又由 )解析：27.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比， 在 t10 s 时，速度等于 50 cms外力为 392 cms 2 ，问运动开始 1 min 后的速度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 F ，因为当 t10 时，v50，F392，所以 k196， 从而F ，分离变量得 vdv196tdt， 所以 v 2 98t 2 C，由 v t10 50，得C8550， 于是 )解析：
