1、考研数学三（微积分）模拟试卷 177 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x) 0 x dt 0 t tln(1u 2 )du，g(x) （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f(x)0D.f(x)0，f(x)04.设
2、 k0，则函数 f(x)lnx （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个5.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)在 xa 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x) x x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）填空项 1:_11.设 a0，f(x)g(x) 而 D 表示整个平面，则 I （分数：2.00）填空项 1:
3、_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.设 xx(t)由 sint 1 xt du0 确定，求 （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，使得f()（分数：2.00）_17.设 0ab，证明： （分数：2.00）_18.设函数 yf(x)二阶可导，f(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 (y)（分数：2.00）_19.设 f(lnx) （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，a上一
4、阶连续可导，f(0)0，令 f(x)M证明： 0 a f(x)dx （分数：2.00）_21.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续 函数，且 a b (x)dx1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_22.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ， 需求函数分别为 q 1 2402p 1 ，q 2 10005p 2 ，总成本函数为 C3540(q 1 q 2 )， 问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少
5、?（分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.设na n 收敛，且 n(a n a n1 )收敛，证明：级数 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.设 uf 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_27.在 t0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 1 5gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1 Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 17
6、7 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x) 0 x dt 0 t tln(1u 2 )du，g(x) （分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析： m6 且 g(x) 3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0 B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f(x)0D.f(x)0，f(x)
7、0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x) f(x)，即 f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由 x0 时有 f(x)0，f(x)0， 得当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，选(A)4.设 k0，则函数 f(x)lnx （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，)，由 f(x) 0 得 xe，当 0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 xe 为函数 f(x)的最大值点，最 大值为 f(e)k0，又 f(x)，5.设 （分数：2.00）A.1B.
8、2 C.D.解析：解析：由 dxdy 0 2 d 0 a r d(a 2 r 2 ) 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 x sin(xt) 2 dt x 0 sinu 2 (du) 0 x sinu 2 du，则 7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，有 1cos a x x 2 ，则 1 (2x) 2 x 2 ，1cos ， 原式 8.设 f(x)在 xa 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
9、确答案：*）解析：解析：9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x) x x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 e）解析：解析： 0 f(x)cosxdx 0 f(x)d(sinx)f(x)sinx 0 0 f(x)sinxdx 0 e cosx sinxdxe cosx 0 e 1 e11.设 a0，f(x)g(x) 而 D 表示整个平面，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：由 f(x)g(yx) 得 I 三、解
10、答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 xx(t)由 sint 1 xt du0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t0 代入 sint 1 xt e u2 du0 得 1 x e u2 du0， 再由 e u2 0 得 x1， sint 1 xt e u2 du0 两边对 t 求导得 cost e1， cost 1)0 两边再对 t 求导得 sint2(xt)
11、 0， 将 t0，x1， )解析：16.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，使得f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f(b)f(a) f( 1 )f( 2 )，取绝对值得f(b)f(a) f( 1 )f( 2 ) (1)当f( 1 )f( 2 )时，取 1 ，则有f() f(b)f(a)； (2)当f( 1 )f( 2 )时，取 2 ，则有f() )解析：17.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 因为 ，所以令 (x)lnxlna ， (a)0，(x) 0(xa)， 由 0(xa
12、)，而 ba，所以 (b)0，即 令 f(x)lnx，则存在 (a，b)，使得 其中 0ab， 则 )解析：18.设函数 yf(x)二阶可导，f(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y) )解析：19.设 f(lnx) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnxt，则 f(t) 当 t0 时，f(t)tC 1 ；当 t0 时，f(t)e t C 2 显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 1C 2 ， 故 f(x) )解析：20.设 f(x)在0，a上一阶
13、连续可导，f(0)0，令 f(x)M证明： 0 a f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)f(0)f()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)0，所以f(x)f()xMx，x0，a， 从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx 0 a Mxdx )解析：21.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续 函数，且 a b (x)dx1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )f(x
14、 0 )(xx 0 ) 取 x 0 a b x(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx1，于 是有 a a b x(x)dxx 0 b 把 x 0 a b x(x)dx 代入 f(x)f(x 0 ) f(x 0 )(xx 0 ) 中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)f(x 0 )x(x)x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：22.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ， 需求函数分别为
15、q 1 2402p 1 ，q 2 10005p 2 ，总成本函数为 C3540(q 1 q 2 )， 问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：p 1 1205q 1 ，p 2 20020q 2 ，收入函数为 Rp 1 q 1 p 2 q 2 ， 总利润函数为 LRC(1205q 1 )q 1 (20020q 2 )q 2 3540(q 1 q 2 )， 由 )解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性 (x 2 4xy 2 )dxdy4 (x 2 y 2 )dxdy，其中 D 1 是
16、D 位于第一卦限的区域 )解析：24.设na n 收敛，且 n(a n a n1 )收敛，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n a 1 a 2 a n ，S n1 (a 1 a 0 )2(a 2 a 1 )(n1)(a n1 a n )， 则 S n1 (n1)a n1 S n a 0 ，因为 n(a n a n1 )收敛且数列na n 收敛， )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 uf 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(r)0 或 rf(r)f(r)0， 解得 rf(r)C 1 ，由 f(
17、1)2 得 C 1 2，于是 f(r) )解析：27.在 t0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 1 5gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1 Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t dt内有 dm 1 0，且满足初始条件 m 1 (0)150， 解得 m 1 (t) ；在时间t，tdt内有 dm 2 )解析：
