1、考研数学三（微积分）模拟试卷 142 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）和 （x）在（一，+）上有定义，f（x）为连续函数，且 f（x）0，（x）有间断点，则（ ）（分数：2.00）A.（f（x）必有间断点B.（x） 2 必有间断点C.f（x）必有间断点D.必有间断点3.设 f（x）=|（x1）（x2） 2 （x3） 3 |，则导数 f（x）不存在的点的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设函数 f（x）在（一，+
2、）存在二阶导数，且 f（x）=f（x），当 x0 时有 f（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有（ ）（分数：2.00）A.f（x）0，f“（x）0B.f（x）0，f“（x）0C.f（x）0，f“（x）0D.f（x）0，f“（x）05.设 f（x）在（一，+）可导，x 0 0，（x 0 ，f（x 0 ）是 y=f（x）的拐点，则（ ）（分数：2.00）A.x 0 必是 f（x）的驻点B.（ x 0 ，一 f（ x 0 ）必是 y=一 f（x）的拐点C.（ x 0 ，f（ x 0 ）必是 y=一 f（x）的拐点D.对任意的 xx 0 与 xx 0 ，y=f（x）的凹凸性相反6.设 g（x）=
3、 0 x f（u）du，其中 f（x）= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续7.函数 f（x，y）在（0，0）点可微的充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f（x，y）在 D:x 2 + y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在B.存在且等于 f（0，0）C.存在且等于 f（0，0）D.存在且等于9.设区域 D=（x，y）|x 2 + y 2 4，x0，y0，f（x）为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.（a+b）D.10.设 （a 2n1 +a 2n ）收敛，则（ ） （分数：2.00）A.
4、B.C.D.11.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.若函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 y= y（x）是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 确定的，则 y=y（x）的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16. （分数
5、：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.设 z=f（lnx+ ），其中函数 f（u）可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.积分 0 1 dx x 2 e y2 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.已知幂级数 a n （x+2） n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00
6、）_24.设 a 为常数，讨论方程 e x = ax 2 的实根个数。（分数：2.00）_25.设奇函数 f（x）在1，1上具有二阶导数，且 f（1）=1，证明：（）存在 （0，1），使得f（）=1；（）存在 （1，1），使得 f“（）+f（）=1。（分数：2.00）_26.设 f（x）在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_27.设函数 u=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 a，b 的值，使等式通过变换=x+ay，=x+by 可化简为 （分数：2.00）_28.计算二重积分 （分数：2.00）_29.已知函数 f（x，y）具有二阶连续偏导数，且 f（1，y）=0，f
7、（x，1）=0， f（x，y）dxdy=a，其中 D=（x，y|0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_30.求幂级数 （分数：2.00）_31.求微分方程 y“一 3y+2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 142 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）和 （x）在（一，+）上有定义，f（x）为连续函数，且 f（x）0，（x）有间断点，则（ ）（分数：2.00）A.（f（x）必有间
8、断点B.（x） 2 必有间断点C.f（x）必有间断点D.必有间断点 解析：解析：取 f（x）=1，x（一，+），（x）= 3.设 f（x）=|（x1）（x2） 2 （x3） 3 |，则导数 f（x）不存在的点的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：考查带有绝对值的函数在 x 0 点处是否可导，可以借助如下结论： 设 f（x）为可导函数，则 （1）若 f（x 0 ）0，且 f（x）在 x 0 处可导，则|f（x）|在 x 0 处可导； （2）若 f（x 0 ）=0，且 f（x 0 ）=0，则|f（x）|在 x 0 处可导； （3）若 f（x 0 ）=0，且 f（x
9、0 ）0，则|f（x）|在 x 0 处不可导。 设 （x）=（x1）（x2） 2 （x3） 3 ，则 f（x）=|（x）|。f（x）不存在的点就是 f（x）不可导的点，根据上述结论可知，使 （x） =0 的点 x 1 =1，x 2 =2，x 3 =3 可能为不可导点，故只需验证 （x i ），i=1，2，3 是否为零即可，而 （x）=（x2） 2 （x3） 3 +2（x1）（x2）（x3） 3 +3（x1）（x2） 2 （x3） 3 ，显然，（1）0，（2）=0，（3）=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。4.设函数 f（x）在（一，+）存在二阶导数，且 f（x）=f（x），当 x0
10、时有 f（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有（ ）（分数：2.00）A.f（x）0，f“（x）0B.f（x）0，f“（x）0C.f（x）0，f“（x）0 D.f（x）0，f“（x）0解析：解析：由 f（x）=f（x）可知，f（x）为偶函数，因可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，即 f（x）为奇函数，f“（x）为偶函数，因此当 x0 时，有 f（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有 f（x）0，f“（x）0。故选 C。5.设 f（x）在（一，+）可导，x 0 0，（x 0 ，f（x 0 ）是 y=f（x）的拐点，则（ ）（分数：2.00）A.x 0 必是 f（x）的
11、驻点B.（ x 0 ，一 f（ x 0 ）必是 y=一 f（x）的拐点 C.（ x 0 ，f（ x 0 ）必是 y=一 f（x）的拐点D.对任意的 xx 0 与 xx 0 ，y=f（x）的凹凸性相反解析：解析：从几何意义上分析，y=f（x）与 y=f（x）的图形关于原点对称。x 0 0，（x 0 ，f（x 0 ）是 y=f（x）的拐点，那么（x 0 ， f（x 0 ）是 y= f（x）的拐点。故选 B。6.设 g（x）= 0 x f（u）du，其中 f（x）= （分数：2.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析：因为 f（x）在区间0，2上只有一个第一类间断点（x=1 为 f（x
12、）的跳跃间断点），所以f（x）在该区间上可积，因而 g（x）= 0 x f（u）du 在该区间内必连续，故选 D。7.函数 f（x，y）在（0，0）点可微的充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 8.设 f（x，y）在 D:x 2 + y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在B.存在且等于 f（0，0）C.存在且等于 f（0，0） D.存在且等于解析：解析：由积分中值定理知9.设区域 D=（x，y）|x 2 + y 2 4，x0，y0，f（x）为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.（a+b）D. 解析：
13、解析：由根据轮换对称性可得10.设 （a 2n1 +a 2n ）收敛，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当 a n 0 时，级数 （a 2n1 +a 2n ）为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =（a 1 +a 2 ）+（a 3 +a 4 ）+（a 2n1 +a 2n ）有上界，从而可知正项级数 a n 的部分和数列 S n =a 1 +a 2 +a n 有上界，则级数 11.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
14、 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由已知条件可得 由 y 1 +y 2 仍是该方程的解，得（y 1 + 2 ）+p（x）（ 1 +y 2 ）=（+）q（x），则 +=1； 由 y 1 一 y 2 是所对应齐次方程的解，得（y 1 一 y 2 ）+p（x）（y 1 一 y 2 ）=（ 一 ）q（x），那么 一 =0。 综上所述 = 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.若函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）填空项 1:_ （正确答案：b=1）解
15、析：解析：因 f（x）在 x=1 处连续，则 f（x）=f（1），即 1=a+b。 若函数 f（x）在 x=1 处可导，必须有 f （1）=f + （1）。 由已知可得 14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15.设 y= y（x）是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 确定的，则 y=y（x）的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 y（3y 2 2y+x）=xy， （*） 令 y=0，有 x=y，代入 2y 3 2y 2 +2xy x 2 =1 中，可得 （x
16、1）（2x 2 +x+1）=0。 那么 x=1 是唯一的驻点。 下面判断 x=1是否为极值点： 在（*）两端对 x 求导得 y“（3y 2 2y+x）+y （3y 2 2y+x） x =1y ，把x=y=1，y （1）=0 代入上式，得 y“（1）= 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原式可化为18.设 z=f（lnx+ ），其中函数 f（u）可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为19.积分 0 1 dx x 2 e y2
17、 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：如图 14 14 积分区域，则20.已知幂级数 a n （x+2） n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1，5）解析：解析：由题意可知， a n （x+2） n 的收敛域为（一 4，0，则 a n x n 的收敛域为（一 2，2。所以 21.微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将已知方程变形整理得， 根据通解公式得，三、解答题(总题数：10，分数：20.
18、00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 a 为常数，讨论方程 e x = ax 2 的实根个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a0 时，显然无实根。以下讨论当 a0 时的情形，由题意知 x=0 显然不是原方程的根， 设 当 x0 时，f（x）0；当 0x2 时，f（x）0；当 x2 时，f（x）0。 且 所以当 a0 时，f（x）在区间（一，0）上有唯一实零点。 又在区间（0，+）上， f min （x）=f（2）= a。 当 a 时，f（x）在区间（0，+）
19、上无实数根；当 =a 时，f（x）在区间（0，+）上有唯一实数根；当 a 时，f（2）0，而且 =+，f（x）在（0，+）上有两个实数根。 综上所述，当 a0 时，f（x）=0 无实根；当 a0 时，仅当x0 时，f（x）=0 有唯一实根；当 =a 时，f（x）=0 仅有两个实根，一正一负；当 )解析：25.设奇函数 f（x）在1，1上具有二阶导数，且 f（1）=1，证明：（）存在 （0，1），使得f（）=1；（）存在 （1，1），使得 f“（）+f（）=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 F（x）=f（x）x，F（0）=f（0）=0，F（1）=f（1）1=0，则由罗尔定理知
20、，存在 （0，1）使得 F（）=0，即 f（）=1。 （）令 G（x）=e x f（x）1，由（）知，存在 （0，1），使 G（）=0，又因为 f（x）为奇函数，故 f（x）为偶函数，知G（一 ）=0，则存在 （一 ，） )解析：26.设 f（x）在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f（x）在区间a，b上可导，知 f（x）在区间a，b上连续，从而 F（x）=f（x）cosx 在 上连续，由积分中值定理，知存在一点 使得 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 （c，b） )解析：27.设函数 u=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 a，b 的
21、值，使等式通过变换=x+ay，=x+by 可化简为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 将相关表达式分别代入等式，可得 根据 10ab+12（a+b）+80，舍去 因此可知 a=2，b= )解析：28.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意， = 0 d 0 1+cos rcos rsin rdr = 0 sin cos （1 +cos） 4 d = 0 cos（1 + cos） 4 dcos 令 u= cos 得，原式= 1 2 u（1+u） 4 du= )解析：29.已知函数 f（x，y）具有二阶连续偏导数，且 f（1，y）=0，f（x，1）=0，
22、f（x，y）dxdy=a，其中 D=（x，y|0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 xyf xy “ （x，y）dxdy 转化为累次积分可得 xyf xy “ （x，y） dxdy=f 0 1 dyf 0 1 xyf xy “ （x，y）dx。 首先考虑 0 1 xyf xy “ （x，y）dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 0 1 xyf xy “ （x，y）dx= y 0 1 xyf y （x，y）=xyf y （x，y）| 0 1 一 0 1 yf y （x，y）dx =yf y （1，y）yf y （x，y）dx。 由 f（1，
23、y）=f（x，1）=0 易知，f y （1，y）=f x （x，1）=0。所以 0 1 xyf xy “ （x，y）dx= 0 1 yf y （x，y）dx。 因此 xyf xy “ （x，y）dxdy= 0 1 dy 0 1 xyf xy “ （x，y）dx=一 0 1 dyf y （x，y）dx， 对该积分交换积分次序可得， 一 0 1 dy 0 1 yf y （x，y）dx=一 0 1 dx 0 1 yf y （x，y）dy 再考虑积分 0 1 yf y （x，y）dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 0 1 yf y （x，y）dy= 0 1 ydf（x，y）= yf（x，y）|
24、0 1 一 0 1 f（x，y）dy = 0 1 f（x，y）dy， 因此 xyf xy “ （x，y） dxdy= 0 1 dx 0 1 yf y （x，y）dy = 0 1 dx 0 1 f（x，y）dy= )解析：30.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以当 x 2 1，即一 1x1 时，原幂级数绝对收敛。当 x=1 时，级数为 显然收敛，故原幂级数的收敛域为一 1，1。 因为 )解析：31.求微分方程 y“一 3y+2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y “ 一 3y +2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0，由此得 r 1 =2，r 2 =1。即对应齐次方程的通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 。 设非齐次方程的特解为 y * =（ax+b）xe x ， 则 （y * ） =ax 2 +（2a+b）x+be x 。 （y * ） “ =ax 2 +（4a+b）x+2a+2be x ， 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 一 x（x+2）e x 。（C 1 ，C 2 为任意常数）)解析：
