1、考研数学三（微积分）模拟试卷 147 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f（x）=xsinx（ ）（分数：2.00）A.当 x时为无穷大B.在（一，+）内有界C.在（一，+）内无界D.当 x时极限存在3.设函数 f（x）对任意的 x 均满足等式 f（1+x）=af（x），且有 f（0）=b，其中 a，b 为非零常数，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）在 x=1 处不可导B.f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=aC.f（x）在 x=1
2、 处可导，且 f（1）=bD.f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=ab4.设在0，1上 f“（x）0，则 f（0），f（1），f（1） f（0）或 f（0） f（1）的大小顺序是（ ）（分数：2.00）A.f（1）f（0）f（1）一 f（0）B.f（1）f（1）一 f（0）f（0）C.f（1）一 f（0）f（1）f（0）D.f（1）f（0）f（1）f（0）5.设函数 f（x）满足关系式 f“（x）+f（x） 2 =x，且 f（0）=0，则（ ）（分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的极大值B.f（0）是 f（x）的极小值C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（0）不是 f
3、（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点6.曲线 y=x（x1）（2x）与 x 轴所围成的图形面积可表示为（ ）（分数：2.00）A.一 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dxB. 0 1 x（x 一 1）（2 x）dx 一 1 2 x（x 一 1）（2x）dxC.一 0 1 x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 1 2 x（x 一 1）（2 一 x）dxD. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx7.设可微函数 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ，y 在 y=y 0 处的导数大于零B.f（x
4、0 ，y）在 y=y 0 处的导数等于零C.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数小于零D.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数不存在8.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f（x，y）dy 为（ ）（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx （x，y） dxB. ey e dy 0 1 f（x，y）dxC. 0 lnx dy 1 e f（x，y） dxD. 0 1 dy ey e f（x，y）dx9.设 a n 0（n=1，2，），且 a n 收敛，常数 ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关10.函数 y=C 1 e x +C 2
5、 e 2x +xe x 满足的一个微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“一 y一 2y=3xe xB.y“一 y一 2y=3e xC.y“+y一 2y=3xe xD.y“+y一 2y=3e x二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 y= f（x）由方程 yx=e x（1y） 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y= y（x）是由方程 xy+e y = x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f（x）=3x 2 + Ax 3 （x0），A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f（x）20（
6、x0）。（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设二元函数 z= xe x+y +（x+1）ln（1+y），则 dz| （1，0） = 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.交换积分次序 1 0 dy 2 1y f（x，y）dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y一 2y=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答
7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：2.00）_23.设函数 f（x）在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f（0）f（0）0，当 h0 时，若 a（h）+bf（2h） f（0）=a（h），试求 a，b 的值。（分数：2.00）_24.设某商品的需求函数为 Q= 100 5P，其中价格 P（0，20），Q 为需求量。 （）求需求量对价格的弹性 E d （E d 0）； （）推导 （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.设 f（x），g（x）在a，b上连续，且满足 a b f（t）dt a x
8、 g（t）dt，x a，b）， a b f（t）dt = a b g（t）dt。 证明 a b xf（x）dx a b xg（x）dx。（分数：2.00）_27.设 y=y（x），z=z（x）是由方程 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_28.已知 = 2x +y+1， （分数：2.00）_29.计算 （分数：2.00）_30.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n（n 一 1）a n =0（n2）。S（x）是幂级数 （分数：2.00）_31.设函数 y=y（x）
9、在（一，+）内具有二阶导数，且 y0，x=x（y）是 y=y（x）的反函数。（）试将 x=x（y）所满足的微分方程 =0 变换为 y=y（x）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，y（0）= （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 147 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f（x）=xsinx（ ）（分数：2.00）A.当 x时为无穷大B.在（一，+）内有界C.在（一，+）内无界 D.当 x时极限存在
10、解析：解析：令 x n = 2n+ ，y n = 2n+ ，则 f（x n ）=2n+ ，f（y n ）=0。因为 f（x n ）=+， 3.设函数 f（x）对任意的 x 均满足等式 f（1+x）=af（x），且有 f（0）=b，其中 a，b 为非零常数，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）在 x=1 处不可导B.f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=aC.f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=bD.f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=ab 解析：解析：根据题意，令 x=0，则 f（1）=af（0）。 由导数的定义4.设在0，1上 f“（x）0，则 f（0），f（1），f（1）
11、 f（0）或 f（0） f（1）的大小顺序是（ ）（分数：2.00）A.f（1）f（0）f（1）一 f（0）B.f（1）f（1）一 f（0）f（0） C.f（1）一 f（0）f（1）f（0）D.f（1）f（0）f（1）f（0）解析：解析：由已知 f“（x）0，x0，1，所以函数 f（x）在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f（1）一 f（0）=f（），（0，1）。 于是有 f（0）f（）f（1）， 即 f（0）f（1） f（0）f（1）。 故选 B。5.设函数 f（x）满足关系式 f“（x）+f（x） 2 =x，且 f（0）=0，则（ ）（分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的
12、极大值B.f（0）是 f（x）的极小值C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点 D.f（0）不是 f（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：由于 f“（x）=x 一f（x） 2 ，该等式右边可导，故 f“（x）可导。在题设等式两端对 x求导，得 f“（x）+2f（x）f“（x）=1。令 x=0 可得 f“（0）=1。又 f“（0）=0，由拐点的充分条件可知，（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点。故选 C。6.曲线 y=x（x1）（2x）与 x 轴所围成的图形面积可表示为（ ）（分数：2.00）A.一 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dxB. 0 1
13、x（x 一 1）（2 x）dx 一 1 2 x（x 一 1）（2x）dxC.一 0 1 x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 1 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx D. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx解析：解析：由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上， S= 0 2 |y|dx= 0 2 |x（x 一 1）（2 一 x）|dx = 0 1 |x（x1）（2 一 x）|dx+ 1 2 |x（x 一 1）（2 一 x）|dx = a 2 x（x 一1）（2 一 x）dx
14、+ 1 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx。7.设可微函数 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ，y 在 y=y 0 处的导数大于零B.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数等于零 C.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数小于零D.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数不存在解析：解析：因可微函数 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）取得极小值，故有 f x （x 0 ，y 0 ）=0，f y （x 0 ，y 0 ）=0。又由 f x （x 0 ，y 0 ）= 8.交换积分次序 1 e dx 0 lnx
15、 f（x，y）dy 为（ ）（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx （x，y） dxB. ey e dy 0 1 f（x，y）dxC. 0 lnx dy 1 e f（x，y） dxD. 0 1 dy ey e f（x，y）dx 解析：解析：交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f（x，y）dy= 0 1 dy ey e f（x，y）dx。9.设 a n 0（n=1，2，），且 a n 收敛，常数 ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析：解析：利用比较法。因为 而由正项级数 a n 收敛可知， 10.函数 y=C 1 e x +C 2
16、e 2x +xe x 满足的一个微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“一 y一 2y=3xe xB.y“一 y一 2y=3e xC.y“+y一 2y=3xe xD.y“+y一 2y=3e x 解析：解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1 =1， 2 =一2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2 + 一 2=0， 故对应的齐次微分方程为 y“+y-2y=0。 又因为 y * =xe x 为原微分方程的一个特解，而 h=1 为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f(x)=Ce x (C 为常数)。 比较四个选项，应选 D。二、填空题(
17、总题数：10，分数：20.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：该极限式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算， 12.设函数 y= f（x）由方程 yx=e x（1y） 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y1=e x（1y） （1y xy）， 将 x=0，y=1 代入上式，可得 y（0）=1。 所以 13.设 y= y（x）是由方程 xy+e y = x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解
18、析：在方程 xy+e y =x+1 两边对 x 求导，有 y+xy+ye y =1，得 对 y+xy+ye y =1 再次求导，可得 2y+ xy“+y“e y +（y） 2 e y =0，得 当 x=0 时，y=0，y（0）=1，代入（*）得 14.设 f（x）=3x 2 + Ax 3 （x0），A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f（x）20（x0）。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：64）解析：解析：要使 f（x）20，只需 3x 5 +A20x 3 ，即 20x 3 3x 5 A（x0）。 设 g（x）=20x 3 3x 5 ，则 A 至少是 g（x）在（0
19、，+）内的最大值。 由于 g（x）= 60x 2 15x 4 = 15x 2 （4一 x 2 ）所以 x=2 是 g（x）在（0，+）的最大值点，故 A 至少为 g（2）=64。15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.设二元函数 z= xe x+y +（x+1）ln（1+y），则 dz| （1，0） = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2edx+（e+2）dy）解析：解析：由已知 =ex+y + xe x+y +ln（1+y）， 17.交换积分次序 1 0 dy 2 1y f（x，y）dx= 1。（分数：2.00）填空项
20、 1:_ （正确答案：正确答案： 1 2 dx 0 1x f（x，y）dy）解析：解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D（如图 1411）：1y0，1yx2。则有 1 0 dy 1y 2 f（x，y）dx = 18.若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：收敛）解析：解析：由题干知，级数 （a n+1 一 a n ）的部分和数列为 S n =（a 2 一 a 1 ）+（a 3 一 a 2 ）+（a n+1 一 a n ） =a n+1 一 a 1 ， 因为数列a n 收敛，所以S n 收敛。 因此，级数 19.将函数 （分数：2.00）填空
21、项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对已知函数从 0 到 x 求积分，有20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y一 2y=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx，C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数）解析：解析：微分方程对应的特征方程为 3 一 2 2 + 一 2=0。解上述方程可得其特征值为2，i，于是其中一组特解为 e 2x ，cosx，sinx。因此通解为 y=C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数。三、解答题
22、(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件得 f（x+1）+1+3sin 2 x=0， 因此有 f（x+1）+3sin 2 x=f（1）+0 =0，故 f（1）=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f（x+1）+3sin 2 x0，现利用等价无穷小替换： 当 x0 时， ln1+f（x +1）+3sin 2 xf（x+1）+3sin 2 x， )解析：23.设函数 f（x）在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且
23、 f（0）f（0）0，当 h0 时，若 a（h）+bf（2h） f（0）=a（h），试求 a，b 的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 af（h）+bf（2h）一 f（0）=（a+b1）f（0）。 由于f（0）0，故必有 a+b1=0。 又由洛必达法则 )解析：24.设某商品的需求函数为 Q= 100 5P，其中价格 P（0，20），Q 为需求量。 （）求需求量对价格的弹性 E d （E d 0）； （）推导 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又令 E d = =1，得 P=10。当 10P20 时，E d 1，于是 )解析：25. （分数：2.00）_正确答
24、案：(正确答案： )解析：26.设 f（x），g（x）在a，b上连续，且满足 a b f（t）dt a x g（t）dt，x a，b）， a b f（t）dt = a b g（t）dt。 证明 a b xf（x）dx a b xg（x）dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F（x）=f（x）g（x），G（x）= a x F（t）dt，由题设 G（x）0，x a，b），且 G（a）=G（b）=0，G（x）=F（x）。 从而 a b xF（x）dx= a b xdG（x）=xG（x）| a b 一 a b Gcx）dx= a b G（x）dx，由于 G（x）0，xa，b），故有一 a
25、 b G（x）dx0，即 a b xF（x）dx0。 因此 a b xf（x）dx a b xg（x）dx。)解析：27.设 y=y（x），z=z（x）是由方程 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别在 z= xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 的两端对 x 求导，得 )解析：28.已知 = 2x +y+1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 = 2x +y+1，有 u（x，y）=x 2 +xy+x+（y），再结合 =x+2y+3，有 x+（y）=x+2
26、y+3，得 （y）=2y +3，（y）=y 2 +3y+C。 于是 u（x，y）=x 2 +xy+x+y 2 +3y+C。 又由 u（0，0）=1 得 C=1，因此 u（x，y）=x 2 +xy+y 2 +x+3y +1。 )解析：29.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n（n 一 1）a n =0（n2）。S（x）是幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）证明：由题意得 S（x）= na n x n1 ， S“（x）= n（n 一1）a n x n2 = （n+1）（n+2）a n
27、+2x n ， 因为由已知条件得 a n =（n+1）（n+2）a n+2 （n=0，1，2，），所以 S“（x）=S（x），即 S“（x）一 S（x）=0。 （）S“（x）一 S（x）=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 2 一 1=0，从而 A=1，于是 S（x）=C 1 e x +C 2 e x ， 由 S（0）=a 0 =3，S（0）=a 1 =1，得 )解析：31.设函数 y=y（x）在（一，+）内具有二阶导数，且 y0，x=x（y）是 y=y（x）的反函数。（）试将 x=x（y）所满足的微分方程 =0 变换为 y=y（x）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，y（0）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由反函数的求导公式知 ，于是有 代入原微分方程得 y“一y=sinx。 （）方程（*）所对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e x 。 设方程（*）的特解为 y * =Acosx+Bsinx， 代入方程（*），求得 A=0，B= ，故 y * = ，因此 y“一y=sinx 的通解是 y=y+y * =C 1 e x +C 2 e x sinx。 由 y（0）=0，y（0）= ，得 C 1 =1，C 2 =一 1。故所求初值问题的特解为 y=e x e x 一 )解析：
