1、考研数学三（微积分）模拟试卷 144 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（ ）（分数：2.00）A.x 2B.1cosxC.D.x tanx3.设 f（x）=|x|sin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 f（x）为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.1C.D.25.曲线 y=（x1） 2 （x3） 2 的拐点个数为
2、（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.36. （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 z（x，y）由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F + 0，则 （分数：2.00）A.xB.zC.xD.z8.设函数 f（x，y）连续，则二次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy +arcsiny 1 f（x，y）dxB. 0 1 dy arcsiny 1 f（x，y）dxC.D.9.设级数 u n 收敛，则下列选项必为收敛级数的为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.正项级数 a n 收敛是级数 （分数：2.00）A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既非充分条件，又非必
3、要条件11.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则（ ）（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，C=一 2C.a=一 3，b=一 3，c=0D.a=一 3，b=1，c=1二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 y=（x 5） （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 z= z
4、（x，y）由方程（z+y） x =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=xg（x+y）+y（xy），其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.二元函数 f（x，y）=x 2 （2+y 2 ）+ylny 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.级数 （分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程 ydx+（x 一 3y 2 ）dy=0 满足条件 y| x=1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.求极限
5、 （分数：2.00）_25.证明函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_26.设 f（x）在a，b上连续，在（a，b）上可导，且 f（a）=f（b）=1，证明：必存在，（a，b）使得 e f（）+f（）=1。（分数：2.00）_27.设 f（x）在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0 a f（x）dx=af（0）+ （分数：2.00）_28.设函数 f（u）在（0，+）内具有二阶导数，且 满足等式 （）验证 f“（u）+ （分数：2.00）_29.设 D=（x，y）|（x1） 2 +（y1） 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_30.求幂级数 （分数：2
6、.00）_31.设 f（t）连续并满足 f（t）=cos2t+ 0 x f（t）sinsds，求 f（t）。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 144 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（ ）（分数：2.00）A.x 2B.1cosxC.D.x tanx 解析：解析：利用等价无穷小代换。由于 x0 时，1cosx3.设 f（x）=|x|sin 2 x，则使导数存在的最高
7、阶数 n=（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 4.设 f（x）为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.1C.D.2 解析：解析：将题中极限条件两端同乘 2，得5.曲线 y=（x1） 2 （x3） 2 的拐点个数为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：对于曲线 y，有 y=2（x1）（x3） 2 +2（x1） 2 （x3）=4（x1）（x2）（x3）， y“=4（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2） =4（3x 2 12x+11）， 令y“=0，得 x 1 =2 ，x 2 =2+ 6. （分数：2.00）A.B. C.
8、D.解析：解析：这是无界函数的反常积分，x=+1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中7.设函数 z（x，y）由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F + 0，则 （分数：2.00）A.xB.z C.xD.z解析：解析：对已知的等式 两边求全微分可得8.设函数 f（x，y）连续，则二次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy +arcsiny 1 f（x，y）dxB. 0 1 dy arcsiny 1 f（x，y）dx C.D.解析：解析：由题设可知，9.设级数 u n 收敛，则下列选项必为收敛级数的为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为级数 u
9、n 收敛，而 u n+1 与 u n 只差一项，故 u n+1 收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数 10.正项级数 a n 收敛是级数 （分数：2.00）A.充要条件B.充分条件 C.必要条件D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：由于正项级数 =0。当 n 充分大时 0a n 2 a n ，从而 a n 2 收敛。 但 a n 2 收敛时， a n 不一定收敛，如 a n = 因此，正项级数 a n 收敛是级数 11.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y+ay=bx+c 的解，则（ ）（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，C=一 2 C.a=一 3
10、，b=一 3，c=0D.a=一 3，b=1，c=1解析：解析：由于 y=xe x +x 是方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r 1 =r 2 =1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“-2y+y=bx+c，得 b=1，c=一2，故选 B。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：该极限式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算， 13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x
11、0 时，f（x）=cosx;当 x0 时，f（x）=1；14.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy=e x+y （1+y）即 y= 其中 y=y（x）是由方程xy=e x+y 所确定的隐函数。 故 15.曲线 y=（x 5） （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1，6）解析：解析：已知16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4ln2）解析：解析：18.设
12、函数 z= z（x，y）由方程（z+y） x =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2ln2）解析：解析：把点（1，2）代入（z+y） 5 =xy，得到 z（1，2）=0。在（z+y） x =xy 两边同时对 x 求偏导数，有 将 x=1，y=2，z（1，2）=0 代入得 19.设 z=xg（x+y）+y（xy），其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：g（x+y）+xg“（x+y）+2y（xy）+xy 2 “（xy）解析：解析：由题干可知，20.二元函数 f（x，y）=x 2 （2+y 2 ）+ylny
13、 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知， f x = 2x（2+y 2 ），f y =2x 2 y +lny+1 21.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由麦克劳林公式易知22.微分方程 ydx+（x 一 3y 2 ）dy=0 满足条件 y| x=1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2）解析：解析：对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14、（分数：2.00）_解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该极限式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算，则 )解析：25.证明函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证明当 x（1，1）时，arctanx= 恒成立，只需证明函数 f（x）=arctanx =0 在 x（1，1）上恒成立。分两步进行证明： （1）证明 f（x）为常值函数，即f（x）=0，x（1，1）； （2）在定义域内选取某一特殊点得到其常函数值。 因为 故 f（x）为常值函数。当 x=0 时，f（0）=0，即当 x（1，1）时，arctanx= )解析：2
15、6.设 f（x）在a，b上连续，在（a，b）上可导，且 f（a）=f（b）=1，证明：必存在，（a，b）使得 e f（）+f（）=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F（x）=e x f（x），由已知 f（x）及 e x 在a，b上连续，在（a，b）内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，（a，b），使得 F（b） F（a） = e b f（b）e a （a） = F（）（b a）及 e b e a = e （ba）。 将以上两式相比，且由f（a）=（b）=1，则有 e f（）+f（）=1。)解析：27.设 f（x）在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使
16、得 0 a f（x）dx=af（0）+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式右端 0 a f（x）dx= 0 a f（x）d（x 一 a）=（x a）f（x）| 0 a 一 0 a （xa）f（x）dx =af（0）一 0 a （x a）f（x）dx 因为 f（x）连续，xa0（x0，a），故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 0 a （x 一 a）f（x）dx=f（） 0 a （x 一 a）dx= 于是 0 a f（x）dx=af（0）+ )解析：28.设函数 f（u）在（0，+）内具有二阶导数，且 满足等式 （）验证 f“（u）+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答
17、案： 由 f（1）=1 可得 C 1 =1。对等式 f（u）= )解析：29.设 D=（x，y）|（x1） 2 +（y1） 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a n 所以当 x 2 1 时，原级数绝对收敛，当 x 2 1 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（一 1，1）。 )解析：31.设 f（t）连续并满足 f（t）=cos2t+ 0 x f（t）sinsds，求 f（t）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f（t）连续，因此 0 x f（s）sinsds 可导，从而 f（t）可导，于是 f（t）=cos2t+ 0 x f（s）insds， )解析：
