1、考研数学三(微积分)模拟试卷 147 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.函数 f(x)=xsinx( )(分数:2.00)A.当 x时为无穷大B.在(一,+)内有界C.在(一,+)内无界D.当 x时极限存在3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f(0)=b,其中 a,b 为非零常数,则( )(分数:2.00)A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=aC.f(x)在 x=1
2、 处可导,且 f(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=ab4.设在0,1上 f“(x)0,则 f(0),f(1),f(1) f(0)或 f(0) f(1)的大小顺序是( )(分数:2.00)A.f(1)f(0)f(1)一 f(0)B.f(1)f(1)一 f(0)f(0)C.f(1)一 f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)f(1)f(0)5.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x) 2 =x,且 f(0)=0,则( )(分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f
3、(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6.曲线 y=x(x1)(2x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )(分数:2.00)A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2x)dxC.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxD. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx7.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f(x 0 ,y 在 y=y 0 处的导数大于零B.f(x
4、0 ,y)在 y=y 0 处的导数等于零C.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数小于零D.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数不存在8.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy 为( )(分数:2.00)A. 0 e dy 0 lnx (x,y) dxB. ey e dy 0 1 f(x,y)dxC. 0 lnx dy 1 e f(x,y) dxD. 0 1 dy ey e f(x,y)dx9.设 a n 0(n=1,2,),且 a n 收敛,常数 ,则级数 (分数:2.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关10.函数 y=C 1 e x +C 2
5、 e 2x +xe x 满足的一个微分方程是( )(分数:2.00)A.y“一 y一 2y=3xe xB.y“一 y一 2y=3e xC.y“+y一 2y=3xe xD.y“+y一 2y=3e x二、填空题(总题数:10,分数:20.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_12.设函数 y= f(x)由方程 yx=e x(1y) 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 y= y(x)是由方程 xy+e y = x+1 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(x)=3x 2 + Ax 3 (x0),A 为正常数,则 A 至少为 1 时,有 f(x)20(
6、x0)。(分数:2.00)填空项 1:_15. (分数:2.00)填空项 1:_16.设二元函数 z= xe x+y +(x+1)ln(1+y),则 dz| (1,0) = 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.交换积分次序 1 0 dy 2 1y f(x,y)dx= 1。(分数:2.00)填空项 1:_18.若数列a n 收敛,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_19.将函数 (分数:2.00)填空项 1:_20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y一 2y=0 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)21.解答题解答
7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续,且有 (分数:2.00)_23.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数,且 f(0)f(0)0,当 h0 时,若 a(h)+bf(2h) f(0)=a(h),试求 a,b 的值。(分数:2.00)_24.设某商品的需求函数为 Q= 100 5P,其中价格 P(0,20),Q 为需求量。 ()求需求量对价格的弹性 E d (E d 0); ()推导 (分数:2.00)_25. (分数:2.00)_26.设 f(x),g(x)在a,b上连续,且满足 a b f(t)dt a x
8、 g(t)dt,x a,b), a b f(t)dt = a b g(t)dt。 证明 a b xf(x)dx a b xg(x)dx。(分数:2.00)_27.设 y=y(x),z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_28.已知 = 2x +y+1, (分数:2.00)_29.计算 (分数:2.00)_30.设数列a n 满足条件:a 0 =3,a 1 =1,a n2 一 n(n 一 1)a n =0(n2)。S(x)是幂级数 (分数:2.00)_31.设函数 y=y(x)
9、在(一,+)内具有二阶导数,且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程;()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y(0)= (分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 147 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.函数 f(x)=xsinx( )(分数:2.00)A.当 x时为无穷大B.在(一,+)内有界C.在(一,+)内无界 D.当 x时极限存在
10、解析:解析:令 x n = 2n+ ,y n = 2n+ ,则 f(x n )=2n+ ,f(y n )=0。因为 f(x n )=+, 3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f(0)=b,其中 a,b 为非零常数,则( )(分数:2.00)A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=ab 解析:解析:根据题意,令 x=0,则 f(1)=af(0)。 由导数的定义4.设在0,1上 f“(x)0,则 f(0),f(1),f(1)
11、 f(0)或 f(0) f(1)的大小顺序是( )(分数:2.00)A.f(1)f(0)f(1)一 f(0)B.f(1)f(1)一 f(0)f(0) C.f(1)一 f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)f(1)f(0)解析:解析:由已知 f“(x)0,x0,1,所以函数 f(x)在该区间内单调增加,又由拉格朗日中值定理,可得 f(1)一 f(0)=f(),(0,1)。 于是有 f(0)f()f(1), 即 f(0)f(1) f(0)f(1)。 故选 B。5.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x) 2 =x,且 f(0)=0,则( )(分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的
12、极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析:由于 f“(x)=x 一f(x) 2 ,该等式右边可导,故 f“(x)可导。在题设等式两端对 x求导,得 f“(x)+2f(x)f“(x)=1。令 x=0 可得 f“(0)=1。又 f“(0)=0,由拐点的充分条件可知,(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。故选 C。6.曲线 y=x(x1)(2x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )(分数:2.00)A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dxB. 0 1
13、x(x 一 1)(2 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2x)dxC.一 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx解析:解析:由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分,其面积为这两部分的面积之和,所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可,显然 C 正确。事实上, S= 0 2 |y|dx= 0 2 |x(x 一 1)(2 一 x)|dx = 0 1 |x(x1)(2 一 x)|dx+ 1 2 |x(x 一 1)(2 一 x)|dx = a 2 x(x 一1)(2 一 x)dx
14、+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。7.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f(x 0 ,y 在 y=y 0 处的导数大于零B.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数等于零 C.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数小于零D.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数不存在解析:解析:因可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,故有 f x (x 0 ,y 0 )=0,f y (x 0 ,y 0 )=0。又由 f x (x 0 ,y 0 )= 8.交换积分次序 1 e dx 0 lnx
15、 f(x,y)dy 为( )(分数:2.00)A. 0 e dy 0 lnx (x,y) dxB. ey e dy 0 1 f(x,y)dxC. 0 lnx dy 1 e f(x,y) dxD. 0 1 dy ey e f(x,y)dx 解析:解析:交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy= 0 1 dy ey e f(x,y)dx。9.设 a n 0(n=1,2,),且 a n 收敛,常数 ,则级数 (分数:2.00)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析:解析:利用比较法。因为 而由正项级数 a n 收敛可知, 10.函数 y=C 1 e x +C 2
16、e 2x +xe x 满足的一个微分方程是( )(分数:2.00)A.y“一 y一 2y=3xe xB.y“一 y一 2y=3e xC.y“+y一 2y=3xe xD.y“+y一 2y=3e x 解析:解析:根据所给解的形式,可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1 =1, 2 =一2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2 + 一 2=0, 故对应的齐次微分方程为 y“+y-2y=0。 又因为 y * =xe x 为原微分方程的一个特解,而 h=1 为特征根且为单根,故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f(x)=Ce x (C 为常数)。 比较四个选项,应选 D。二、填空题(
17、总题数:10,分数:20.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:该极限式为 1 型未定式,可直接利用重要极限公式 进行计算, 12.设函数 y= f(x)由方程 yx=e x(1y) 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:当 x=0 时,y=1。对方程两边求导得 y1=e x(1y) (1y xy), 将 x=0,y=1 代入上式,可得 y(0)=1。 所以 13.设 y= y(x)是由方程 xy+e y = x+1 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解
18、析:在方程 xy+e y =x+1 两边对 x 求导,有 y+xy+ye y =1,得 对 y+xy+ye y =1 再次求导,可得 2y+ xy“+y“e y +(y) 2 e y =0,得 当 x=0 时,y=0,y(0)=1,代入(*)得 14.设 f(x)=3x 2 + Ax 3 (x0),A 为正常数,则 A 至少为 1 时,有 f(x)20(x0)。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:64)解析:解析:要使 f(x)20,只需 3x 5 +A20x 3 ,即 20x 3 3x 5 A(x0)。 设 g(x)=20x 3 3x 5 ,则 A 至少是 g(x)在(0
19、,+)内的最大值。 由于 g(x)= 60x 2 15x 4 = 15x 2 (4一 x 2 )所以 x=2 是 g(x)在(0,+)的最大值点,故 A 至少为 g(2)=64。15. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:16.设二元函数 z= xe x+y +(x+1)ln(1+y),则 dz| (1,0) = 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2edx+(e+2)dy)解析:解析:由已知 =ex+y + xe x+y +ln(1+y), 17.交换积分次序 1 0 dy 2 1y f(x,y)dx= 1。(分数:2.00)填空项
20、 1:_ (正确答案:正确答案: 1 2 dx 0 1x f(x,y)dy)解析:解析:由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 1411):1y0,1yx2。则有 1 0 dy 1y 2 f(x,y)dx = 18.若数列a n 收敛,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:收敛)解析:解析:由题干知,级数 (a n+1 一 a n )的部分和数列为 S n =(a 2 一 a 1 )+(a 3 一 a 2 )+(a n+1 一 a n ) =a n+1 一 a 1 , 因为数列a n 收敛,所以S n 收敛。 因此,级数 19.将函数 (分数:2.00)填空
21、项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:对已知函数从 0 到 x 求积分,有20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y一 2y=0 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx,C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)解析:解析:微分方程对应的特征方程为 3 一 2 2 + 一 2=0。解上述方程可得其特征值为2,i,于是其中一组特解为 e 2x ,cosx,sinx。因此通解为 y=C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数。三、解答题
22、(总题数:11,分数:22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:22.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续,且有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知条件得 f(x+1)+1+3sin 2 x=0, 因此有 f(x+1)+3sin 2 x=f(1)+0 =0,故 f(1)=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0,现利用等价无穷小替换: 当 x0 时, ln1+f(x +1)+3sin 2 xf(x+1)+3sin 2 x, )解析:23.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数,且
23、 f(0)f(0)0,当 h0 时,若 a(h)+bf(2h) f(0)=a(h),试求 a,b 的值。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设条件知 af(h)+bf(2h)一 f(0)=(a+b1)f(0)。 由于f(0)0,故必有 a+b1=0。 又由洛必达法则 )解析:24.设某商品的需求函数为 Q= 100 5P,其中价格 P(0,20),Q 为需求量。 ()求需求量对价格的弹性 E d (E d 0); ()推导 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 又令 E d = =1,得 P=10。当 10P20 时,E d 1,于是 )解析:25. (分数:2.00)_正确答
24、案:(正确答案: )解析:26.设 f(x),g(x)在a,b上连续,且满足 a b f(t)dt a x g(t)dt,x a,b), a b f(t)dt = a b g(t)dt。 证明 a b xf(x)dx a b xg(x)dx。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=f(x)g(x),G(x)= a x F(t)dt,由题设 G(x)0,x a,b),且 G(a)=G(b)=0,G(x)=F(x)。 从而 a b xF(x)dx= a b xdG(x)=xG(x)| a b 一 a b Gcx)dx= a b G(x)dx,由于 G(x)0,xa,b),故有一 a
25、 b G(x)dx0,即 a b xF(x)dx0。 因此 a b xf(x)dx a b xg(x)dx。)解析:27.设 y=y(x),z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:分别在 z= xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 的两端对 x 求导,得 )解析:28.已知 = 2x +y+1, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 = 2x +y+1,有 u(x,y)=x 2 +xy+x+(y),再结合 =x+2y+3,有 x+(y)=x+2
26、y+3,得 (y)=2y +3,(y)=y 2 +3y+C。 于是 u(x,y)=x 2 +xy+x+y 2 +3y+C。 又由 u(0,0)=1 得 C=1,因此 u(x,y)=x 2 +xy+y 2 +x+3y +1。 )解析:29.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.设数列a n 满足条件:a 0 =3,a 1 =1,a n2 一 n(n 一 1)a n =0(n2)。S(x)是幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()证明:由题意得 S(x)= na n x n1 , S“(x)= n(n 一1)a n x n2 = (n+1)(n+2)a n
27、+2x n , 因为由已知条件得 a n =(n+1)(n+2)a n+2 (n=0,1,2,),所以 S“(x)=S(x),即 S“(x)一 S(x)=0。 ()S“(x)一 S(x)=0 为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为 2 一 1=0,从而 A=1,于是 S(x)=C 1 e x +C 2 e x , 由 S(0)=a 0 =3,S(0)=a 1 =1,得 )解析:31.设函数 y=y(x)在(一,+)内具有二阶导数,且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程;()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y(0)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由反函数的求导公式知 ,于是有 代入原微分方程得 y“一y=sinx。 ()方程(*)所对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e x 。 设方程(*)的特解为 y * =Acosx+Bsinx, 代入方程(*),求得 A=0,B= ,故 y * = ,因此 y“一y=sinx 的通解是 y=y+y * =C 1 e x +C 2 e x sinx。 由 y(0)=0,y(0)= ,得 C 1 =1,C 2 =一 1。故所求初值问题的特解为 y=e x e x 一 )解析: