1、考研数学三（微积分）模拟试卷 139 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时 ax 2 +bx+ccosx 是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，e x 一（ax 2 + bx+1）是比 x 2 高阶的无穷小，则（ ）（分数：2.00）A.a=B.a=1，b=1C.a =D.a = 1，b =14.则 f（x）在 x=0 处（ ） （分数：2.00）A.极限不存在
2、B.极限存在，但不连续C.连续但不可导D.可导5.设 f（x）可导且 f（x 0 ）= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小6.设常数 k0，函数 f（x）=lnx （分数：2.00）A.3B.2C.1D.07.设 f（x）在a，b上二阶可导，且 f（x）0，使不等式 f（a）（ba） a b f（x）dx（ba） （分数：2.00）A.f（x）0，f“（x）0B.f（x）0，f“（x）0C.f（x）0，f“（x）0D.f（x）0，f“（x）08.设 F（x）= x x+2 e sint sintdt，则 F（x）（ ）（分
3、数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数9.设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，z 是 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的全增量，则在点（x 0 ，y 0 ） 处（ ）。（分数：2.00）A.z = dzB.z = f x （x 0 ，y 0 ） x +f y （x 0 ，y 0 ） yC.z = f x （x 0 ，y 0 ）dx +f y （x 0 ，y 0 ） dyD.z = dz + o（）10.设平面 D 由 x+y= ，x+y =1 及两条坐标轴围成，I 1 = ln（x+y） 3 dxdy，I 2 = （x+y） 3 dxdy，I 3
4、 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 2 I 111.设有平面闭区域，D=（x，y）|axa，xya，D 1 =（x，y） 10xa，xya，则 （xy+cosxsiny） dxdy=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.12.若级数 a n 收敛， （分数：2.00）A.B.C.D.13.设曲线 Y=y（x）满足 xdy+（x 一 2y）dx=0，且 y=y（x）与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y（x）=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题
5、数：10，分数：20.00)14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=（1+sinx） x ，则 dy| x= = 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20.设 z=（x+e y ） x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_23.微分方程 y“一 2y+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解
6、答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.求函数 f（x）= （分数：2.00）_26.设函数 f（x），g（x）在a，b上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）= g（a），f（b）=g（b），证明：存在 （a，b），使得 f“（）=g“（）。（分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.已知函数 f（u，）具有连续的二阶偏导数，f（1，1）=2 是 f（u，）的极值，已知 z=f（x+y），f（x，y）。求 （分数：2.00）_29.设平面区域 D 由直线 x= 3y，y=3x 及 x
7、+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_30.计算积分 1 1 dy （分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 139 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x0 时 ax 2 +bx+ccosx 是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意得 （ax 2 + bx +ccosx）=0，得 c=1， 又因为 所以得 b=0，a
8、= 3.当 x0 时，e x 一（ax 2 + bx+1）是比 x 2 高阶的无穷小，则（ ）（分数：2.00）A.a= B.a=1，b=1C.a =D.a = 1，b =1解析：解析：因 e x =1+x+ +o（x 2 ），故 e x 一（ax 2 + bx+1）=（1b）x+（ 一 a）x 2 +o（x 2 ）。 显然要使上式是比 x 2 高阶的无穷小（x0 时），只要 4.则 f（x）在 x=0 处（ ） （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析： 5.设 f（x）可导且 f（x 0 ）= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与
9、x 同阶的无穷小 C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析：解析：由 f（x）在 x 0 点处可导及微分的定义可知 dy=f（x 0 ）x= 于是 6.设常数 k0，函数 f（x）=lnx （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：因 f（x）= 令 f（x）=0，得唯一驻点 x=e，故 f（x）在区间（0，e）与（e，+）内都具有单调性。 又 f（e）=k0，而7.设 f（x）在a，b上二阶可导，且 f（x）0，使不等式 f（a）（ba） a b f（x）dx（ba） （分数：2.00）A.f（x）0，f“（x）0B.f（x）0，f“（x）0C.f（x）0，f“（x）0
10、 D.f（x）0，f“（x）0解析：解析：不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需过点（a，f（a）且平行于 x 轴的直线在曲线 y=f（x）的下方，连接点（a，f（a）和点（b，f（b）的直线在曲线 y=f（x）的上方，如图 124 所示。8.设 F（x）= x x+2 e sint sintdt，则 F（x）（ ）（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：由于被积函数以 2 为周期，所以 F（x）=F（0），而 F（0）= 0 2 e sint sintdt =一 0 2 e sint dcost =e sunt | 0
11、2 + 0 2 e sint cos 2 tdt = 0 2 e sint cos 2 tdt0。 故选A。9.设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，z 是 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处的全增量，则在点（x 0 ，y 0 ） 处（ ）。（分数：2.00）A.z = dzB.z = f x （x 0 ，y 0 ） x +f y （x 0 ，y 0 ） yC.z = f x （x 0 ，y 0 ）dx +f y （x 0 ，y 0 ） dyD.z = dz + o（） 解析：解析：由于 z= f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则 z=f（x 0 ，y 0 ）
12、x+f，（x 0 ，y 0 ）y+o（）=dz+o（）， 故选 D。10.设平面 D 由 x+y= ，x+y =1 及两条坐标轴围成，I 1 = ln（x+y） 3 dxdy，I 2 = （x+y） 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 1 I 2C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1解析：解析：显然在 D 上 0x+y1，则 ln（x+y） 3 0，0sin（x+y） 3 （x+y） 3 ，从而有 ln（x+y） 3 dxdy sin（x+y） 3 dxdy 11.设有平面闭区域，D=（x，y）|axa，xya，D 1 =（x，
13、y） 10xa，xya，则 （xy+cosxsiny） dxdy=（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将闭区间 D=（x，y）|axa，xya用直线 y=x 将其分成两部分 D 1 和 D 2 ，如图 147 所示，其中 D 1 关于 y 轴对称，D 2 关于戈轴对称，xy 关于戈和 y 均为奇函数，所以在 D 1 和 D 2 上，均有 xydxdy=0。向 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D 1 积分不为零，在 D 2 积分值为零，因此 12.若级数 a n 收敛， （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 b n 发散可知， |
14、b n |必发散，而 a n 收敛，则 13.设曲线 Y=y（x）满足 xdy+（x 一 2y）dx=0，且 y=y（x）与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y（x）=（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：原方程可化为 =一 1，其通解为 曲线 y=x+Cx 2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 故 C= 是唯一的极值点，则为最小值点，所以 y=x 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：利用等价无穷小量替换将极限
15、式进行化简，即15.设 y=（1+sinx） x ，则 dy| x= = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx）解析：解析：等式转换为：y=（1+sinx） x =exlnl +sinx，于是 y=e xln（1+sinx） ln（1+sinx）+x 16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y=0 与 x+y=0）解析：解析：显然原点（0，0）不在曲线上，首先求出切点坐标。 设切点为 则切线方程为 把（0，0）代入上式得 x 0 =3 或 x 0 = 15。 则斜率分别为 k 1 =y| x=3 =1；k 2 =y| x=15 =
16、 17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：20.设 z=（x+e y ） x ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由 z=（x+e y ） x ，故 z（x，0）=（x+1） x ，则 21.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 a n = x 2n ，则
17、当满足条件 =2x 2 1 时，即|x| ，该幂级数是收敛的。因此，幂级数的收敛半径是 22.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xe 1x）解析：解析：此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 ，所以原方程可化为 u+ =ulnu，u| x=1 =1。 解此微分方程得 ln | lnu 一 1 |=ln | C 1 x|， 去绝对值可得 lnu=C 1 x+1，u= 23.微分方程 y“一 2y+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x ，C 1 ，C
18、2 为任意常数）解析：解析：对应的特征方程为 r 2 2r+2=0， 解得其特征根为 r 1，2 =1i。 由于 =1 不是特征根，可设原方程的特解为 y * =Ae x ，代入原方程解得 A=1。因此所求的通解为 y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x 。三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.求函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f（x）= =0，可得，x=0，1。 列表讨论如下： 因此，f（x）的单调增加区间为（1，0）及（1，+），单调减少区间为（一
19、，1）及（0，1）；极小值为 f（1）=f（1）=0，极大值为 f（0）= )解析：26.设函数 f（x），g（x）在a，b上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）= g（a），f（b）=g（b），证明：存在 （a，b），使得 f“（）=g“（）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F（x）=f（x）g（x），由题设有 F（a）=F（b）=0。又 f（x），g（x）在（a，b）内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 （a，b）使得 若 x 1 =x 2 ，令 c=x 1 ，则 F（c）=0。 若 x 1 x 2 ，因 F（x
20、 1 ）=f（x 1 ） g（x 1 ）0，F（x 2 ）=f（x 2 ） g（x 2 ）0，从而存在 cx 1 ，x 2 （a，b），使 F（c）=0。 在区间a，c，c，b上分别应用罗尔定理知，存在 1 （a，c）， 2 （c，b），使得 F（ 1 ）=F（ 2 ）=0。 再对 F（x）在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理知，存在 （ 1 ， 2 ） )解析：27.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法。 )解析：28.已知函数 f（u，）具有连续的二阶偏导数，f（1，1）=2 是 f（u，）的极值，已知 z=f（x+y），f（x，y）。求 （分数：2.0
21、0）_正确答案：(正确答案：因为 =f 1 （x+y），f（x，y）+f 2 （x +y），f（x，y）f 1 （x，y），所以 =f 11 “ （x+y），f（x，y）+f 12 “ （x+y），f（x，y）f 2 （x，y）+f 21 “ （x+y），f（x，y）f 1 （x，y）+f 22 “ （x+y），f（x，y）f 2 （x，y）f 1 （x，y）+f 2 （x+y），f（x，y）f 12 “ （x，y）， 又因为 f（1，1）=2 是 f（u，）的极值，故 f 1 （1，1）=0，f 2 （1，1）=0。因此 )解析：29.设平面区域 D 由直线 x= 3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 )解析：30.计算积分 1 1 dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得 )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为（一 3，3）。 当 x=3 时，因为 且 发散，所以原级数在点 x=3 处发散； 当 x=一 3 时，由于 且 )解析：
