1、考研数学三（微积分）模拟试卷 140 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散B.若x n 无界，则y n 必无界C.若x n 有界，则y n 必为无穷小D.若 3.设函数 f（x）= 在（一，+）内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b04.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f（0）=0。 （分数
2、：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 （x）在 x=0 不连续D.可导且 （x）在 x=0 连续5.设 y= f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（ ） x 0 （a，b），若 f（x 0 ）0，则x0 时 dy|x x0 与x 是同阶无穷小。 df（x）只与 x（a，b）有关。 y=f（x+x） f（x），则 dyy。 x0 时，dy y 是x 的高阶无穷小。（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.设 f（x）=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.7.曲线 y=1x+ （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近
3、线B.仅有垂直渐近线C.只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线8.设 f（x）= 0 x （e cost e cost ）dt，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）=f（x+2）B.f（x）f（x + 2）C.f（x） f（x +2）D.当 x0 时，f（x）f（x +2）；当 x0 时，f（x）f（x+2）9.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微10.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = （x 2 + y 3 ）dxdy，I 2 = （x 4 +y 4 ） dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2
4、I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 3 I 2 I 1D.I 1 I 3 I 211.设区域 D 由曲线 y= sinx，x= ，y=1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D.12.如果级数 （a n +b n ）收敛，则级数 （分数：2.00）A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散13.已知 y 1 （x）和 y 2 （x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=Cy 1 （x）B.y=Cy 2 （x）C.y=C 1 y 1 （x）+C 2 y 2 （x）D.y=Cy 1 （x）一 y 2 （x）二、填空题(
5、总题数：9，分数：18.00)14.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_15.设有界函数 f（x）在（c，+）内可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知f（x 3 ）dx=x 3 +C（C 为任意常数），则 f（x）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 e k|x| dx=1，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.将 0 1 dy 0 y f（x 2 +y 2 ）dx 化为极坐标下的二次积分为= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_20.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方
6、程 （分数：2.00）填空项 1:_22.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设 f（x）为a，a上的连续偶函数且 f（x）0，令 F（x）= a a |xt|f（t）dt。 （）证明 F（x）单调增加； （）当 x 取何值时，F（x）取最小值； （）当 F（x）的最小值为 f（a）a 2 1 时，求函数 f（x）。（分数：2.00）_26.假设函数 f（x）和 g（x）在a
7、，b上存在二阶导数，并且 g“（x）0，f（a）=f（b） =g（a）=g（b）=0，试证：（）在开区间（a，b）内 g（x）0；（）在开区间（a，b）内至少存在一点，使 （分数：2.00）_27.设 f（x）在a，b上有二阶连续导数，证明 a b f（x）dx= （ba）f（a）+f（b）+ （分数：2.00）_28.设 z= f（xy，yg（x），其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数 g（x）可导，且在 x=1 处取得极值g（1）=1，求 （分数：2.00）_29.求二重积分 （分数：2.00）_30.设区域 D=（x，y|x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_31.
8、求幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 140 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散B.若x n 无界，则y n 必无界C.若x n 有界，则y n 必为无穷小D.若 解析：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足 x n y n =0，由此可排除 A、B。若取 x n =0，y n =n，也满足 3.设函数 f（x）= 在（一，+）内连
9、续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析：因 f（x）连续，故 a+e bx 0，因此只要 a0 即可。再由 4.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f（0）=0。 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 （x）在 x=0 不连续D.可导且 （x）在 x=0 连续 解析：解析：因为5.设 y= f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（ ） x 0 （a，b），若 f（x 0 ）0，则x0 时 dy|x x0 与x 是同阶无穷小。 df（x）只与 x（a，b）有关。 y=f（x+x） f
10、（x），则 dyy。 x0 时，dy y 是x 的高阶无穷小。（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：逐一分析。 正确。因为 =f（x 0 ）0，因此x0 时 6.设 f（x）=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：f（x）=smx+xcosx sinx=xcosx，因此 又 f“（x）= cosx xsinx，且 故f（0）是极小值，7.曲线 y=1x+ （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线 B.仅有垂直渐近线C.只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线解析：解析：函数 y 的定义域为（一，3）（0，+）
11、，且只有间断点 x=一 3，又 =+，因此 x=3 是垂直渐近线。 x0 时， 因此，y= 2x+8.设 f（x）= 0 x （e cost e cost ）dt，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）=f（x+2） B.f（x）f（x + 2）C.f（x） f（x +2）D.当 x0 时，f（x）f（x +2）；当 x0 时，f（x）f（x+2）解析：解析：考查 f（x +2）f（x）= x x+2 （e cost e cost ）dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 f（x+2）f（x）= （e cost e cost ）dt=2 0 （e cost e cost
12、 ）dt 9.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微 解析：解析：10.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = （x 2 + y 3 ）dxdy，I 2 = （x 4 +y 4 ） dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 3 I 2 I 1D.I 1 I 3 I 2 解析：解析：由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x 3 是 x 的奇函数，y 3 是 y 的奇函数，则 I 1 = （x 3 +y 3 ）dxdy=0， y 5 dxdy=0， 积分区域 D 关于直线
13、 y=x 对称，从而由轮换对称性可得 I 3 = x 6 dxdy= （x 6 + y 6 ）dxdy， 由于在 D 内|x|1，|y|1，则 x 6 +y 6 x 4 +y 4 ，则 0 （x 6 +y 6 ）dxdy 11.设区域 D 由曲线 y= sinx，x= ，y=1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D. 解析：解析：区域 D 如图 148 中阴影部分所示，引入曲线 y=sinx 将区域分为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四部分。 由于 D 1 ，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D 1 D 2 上关于 x 的奇函数积分为零，故 x 5 ydxdy=0； 又由于
14、D 3 ，D 4 关于 x 轴对称，可知在 D 3 D 4 上关于 y 的奇函数为零，故 x 5 ydxdy=0。 因此， 故选 D。 12.如果级数 （a n +b n ）收敛，则级数 （分数：2.00）A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散 解析：解析：由于 a n =（a n +b n ）一 b n ，且 （a n +b n ）收敛，当 b n 收敛时， a n 必收敛；而当 b n 发散时， 13.已知 y 1 （x）和 y 2 （x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=Cy 1 （x）B.y=Cy 2 （x）C
15、.y=C 1 y 1 （x）+C 2 y 2 （x）D.y=Cy 1 （x）一 y 2 （x） 解析：解析：由于 y 1 （x）和 y 2 （x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则 y 1 （x）一 y 2 （x）为该方程的一个非零解，则 y=Cy 1 （x）一 y 2 （x）为该方程的解。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)14.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1+3x）e 3x）解析：解析：因为 15.设有界函数 f（x）在（c，+）内可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 f（x）
16、在（c，+）可导，则 f（x）在（c，+）内有界，故 =0。 又因16.已知f（x 3 ）dx=x 3 +C（C 为任意常数），则 f（x）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对等式f（x 3 ）dx=x 3 +C 两边求导，得 f（x 3 ）= 3x 2 。令 t=x 3 （x= ），则 f（t）= 17.已知 e k|x| dx=1，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知条件， 1= + e k|x| dx=2 0 + e kx dx=2 e kx | 0 b 。 已知要求极限存在，所以 k0
17、。于是有 1=0 18.将 0 1 dy 0 y f（x 2 +y 2 ）dx 化为极坐标下的二次积分为= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 14 9 所示，则有19.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，积分区域如图 1413 所示，则有20.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：幂级数的系数为 因此，幂级数 的收敛半径为 ，收敛区间为21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 u= ，则原方程
18、变为 两边积分得 因此 ，将 y| x=1 =1 代入上式得 C=e。 故满足条件的方程的特解为 ex= 22.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：特征方程为 r 2 一 4r+3=0，解得 r 1 =1，r 2 =3。 则对应齐次线性微分方程 y“一4y+3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 。 设非齐次线性微分方程 y “ 一 4y +3y=2e 2x 的特解为 y * =
19、ke 2x ，代入非齐次方程可得 k=一 2。 故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件有 )解析：25.设 f（x）为a，a上的连续偶函数且 f（x）0，令 F（x）= a a |xt|f（t）dt。 （）证明 F（x）单调增加； （）当 x 取何值时，F（x）取最小值； （）当 F（x）的最小值为 f（a）a 2 1 时，求函数 f（x）。（分数：2.00
20、）_正确答案：(正确答案：（）F（x）= a a |x 一 t|f（t）dt= a x （x 一 t）f（t）dt+ x a （t 一 x）f（t）dt =x a x f（t）dt 一 a x tf（t）dt+ x a tf（t）dt x x a f（t）dt =x a x f（x）dt 一 a x tf（t）dt a x tf（t）dt+x a x f（t）dt， F（x）=f（t）dt+xf（x）一 xf（x）一 xf（x）+ a x f（t）dt+xf（x）= a x f（t）dt 一 x a f（t）dt。 所以 F“（x）=2f（x）0，因此 F“（x）为单调增加的函数。 （）因为
21、F（0）= a 0 f（x）dx 一 0 a f（x）dx，且 f（x）为偶函数，所以 F（0）=0，又因为 F“（0） 0，所以 x=0 为 F（x）的唯一极小值点，也为最小值点，且最小值为 F（0）= a a |t|（t）dt=2 0 a tf（t）dt。 （）由 2 0 a tf（t）dt= f（a）一 a 2 1，两边求导得 2af（a）=f（a）一 2a， 于是 f（x）2xf（x）=2x， 解得 f（x）=2xe 2xdx dx+Ce 2xdx =Cex 2 1。 在 2 0 a tf（t）dt=f（a）一 a 2 1 中令a=0 得 f（0）=1，则 C=2，于是 f（x）= 2
22、ex 2 1。)解析：26.假设函数 f（x）和 g（x）在a，b上存在二阶导数，并且 g“（x）0，f（a）=f（b） =g（a）=g（b）=0，试证：（）在开区间（a，b）内 g（x）0；（）在开区间（a，b）内至少存在一点，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）利用反证法。假设存在 c（a，b），使得 g（c）=0，则对 g（x）在a，c和c，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1 （a，c）和 2 （c，b），使得 g（ 1 ）=g（ 2 ）=0 成立。 接着再对 g（x）在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，可知存在 3 （ 1 ， 2 ），使得 g“（ 3 ）=0 成立，这与
23、题设条件 g“（x）0 矛盾，因此在开区间（a，b）内g（x）0。 （）构造函数 F（x）=f（x）g（x）g（x）f（x），由题设条件得，函数 F（x）在区间a，b上是连续的，在区间（a，b）上是可导的，且满足 F（a）=F（b）=0。根据罗尔定理可知，存在点 （a，b），使得 F（）=0。即 f（）g“（）一 f“（）g（）=0， 因此可得 )解析：27.设 f（x）在a，b上有二阶连续导数，证明 a b f（x）dx= （ba）f（a）+f（b）+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有 a b f（x）dx= a b f（x）d（x 一 b）=f（a）（ba）一
24、 a b f（x）（x 一 b）d（x 一 a）=f（a）（b a）+ a b （x 一 a）df（x）（x 一 b） =f（a）（b 一 a）+ a b （x 一 a）df（x）+ a b f“（x）（x 一 a）（x 一 b）dx =f（a）（ba）+f（b）（b 一 a）一 a b f（x）dx+ a b f（x）（x 一 a）（x 一 b）dx， 移项并整理后得 a b f（x）dx= （b 一 a）f（a）+f（b）+ )解析：28.设 z= f（xy，yg（x），其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数 g（x）可导，且在 x=1 处取得极值g（1）=1，求 （分数：2.00）_正确答案
25、：(正确答案：由题意 =f 1 （xy，yg（x）y+f 2 （xy，yg（x）yg（x）， =f 11 “ （xy，yg（x）xy+f 12 “ （xy，yg（x）yg（x）+f 1 （xy，yg（x）+f 21 “ （xy，yg（x）xyg（x）+f 22 “ （xy，yg（x）yg（x）g（x）+f 2 （xy，yg（x）g（x）由g（x）在 x=1 处取得极值 g（1）=1，可知 g（1）=0。故 )解析：29.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，积分区域 D=（x，y）|（x 一 1） 2 +（y1） 2 2，yx。 由（x1） 2 +（y1） 2 2，得 r2（sin+cos），于是 )解析：30.设区域 D=（x，y|x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 14 22 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 f（x，y）= 是变量 y 的偶函数，函数 g（x，y）= 是变量 y 的奇函数。 则取 D 1 =Dy0， )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 S（x）= 则 S（x）=S 1 （x）一 S 2 （x），x（一 1，1）。 由于 又由于 S 1 （0）=0，故 因此 S（x）=S 1 （x）一 S 2 （x）= )解析：
