1、考研数学三(微积分)模拟试卷 143 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 xa 时,f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小,则下列命题中,正确的个数是( )f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm,则 (分数:2.00)A.1B.2C.3D.03.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)|sin2x|在区间 (分数:2.00)A.3B.2C.1D.04. (分数:2.00)A.ln(1+ lnx) 21n(1
2、+2x)B.ln(1+lnx) ln(1+2x)C.ln(1+lnx) ln(1+2x)D.ln(1+lnx) 21n(1+2x)5.设函数 f(x),g(x)具有二阶导数,且 g“(x)0。若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值,则 fg(x)在x 0 取极大值的一个充分条件是( )(分数:2.00)A.f(a)0B.f(a)0C.f“(a)0D.f“(a)06.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(
3、t) 2 dt7.二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设函数 f(u)连续,区域 D=(x,y)|x 2 + y 2 2y,则 (分数:2.00)A.B.C. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos) drD. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos) rdr9.已知 (一 1) n1 a n =2, a 2n1 =5,则 (分数:2.00)A.3B.7C.8D.910.已知,y 1 =x,y 2 =x 2 ,y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为( )(分
4、数:2.00)A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e xB.y=C 1 x 2 +C 2 e x +xC.Y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+xD.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )二、填空题(总题数:11,分数:22.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_12.g(x)为奇函数且在 x=0 处可导,则 f(0)= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_13.曲线 tan(x+y+ (分数:2.00)填空项 1:_14.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(1,0),则 b= 1。(分数:2.00)填空项 1:
5、_15. (分数:2.00)填空项 1:_16. (分数:2.00)填空项 1:_17.设 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_18.设 z= +y(x+y),f, 具有二阶连续导数,则 (分数:2.00)填空项 1:_19.设函数 z=f(x,y)(xy0)满足 (分数:2.00)填空项 1:_20.已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛,则幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_21.微分方程 y+y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的特解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.求极限 (分数:2.00)_24.设函数 y= y(x)由方程 ylny x +y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。(分数:2.00)_25.己知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1。证明:()存在(0,1),使得 f()=1 一 ;()存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()=1。(分数:2.00)_26.设函数 f(x)在0,上连续,且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0。试证明:在(0,)内至少存在两个不同的点 1 , 2 ,使 f( 1 )=f(
7、 2 )=0。(分数:2.00)_27.设函数 f(u)具有二阶连续导数,而 z= f(e x sin y)满足方程 (分数:2.00)_28.计算二重积分 其中 D=(r,)|0rsec,0 (分数:2.00)_29.设函数 f(x)在区间0,1上连续,且 0 1 f(x)dx=A,求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy。(分数:2.00)_30.求幂级数 (分数:2.00)_31.已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x 。 ()求f(x)的表达式; ()求曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(一 t 2 )dt 的拐点
8、。(分数:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 143 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 xa 时,f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小,则下列命题中,正确的个数是( )f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm,则 (分数:2.00)A.1B.2 C.3D.0解析:解析:此类问题要逐一进行分析,按无穷小阶的定义: 关于: 故 xa 时,f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小; 关于: 若
9、nm, 故 xa 时,f(x)/g(x)是 xa 的 nm 阶无穷小; 关于: 例如,x0 时,sinx 与x 均是 x 的一阶无穷小,但3.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)|sin2x|在区间 (分数:2.00)A.3B.2 C.1D.0解析:解析:设 g(x)=x 2 +x2,(x)=|sin2x|,显然 g(x)处处可导,(x)处处连续,有不可导点。形如 f(x)=g(x)|(x)|,其中 g(x)在 x 0 的某邻域内连续,(x)在 x=x 0 处可导,则 f(x)在 x 0 处可导 g(x 0 )=0。根据上述结论,只须验证 (x)在不可导点处 g(x)是否为零。(x)=|s
10、in2x|的图形如图 123 所示,在 内只有不可导点 x=0, ,1,其余均可导。因为 g(0)=20, 0,g(1)=0,所以 f(x)=g(x)p(x)在 x=0, 处不可导,在 x=1 可导,其余点均可导。故选 B。 4. (分数:2.00)A.ln(1+ lnx) 21n(1+2x) B.ln(1+lnx) ln(1+2x)C.ln(1+lnx) ln(1+2x)D.ln(1+lnx) 21n(1+2x)解析:解析:5.设函数 f(x),g(x)具有二阶导数,且 g“(x)0。若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值,则 fg(x)在x 0 取极大值的一个充分条件是( )(分数:2
11、.00)A.f(a)0B.f(a)0 C.f“(a)0D.f“(a)0解析:解析:fg(x)=fg(x)g(x),fg(x)“=fg(x)g(x)=f“g(x)g (x) 2 +fg(x)g“(x), 由于 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值,所以 g(x 0 )=0。 所以fg(x 0 )“=fg(x 0 )g“(x 0 )=f(a)g“(x 0 ),由于 g“(x 0 )0,要使fg(x)“0,必须有 f(a)0。6.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一
12、t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt解析:解析:取 f(x)=x,则相应的 0 x tf(t)一 f(一 t)dt= 0 x 2t 2 dt= x 3 , 0 x f(t 2 )dt= t 2 dt= x 3 , 0 x f(t) 2 dt= 0 x t 2 dt= 7.二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:按可微性定义,f(x,y)在(0,0)处可微8.设函数 f(u)连续,区域 D=(x,y)|x 2 + y 2 2y,则 (分数:2.00)A.B.C. 0 d 0 2sin
13、f(r 2 sincos) drD. 0 d 0 2sin f(r 2 sincos) rdr 解析:解析:积分区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 2y(如图 143)。在直角坐标系下, 故排除A、B 两个选项。 在极坐标系下 9.已知 (一 1) n1 a n =2, a 2n1 =5,则 (分数:2.00)A.3B.7C.8 D.9解析:解析: 10.已知,y 1 =x,y 2 =x 2 ,y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e xB.y=C 1 x 2 +C 2 e
14、x +xC.Y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x D.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )解析:解析:方程 f“+p(x)y+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程,则(x-x 2 )和(x 一 e x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解,则原方程通解为 y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x-e x )+x,故选 C。二、填空题(总题数:11,分数:22.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:将分子化简后,应用等价无穷小因子代换。易知12.g(x)为奇函数且在 x=0
15、 处可导,则 f(0)= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2g(0)解析:解析:由 g(x)在 x=0 处可导可知,g(x)在 x=0 处连续。又因为 g(x)是奇函数,所以 g(0) =0。 根据导数的定义可得13.曲线 tan(x+y+ (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=2x)解析:解析:方程两边对 x 求导,可得 sec 2 (x+y+ )(1+y)=e y y , 14.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(1,0),则 b= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:本题考查已知拐
16、点坐标来确定曲线方程中的一个参数。已知 y=x 3 +ax 2 +bx+1,则 y=3x 2 + 2ax+b,y“= 6x+2a。令 y“=0,得 x= 15. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 4)解析:解析:16. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:17.设 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:因为 利用夹逼定理知,18.设 z= +y(x+y),f, 具有二阶连续导数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y)解
17、析:解析:由题干可得:19.设函数 z=f(x,y)(xy0)满足 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(2x y)dx xdy)解析:解析:利用变量替换,设 xy =u, =,则有 20.已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛,则幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:由题干已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛,那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点,其收敛半径为 1,因此幂级数 21.微分方程 y+y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的特解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正
18、确答案:y=e x sinx)解析:解析:原方程的通解为 y=e 1dx (e x cosxe 1dx dx+C)=e x (cosxdx+C)=e x (sinx+C)。 由 y(0)=0 得 C=0,故所求解为 y=e x sinx。三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设函数 y= y(x)由方程 ylny x +y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:要判断曲线 y
19、=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性,只需判断 y“(x)在点(1,1)附近的正负。在方程 ylny x +y=0 两边对 x 求导得 ylny+y1+y=0, 上式两边对 x 求导得 y“lny+ (y) 2 +2y“=0, 解得 y“= )解析:25.己知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1。证明:()存在(0,1),使得 f()=1 一 ;()存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()=1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 F(x)=f(x)1 +x,则 F(x)在0,1上连续,且 F(0) =10,F(1)=10,于是
20、由零点定理知,存在 (0,1),使得 F()=0,即 f()=1。 ()在0,和,1上对 f()分别应用拉格朗日中值定理知,存在两个不同的点(0,),(,1),使得 )解析:26.设函数 f(x)在0,上连续,且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0。试证明:在(0,)内至少存在两个不同的点 1 , 2 ,使 f( 1 )=f( 2 )=0。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= 0 x f(t)dt,0x,则有 F(0)=0,F()=0。又因为 0= 0 f(x)cosxdx = 0 cosxdF(x)= F(x)cosx| 0 + 0 F(x)sinxdx =
21、 0 F(x)sinxdx, 所以存在 (0,),使 F()sin=0,不然,则在(0,)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负,与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾,但当 (0,)时 sin0,故 F()=0。 由以上证得,存在满足 0 的 ,使得 F(0)=F()=F()=0。 再对 F(x)在区间0,上分别应用罗尔定理知,至少存在 1 (0,), 2 (,), 使得 F( 1 )=F( 2 )=0,即 f( 1 )=f( 2 )=0。)解析:27.设函数 f(u)具有二阶连续导数,而 z= f(e x sin y)满足方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意 = f(u)e
22、 x siny, = f(u)e x cos y, = f(u)e x sin y+f“(u)e 2x sin 2 y, = f(u) e x sin y+f “(u) e 2x cos 2 y, 代入方程 )解析:28.计算二重积分 其中 D=(r,)|0rsec,0 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将极坐标转化为直角坐标,可得积分区域如图 14 17 所示。 D=(x,y)|0x1,0yx, 利用换元法,记 x= sint,则上式 )解析:29.设函数 f(x)在区间0,1上连续,且 0 1 f(x)dx=A,求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy。(分数:2.00)_正
23、确答案:(正确答案:应用分部积分法。 0 1 dx 0 1 f(y)dy= 0 1 ( x 1 f(y)dy)f(x)dx = 0 1 ( x 1 f(y)dy)d( 1 x f(t)dt)=A 2 一 0 1 ( x 1 f(t)dt)d( x 1 f(y)dy) )解析:30.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 u n (x)= ,则 所以当|x| 2 1 时,即|x|1 时,所给幂级数收敛;当|x|1 时,所给幂级数发散; 当 x=1 时,所给幂级数为 均收敛。 故所给幂级数的收敛域为一 1,1。 在(一 1,1)内, 又 S 1 (0)=0,于是 S 1 (x)=a
24、rctanx。 同理 S 1 (x)一 S 1 (0)= 0 x S 1 (t)dt=S 0 x arctantdt 又 S 1 (0)=0,所以 S 1 (x)=xarctanx )解析:31.已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x 。 ()求f(x)的表达式; ()求曲线 y=f(x 2 ) 0 x f(一 t 2 )dt 的拐点。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()齐次微分方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r 2 +r 一2=0,特征根为 r 1 =1,r 2 =一 2,因此该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x 。 再由f“(x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x 一 3C 2 e 2x =2e x ,因此可知 C 1 =1,C 2 =0。 所以 f(x)的表达式为 f(x)=e x 。 ()曲线方程为 y=e x2 0 x e t2 dt,则 令 y“=0 得 x=0。 下面证明x=0 是 y“=0 唯一的解,当 x0 时, 2x0,2(1+2x 2 )e x2 0 x e t2 dt0, 可得 y“0; 当x0 时, )解析: