1、考研数学三（微积分）模拟试卷 143 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 xa 时，f（x）与 g（x）分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（ ）f（x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.03.函数 f（x）=（x 2 +x 一 2）|sin2x|在区间 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.04. （分数：2.00）A.ln（1+ lnx） 21n（1
2、+2x）B.ln（1+lnx） ln（1+2x）C.ln（1+lnx） ln（1+2x）D.ln（1+lnx） 21n（1+2x）5.设函数 f（x），g（x）具有二阶导数，且 g“（x）0。若 g（x 0 ）=a 是 g（x）的极值，则 fg（x）在x 0 取极大值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00）A.f（a）0B.f（a）0C.f“（a）0D.f“（a）06.设函数 f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）（分数：2.00）A. 0 x tf（t）一 f（一 t）dtB. 0 x tf（t）+f（一 t）dtC. 0 x f（t 2 ）dtD. 0 x f（
3、t） 2 dt7.二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f（u）连续，区域 D=（x，y）|x 2 + y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos） drD. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos） rdr9.已知 （一 1） n1 a n =2， a 2n1 =5，则 （分数：2.00）A.3B.7C.8D.910.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p（x）y+q（x）y=f（x）的三个特解，则该方程的通解为（ ）（分
4、数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e xB.y=C 1 x 2 +C 2 e x +xC.Y=C 1 （x 一 x 2 ）+C 2 （x 一 e x ）+xD.y=C 1 （x 一 x 2 ）+C 2 （x 2 一 e x ）二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.g（x）为奇函数且在 x=0 处可导，则 f（0）= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 tan（x+y+ （分数：2.00）填空项 1:_14.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点（1，0），则 b= 1。（分数：2.00）填空项 1:
5、_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f（x，y）= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 z= +y（x+y），f， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 z=f（x，y）（xy0）满足 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y+y=e x cosx 满足条件 y（0）=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.设函数 y= y（x）由方程 ylny x +y=0 确定，试判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。（分数：2.00）_25.己知函数 f（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f（1）=1。证明：（）存在（0，1），使得 f（）=1 一 ；（）存在两个不同的点 ，（0，1），使得 f（）f（）=1。（分数：2.00）_26.设函数 f（x）在0，上连续，且 0 f（x）dx= 0 f（x）cosxdx=0。试证明：在（0，）内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f（ 1 ）=f（
7、 2 ）=0。（分数：2.00）_27.设函数 f（u）具有二阶连续导数，而 z= f（e x sin y）满足方程 （分数：2.00）_28.计算二重积分 其中 D=（r，）|0rsec，0 （分数：2.00）_29.设函数 f（x）在区间0，1上连续，且 0 1 f（x）dx=A，求 0 1 dx x 1 f（x）f（y）dy。（分数：2.00）_30.求幂级数 （分数：2.00）_31.已知函数 f（x）满足方程 f“（x）+f（x）一 2f（x）=0 及 f“（x）+f（x）=2e x 。 （）求f（x）的表达式； （）求曲线 y=f（x 2 ） 0 x f（一 t 2 ）dt 的拐点
8、。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 143 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 xa 时，f（x）与 g（x）分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（ ）f（x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.0解析：解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义： 关于： 故 xa 时，f（x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小； 关于： 若
9、nm， 故 xa 时，f（x）/g（x）是 xa 的 nm 阶无穷小； 关于： 例如，x0 时，sinx 与x 均是 x 的一阶无穷小，但3.函数 f（x）=（x 2 +x 一 2）|sin2x|在区间 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：设 g（x）=x 2 +x2，（x）=|sin2x|，显然 g（x）处处可导，（x）处处连续，有不可导点。形如 f（x）=g（x）|（x）|，其中 g（x）在 x 0 的某邻域内连续，（x）在 x=x 0 处可导，则 f（x）在 x 0 处可导 g（x 0 ）=0。根据上述结论，只须验证 （x）在不可导点处 g（x）是否为零。（x）=|s
10、in2x|的图形如图 123 所示，在 内只有不可导点 x=0， ，1，其余均可导。因为 g（0）=20， 0，g（1）=0，所以 f（x）=g（x）p（x）在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导，其余点均可导。故选 B。 4. （分数：2.00）A.ln（1+ lnx） 21n（1+2x） B.ln（1+lnx） ln（1+2x）C.ln（1+lnx） ln（1+2x）D.ln（1+lnx） 21n（1+2x）解析：解析：5.设函数 f（x），g（x）具有二阶导数，且 g“（x）0。若 g（x 0 ）=a 是 g（x）的极值，则 fg（x）在x 0 取极大值的一个充分条件是（ ）（分数：2
11、.00）A.f（a）0B.f（a）0 C.f“（a）0D.f“（a）0解析：解析：fg（x）=fg（x）g（x），fg（x）“=fg（x）g（x）=f“g（x）g （x） 2 +fg（x）g“（x）， 由于 g（x 0 ）=a 是 g（x）的极值，所以 g（x 0 ）=0。 所以fg（x 0 ）“=fg（x 0 ）g“（x 0 ）=f（a）g“（x 0 ），由于 g“（x 0 ）0，要使fg（x）“0，必须有 f（a）0。6.设函数 f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）（分数：2.00）A. 0 x tf（t）一 f（一 t）dtB. 0 x tf（t）+f（一
12、t）dt C. 0 x f（t 2 ）dtD. 0 x f（t） 2 dt解析：解析：取 f（x）=x，则相应的 0 x tf（t）一 f（一 t）dt= 0 x 2t 2 dt= x 3 ， 0 x f（t 2 ）dt= t 2 dt= x 3 ， 0 x f（t） 2 dt= 0 x t 2 dt= 7.二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：按可微性定义，f（x，y）在（0，0）处可微8.设函数 f（u）连续，区域 D=（x，y）|x 2 + y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C. 0 d 0 2sin
13、f（r 2 sincos） drD. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos） rdr 解析：解析：积分区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 2y（如图 143）。在直角坐标系下， 故排除A、B 两个选项。 在极坐标系下 9.已知 （一 1） n1 a n =2， a 2n1 =5，则 （分数：2.00）A.3B.7C.8 D.9解析：解析： 10.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p（x）y+q（x）y=f（x）的三个特解，则该方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e xB.y=C 1 x 2 +C 2 e
14、x +xC.Y=C 1 （x 一 x 2 ）+C 2 （x 一 e x ）+x D.y=C 1 （x 一 x 2 ）+C 2 （x 2 一 e x ）解析：解析：方程 f“+p(x)y+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x-x 2 )和(x 一 e x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x-e x )+x，故选 C。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：将分子化简后，应用等价无穷小因子代换。易知12.g（x）为奇函数且在 x=0
15、 处可导，则 f（0）= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2g（0）解析：解析：由 g（x）在 x=0 处可导可知，g（x）在 x=0 处连续。又因为 g（x）是奇函数，所以 g（0） =0。 根据导数的定义可得13.曲线 tan（x+y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 sec 2 （x+y+ ）（1+y）=e y y ， 14.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点（1，0），则 b= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：本题考查已知拐
16、点坐标来确定曲线方程中的一个参数。已知 y=x 3 +ax 2 +bx+1，则 y=3x 2 + 2ax+b，y“= 6x+2a。令 y“=0，得 x= 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 4）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：17.设 f（x，y）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 利用夹逼定理知，18.设 z= +y（x+y），f， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yf“（xy）+（x+y）+y“（x+y）解
17、析：解析：由题干可得：19.设函数 z=f（x，y）（xy0）满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（2x y）dx xdy）解析：解析：利用变量替换，设 xy =u， =，则有 20.已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题干已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 21.微分方程 y+y=e x cosx 满足条件 y（0）=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
18、确答案：y=e x sinx）解析：解析：原方程的通解为 y=e 1dx （e x cosxe 1dx dx+C）=e x （cosxdx+C）=e x （sinx+C）。 由 y（0）=0 得 C=0，故所求解为 y=e x sinx。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 y= y（x）由方程 ylny x +y=0 确定，试判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要判断曲线 y
19、=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性，只需判断 y“（x）在点（1，1）附近的正负。在方程 ylny x +y=0 两边对 x 求导得 ylny+y1+y=0， 上式两边对 x 求导得 y“lny+ （y） 2 +2y“=0， 解得 y“= )解析：25.己知函数 f（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f（1）=1。证明：（）存在（0，1），使得 f（）=1 一 ；（）存在两个不同的点 ，（0，1），使得 f（）f（）=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 F（x）=f（x）1 +x，则 F（x）在0，1上连续，且 F（0） =10，F（1）=10，于是
20、由零点定理知，存在 （0，1），使得 F（）=0，即 f（）=1。 （）在0，和，1上对 f（）分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点（0，），（，1），使得 )解析：26.设函数 f（x）在0，上连续，且 0 f（x）dx= 0 f（x）cosxdx=0。试证明：在（0，）内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f（ 1 ）=f（ 2 ）=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F（x）= 0 x f（t）dt，0x，则有 F（0）=0，F（）=0。又因为 0= 0 f（x）cosxdx = 0 cosxdF（x）= F（x）cosx| 0 + 0 F（x）sinxdx =
21、 0 F（x）sinxdx， 所以存在 （0，），使 F（）sin=0，不然，则在（0，）内 F（x）sinx 恒为正或恒为负，与 0 F（x）sinxdx=0 矛盾，但当 （0，）时 sin0，故 F（）=0。 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F（0）=F（）=F（）=0。 再对 F（x）在区间0，上分别应用罗尔定理知，至少存在 1 （0，）， 2 （，）， 使得 F（ 1 ）=F（ 2 ）=0，即 f（ 1 ）=f（ 2 ）=0。)解析：27.设函数 f（u）具有二阶连续导数，而 z= f（e x sin y）满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 = f（u）e
22、 x siny， = f（u）e x cos y， = f（u）e x sin y+f“（u）e 2x sin 2 y， = f（u） e x sin y+f “（u） e 2x cos 2 y， 代入方程 )解析：28.计算二重积分 其中 D=（r，）|0rsec，0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 14 17 所示。 D=（x，y）|0x1，0yx， 利用换元法，记 x= sint，则上式 )解析：29.设函数 f（x）在区间0，1上连续，且 0 1 f（x）dx=A，求 0 1 dx x 1 f（x）f（y）dy。（分数：2.00）_正
23、确答案：(正确答案：应用分部积分法。 0 1 dx 0 1 f（y）dy= 0 1 （ x 1 f（y）dy）f（x）dx = 0 1 （ x 1 f（y）dy）d（ 1 x f（t）dt）=A 2 一 0 1 （ x 1 f（t）dt）d（ x 1 f（y）dy） )解析：30.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 u n （x）= ，则 所以当|x| 2 1 时，即|x|1 时，所给幂级数收敛；当|x|1 时，所给幂级数发散； 当 x=1 时，所给幂级数为 均收敛。 故所给幂级数的收敛域为一 1，1。 在（一 1，1）内， 又 S 1 （0）=0，于是 S 1 （x）=a
24、rctanx。 同理 S 1 （x）一 S 1 （0）= 0 x S 1 （t）dt=S 0 x arctantdt 又 S 1 （0）=0，所以 S 1 （x）=xarctanx )解析：31.已知函数 f（x）满足方程 f“（x）+f（x）一 2f（x）=0 及 f“（x）+f（x）=2e x 。 （）求f（x）的表达式； （）求曲线 y=f（x 2 ） 0 x f（一 t 2 ）dt 的拐点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）齐次微分方程 f“（x）+f（x）一 2f（x）=0 的特征方程为 r 2 +r 一2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f（x）=C 1 e x +C 2 e 2x 。 再由f“（x）+f（x）=2e x 得 2C 1 e x 一 3C 2 e 2x =2e x ，因此可知 C 1 =1，C 2 =0。 所以 f（x）的表达式为 f（x）=e x 。 （）曲线方程为 y=e x2 0 x e t2 dt，则 令 y“=0 得 x=0。 下面证明x=0 是 y“=0 唯一的解，当 x0 时， 2x0，2（1+2x 2 ）e x2 0 x e t2 dt0， 可得 y“0； 当x0 时， )解析：
