1、考研数学三（微积分）模拟试卷 179 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x) 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.设 f(x)在 xa 的邻域内有定义，且 f (a)与 f (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 xa 处不连续B.f(x)在 xa 处连续C.f(x)在 xa 处可导D.f(x)在 xa 处连续可导4.设函数 f(x)在(，)内连续，其导数的图形如下
2、页图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点5.设 u n (1) n ln ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在 x0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 0 y e t dt 0 x xy 确定函数 yy(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设连续非负
3、函数 f(x)满足 f(x)f(x)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) 0 x tf(t 2 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ， 求 n 及 f(0)（分数：2.00）_14.设 f(x)a 1 ln(1x)a 2 ln(12x)a n ln(1nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且 对一切 x 有f(x)e x 1证明：a 1 2a
4、2 na n 1（分数：2.00）_15.设 f(x) （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0)f(1)f(1)0证明：方程 f(x)f(x)0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1)0证明：存在 (0，1)，使得 f() （分数：2.00）_19.设 f(x)连续， 0 x tf(xt)dt1cosx，求 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： a
5、b f 2 (x)dx （分数：2.00）_21.设 uf(x，y，xyz)，函数 zz(x，y)由 e xyz xy z (xyzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h连续，求 （分数：2.00）_22.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x,y)g(u,v)，若 （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy （分数：2.00）_24.证明：(1)设 a n 0，且na n 有界，则级数 a n 2 收敛； (2) n 2 a n k0，则级数 （分数：2.00）_25.将函数 f(x)arctan （分数：2.00）_26.
6、设 yy(x)二阶可导，且 y0，xx(y)是 yy(x)的反函数(1)将 xx(y)所满足的微分方程0 变换为 yy(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0)（分数：2.00）_27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 1 8m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 179 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2
7、.设 f(x) 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：因为 f(x) 在(，)内连续，所以 a0，又因为3.设 f(x)在 xa 的邻域内有定义，且 f (a)与 f (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 xa 处不连续B.f(x)在 xa 处连续 C.f(x)在 xa 处可导D.f(x)在 xa 处连续可导解析：解析：因为 f (a)存在，所以 存在，于是 4.设函数 f(x)在(，)内连续，其导数的图形如下页图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大
8、值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点 D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时， f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f(x)0，则 xx 1 为 f(x)的极大值 点；当 x(x 2 ，0)时，f(x)0，则 xx 2 为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3 )时， f(x)0，则 x0 为 f(x)的极大值点；当 x(
9、x 3 ，x 4 )时，f(x)0，则 xx 3 x 为 f(x)的极小值点；当 xx 4 时，f(x)0，则 xx 4 为 f(x)的极大值点，即 f(x) 有三个极大值点，两个极小值点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两 侧的增减性可得，yf(x)有两个拐点，选(C)5.设 u n (1) n ln ，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x)在 x0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
10、(x2)）解析：解析： f(2) ，则曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y8.设 0 y e t dt 0 x xy 确定函数 yy(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 y e t dt 0 x costdtxy 两边对 x 求导得 9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：11.已知 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
11、析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) 0 x tf(t 2 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ， 求 n 及 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x) 0 x tf(t 2 x 2 )dt 0 x f(t 2 x 2 )d(t 2 x 2 ) x 2 0 f(u)du 0 x2 f(u)du， 则 n22，n4，且 )解析：14.设 f(x)a 1 ln(1x)a 2 ln(12x)a n ln(1nx)，其中
12、a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且 对一切 x 有f(x)e x 1证明：a 1 2a 2 na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由f(x)e x 1得 而 a 1 2a 2 na n ， 且 )解析：15.设 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x0 处不可导 于是 f(x) 令 f(x)0 得 x1 或 x 当 x1 时，f(x)0；当1x0 时，f(x)0；当0x 时，f(x)0； 当 x 时，f(x)0 故 x1 为极小点，极小值 f(1)1 ；x0 为极大点，极大值 f(0)1； x 为
13、极小点，极小值 )解析：16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 两式相加得 f(a)f(b)2f f( 1 )f( 2 ) 因为 f(x)在(a，b)内连续，所以 f(x)在 1 ， 1 上连续，从而 f(x)在 1 ， 2 上取到最 小值 m 和最大值 M，故 m M， 由介值定理，存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f()， 故 f(a)f(b)2f )解析：17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0)f(1)f(1)0证明：方程 f(x)
14、f(x)0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)f(x) 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)0， 而 (x)e x f(x)f(x)且 e x 0，所以方程 f(c)f(c)0 在(0，1)内有根)解析：18.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1)0证明：存在 (0，1)，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)(x1) 2 f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)f(1)0，根据 罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理
15、，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()0，而 (x)2(x1)f(x)(x1) 2 f(x)，所以 2(1)f()(1) 2 f()0，整理得 f() )解析：19.设 f(x)连续， 0 x tf(xt)dt1cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(xt)dt x 0 (xu)f(u)(du) 0 x (xu)f(u)du x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du， 得 x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du1cosx， 两边求导得 0 x f(u)dusinx，令 x )解析：20.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明：
16、 a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)0，得 f(x)f(a)f(x) a x f(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)( a x f(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f 2 (t)dt(xa) a b f 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx a b f 2 (x)dx )解析：21.设 uf(x，y，xyz)，函数 zz(x，y)由 e xyz xy z (xyzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： xy z h(xyzt)dt z x
17、y h(u)d(u) xy z h(u)du， )解析：22.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x,y)g(u,v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x) a x f(t)dt， 则 a b f(x)dx x b f(y)dy a b f(x)F(b)F(x)dx F(b) a b f(x)dx a b f(x)F(x)dxF 2 (b) a b F(x)dF(x) F 2 (b) )解析：24.证明：(1)设 a n 0，且na
18、 n 有界，则级数 a n 2 收敛； (2) n 2 a n k0，则级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M，即 0 ，而级数 (2)取 0 a n k0，所以存在 N0，当 nN 时， )解析：25.将函数 f(x)arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0) (1) n x 2n (1x1)， 由逐项可积性得 f(x)f(0) 0 x f(x)dx ， 所以 f(x) )解析：26.设 yy(x)二阶可导，且 y0，xx(y)是 yy(x)的反函数(1)将 xx(y)所满足的微分方程0 变换为 y
19、y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程得 yysinx，特征方程为 r 2 10，特征根为 r 1，2 1，因为 i 不是特征 值，所以设特解为 y * acosxbsinx，代入方程得 a0，b sinx，于 是方程的通解为 yC 1 e x C 2 e x sinx，由初始条件得 C 1 1，C 2 1，满足初始条 件的特解为 ye x e x )解析：27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 1 8m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段 的长度为(10x)m，另一段长度为(8x)m，此时链条受到的重力为 (10x)g(8x)g2(x1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 Fma 得 ，且 x(0)0，x(0)0， 解得 x(t) ，当链条滑过整个钉子时，x8， )解析：
