1、考研数学三（微积分）模拟试卷 141 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时，（1+sinx） x 1 是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比（ （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导4.已知函数 y=y（x）在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）A.2B.C.D.5.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，则下述命题中正确的
2、是（ ）（分数：2.00）A.若 f（x）在（一，+）上可导且单调增加，则对一切 x（一，+），都有 f（x）0B.若 f（x）在点 x 0 处取得极值，则 f（x 0 ）=0C.若 f“（x 0 ）=0，则（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点坐标D.若 f（x 0 ）=0，f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）0，则 x 0 一定不是 f（x）的极值点6.设某商品的需求函数为 Q= 160 2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）（分数：2.00）A.10B.20C.30D.407.设 f（x）在a，b连续，则 f（x
3、）在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F（x）= a x f（t）dt 在a，b单调增加的（ ）（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件8.考虑二元函数 f（x，y）的四条性质： f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处连续， f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的两个偏导数连续， f（x，），）在点（x 0 ，y 0 ）处可微， f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的两个偏导数存在。 则有（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 D k 是圆域 D=（x，y）|x 2 +y 2 1位于第 k 象限的部分，记 I k
4、 = （分数：2.00）A.I 1 0B.I 2 0C.I 3 0D.I 4 010.设 f（x，y）连续，且 f（x，y）=xy+ （分数：2.00）A.xyB.2xyC.D.xy+111.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 的取值有关12.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p（x）y+q（x）y=f（x）的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +）y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一（C 1 +C 2 ）
5、y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一（1 一 C 1 C 2 ）y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +（1 一 C 1 C 2 ）y 3二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知极坐标系下的累次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_19.设连续函数 z=f（x，y）满足 （分数：2.00）填空项 1:_20.设幂级数 a n x
6、n 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n （n=1，2，）。 （）证明 x n 存在，并求该极限； （）计算 （分数：2.00）_25.求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。（分数：2.
7、00）_26.设函数 f（x）在0，+）上可导，f（0）=0 且 f（x）=2，证明：（）存在 a0，使得f（a）=1；（）对（）中的 a，存在 （0，a），使得 f（）= （分数：2.00）_27.设函数 f（x）在0，3上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）= 0 2 f（x）dx=f（2）+f（3）。 （）证明存在 （0，2），使 f（）=f（0）； （）证明存在 （0，3），使f“（）=0。（分数：2.00）_28.设 z= z（x，y）是由方程 x 2 +y 2 z=（x+y +z）所确定的函数，其中 具有二阶导数且1。 （）求 dz； （分数：2.00）_29.计算二重
8、积分 （x+y） 3 dxdy，其中 D 由曲线 x= 与直线 x+ =0 及 （分数：2.00）_30.求下列积分。 （）设 f（x）= 1 x e y2 dy，求 0 1 x 2 f（x）dx； （）设函数 f（x）在0，1上连续且 0 1 f（x）dx=A，求 0 1 dxf（x）f（y）dy。（分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 141 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x0 时，（1
9、+sinx） x 1 是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比（ （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：当 x0 时， （1+sinx） x 1 = e xln （l+sinx）1xln（1+sinx）xsinxx 2 ， （e sin2x 1）ln（1+x 2 ） sin 2 x x 2 x 4 ， 而 xtanx n xx n =x n+1 。因此2n+14，则正整数 n=2，故选 B。3.设函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：显然 f（0）=0，对于极限 是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小
10、量的运算性质可知， 因此 f（x）在 x=0 处连续，排除 A、B。又因为4.已知函数 y=y（x）在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）A.2B.C.D. 解析：解析：因为函数 y= y（x）在任意点 x 处的增量 故由微分定义可知 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得 ln|y|=arctanx+C 1 ，即 y= Ce arctanx ，由 y（0）=得 C=，于是 y（x）=e arctanx 。因此 y（1）=e arctan1 = 5.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，则下述命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f（x）在（一，+）上可导且单调增加
11、，则对一切 x（一，+），都有 f（x）0B.若 f（x）在点 x 0 处取得极值，则 f（x 0 ）=0C.若 f“（x 0 ）=0，则（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点坐标D.若 f（x 0 ）=0，f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）0，则 x 0 一定不是 f（x）的极值点 解析：解析：若在（一，+）上 f（x）0，则一定有 f（x）在（一，+）上单调增加，但可导函数 f（x）在（一，+）上单调增加，可能有 f（x）0。例如 f（x）=x 3 在（一，+）上单调增加，f（0）=0。故不选 A。 f（x）若在 x 0 处取得极值，且 f（x 0 ）存在，则有 f（x
12、0 ）=0，但当 f（x）在 x 0 处取得极值，在 x 0 处不可导，就得不到 f（x 0 ）=0，例如 f（x）=|x|在 x 0 =0 处取得极小值，它在 x 0 =0 处不可导，故不选 B。 如果 f（x）在 x 0 处二阶导数存在，且（x 0 ，f（x 0 ）是曲线的拐点坐标，则 f“（x 0 ）=0，反之不一定，例如 f（x）=x 4 在 x 0 =0 处，f“（0）=0，但f（x）在（一，+）没有拐点，故不选 C。由此选 D。6.设某商品的需求函数为 Q= 160 2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）（分数：2.00）
13、A.10B.20C.30D.40 解析：解析：商品需求弹性的绝对值等于7.设 f（x）在a，b连续，则 f（x）在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F（x）= a x f（t）dt 在a，b单调增加的（ ）（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：已知 g（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，则 g（x）在a，b单调增加 g（x）0 （x（a，b），在（a，b）内的任意子区间内 g（x）0。 因此，F（x）= 0 f（t）dt（在a，b可导）在a，b单调增加 8.考虑二元函数 f（x，y）的四条性质： f（x，y）在
14、点（x 0 ，y 0 ）处连续， f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的两个偏导数连续， f（x，），）在点（x 0 ，y 0 ）处可微， f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的两个偏导数存在。 则有（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 f（x，y）的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f（x，y）可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A。9.设 D k 是圆域 D=（x，y）|x 2 +y 2 1位于第 k 象限的部分，记 I k = （分数：2.00）A.I 1 0B.I 2 0 C.I 3 0D.I 4 0解析：解析：根据极坐标系下二重积分的计算可知 所
15、以 I 1 =I 3 =0，I 2 = ，I 4 = 10.设 f（x，y）连续，且 f（x，y）=xy+ （分数：2.00）A.xyB.2xyC. D.xy+1解析：解析：等式 f（x，y）=xy+ f（u，）dud 两端积分得11.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.敛散性与 a 的取值有关解析：解析：由于 发散，则12.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p（x）y+q（x）y=f（x）的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2
16、+）y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一（C 1 +C 2 ）y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一（1 一 C 1 C 2 ）y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +（1 一 C 1 C 2 ）y 3 解析：解析：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是二阶非齐次线性微分方程 y“+p（x）y+g（x）y=f（x）线性无关的解，所以（y 1 一 y 3 ），（y 2 一 y 3 ）都是齐次线性微分方程 y“+p（x）y+q（x）y=0 的解，且（y 1 一 y 3 ）与（y 2 一 y 3 ）线性无关，因此该齐次线性微分方程的通解为 y=C 1 （y 1 一 y 3 ）+
17、C 2 （y 2 一 y 3 ）。比较四个选项，且由线 性微分方程解的结构性质可知，选 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 x0 时，14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：令 xt=u，则15.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对 f（x）求导，并令 f（x）= 2x =0，得 x=0，且当 x0 时，f（x）0；当x0 时， f（x）0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f（0）=0。 又因
18、 f“（x）= （1 4x 4 ）=0，可得 x= 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 x0 时，函数值恒为 0，因此可得 + xf（x）dx= 0 + xe x dx=一 0 + xd（e x ）= xe x | 0 + + 0 + e x dx 18.已知极坐标系下的累次积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先将 I 表示成 I= f（x，y）d，用 D 的极坐标表示 因此可知区域 D:（x ） 2
19、 +y 2 （ ） 2 。 如图 1410 所示： 如果按照先 y 后 x 的积分次序，则有 19.设连续函数 z=f（x，y）满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dxdy）解析：解析：根据 以及函数 z 的连续性可知 f（0，1）=1，从而已知的极限可以转化为 或者f（x，y） f（0，1）=2x （y1）+ 20.设幂级数 a n x n 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（一 2，4）解析：解析：根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得 a n x n = na n x n1 ，其收敛半径不变，因此有 na n
20、 （x 一 1） n+1 =（x 一 1） 2 21.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（x+C）cosx，C 是任意常数）解析：解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知 y=e tanxdx cosxe tanxdx dx+C=（x+C）cosx，其中 C 是任意常数。22.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 2x +（C 2 + ）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方程为 r 2 一 4=0，解得 r 1 =2，r 2 =
21、一 2。 故 y “ 一 4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e 2x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 由于非齐次项为 f（x）=e 2x ，=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y * =Axe 2x ，代入原方程可求出 A= 。 故所求通解为 y=C 1 e 2x +（C 2 + 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n （n=1，2，）。 （）证明 x n 存在，并求该极限； （）计算 （分数：2.00）_正
22、确答案：(正确答案：（）因为 0x 1 ，则 0x 2 =sinx 1 1。 可推得 0x n+1 =slnx n 1，n=1，2，则数列x n 有界。 于是 1（因当 x0 时，slnxx），则有 x n+1 x n ，可见数列x n 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 x n 存在。 设 x n =l，在 x n+1 =sinx n 两边令 n，得 l=sinl，解得 l=0，即 x n =0。 )解析：25.求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=k arctanx 一 x，则 f（0）=0，
23、且 当 k1 时，f（x）0，f（x）在（一，+）单调递减，故此时 f（x）的图象与 x 轴只有一个交点，也即方程 k arctanxx=0 只有一个实根。 当 k=1 时，在（一，0）和（0，+）上都有 f（x）0，所以 f（x）在（一，0）和（0，+）上是严格单调递减的，又 f（0）=0，故 f（x）的图象在（一，0）和（0，+）与 x 轴均无交点。 )解析：26.设函数 f（x）在0，+）上可导，f（0）=0 且 f（x）=2，证明：（）存在 a0，使得f（a）=1；（）对（）中的 a，存在 （0，a），使得 f（）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 F（x）=f（x）
24、1，x0。 因为 f（x）=2，所以存在 X0，当xX 时，f（x）1，不妨令 x 0 X，则 f（x 0 ）1，所以 F（x 0 ）0。 又因为 F（0） =10，根据零点定理，存在 a（0，x 0 ） （0，+），使得 F（a）=0，即 f（a）=1。 （）函数在0，a上连续，在（0，a）内可导，由拉格朗日中值定理，存在 （0，a）使得 )解析：27.设函数 f（x）在0，3上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）= 0 2 f（x）dx=f（2）+f（3）。 （）证明存在 （0，2），使 f（）=f（0）； （）证明存在 （0，3），使f“（）=0。（分数：2.00）_正确答案
25、：(正确答案：（）设 F（x）= 0 x f（t）dt，x0，3 。由于 f（x）在0，3上连续，从而可知 F（x）在0，3上可导。由拉格朗日中值定理可知 F（2） F（0）=F（）（20），（0，2），所以 0 2 f（x）dx=2f（），又因为 2f （0）= 0 2 f（x）dx，所以 f（）=f（0）。 （）因 f（2）+f（3）=2f（0），即 )解析：28.设 z= z（x，y）是由方程 x 2 +y 2 z=（x+y +z）所确定的函数，其中 具有二阶导数且1。 （）求 dz； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）对方程两端同时求导得 2xdx+2ydy dz=（x+y
26、+z）（dx+dy+dz），)解析：29.计算二重积分 （x+y） 3 dxdy，其中 D 由曲线 x= 与直线 x+ =0 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 1416 所示，D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =（x，y）|0y1， D 2 =（x，y）|一 1y0， 由于 （x+y） 3 dxdy = （x 3 +3x 2 y+3xy 2 + y 3 ）dxdy， 且区域 D 关于 x 轴是对称的，被积函数 3x 2 y+y 3 是 y 的奇函数，所以 （3x 2 y+y 3 ）dxdy=0。 因此 )解析：30.求下列积分。 （）设 f（x）= 1 x e y2 dy，求 0 1 x 2 f（x）dx； （）设函数 f（x）在0，1上连续且 0 1 f（x）dx=A，求 0 1 dxf（x）f（y）dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： （）令 （x）= x 1 f（y） dy，则 （x）=一 f（x），于是 0 1 dx x 1 f（x）f（y）dy= 0 1 x 1 f（y）dyf（x）dx= 0 1 （x）d（x） )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =1，所以|x 一 1|1，即 0x2，当 x=0 和 x=2 时幂级数变为均发散，故原级数的收敛域为（0，2）。 )解析：
