1、考研数学三（微积分）模拟试卷 138 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）在（一，+）内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0 必是 g（x）的第一类间断点B.x=0 必是 g（x）的第二类间断点C.x=0 必是 g（x）的连续点D.g（x）在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关3.设 （分数：2.00）A.b = 4dB.b = 4dC.a = 4cD.a = 4c4.设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，则 f（x）在
2、x=a 处可导的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f（x）=arctanx （分数：2.00）A.f（x）在1，+）单调增加B.f（x）在1，+）单调减少C.f（x）在1，+）为常数D.f（x）在1，+）为常数 06.设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，且 （分数：2.00）A.f（x）的导数存在，且 f （a）0B.f（x）取得极大值C.f（x）取得极小值D.f（x）的导数不存在7.使不等式 （分数：2.00）A.（0，1）B.C.D.（， +）8.已知 f x （x 0 ，y 0 ）存在，则 （分数：2.00）A.f x （x 0 ，y 0 ）B.0
3、C.2f x （x 0 ，y 0 ）D.9.设 I 1 = cos（x 2 + y 2 ）d，I 3 = （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 210.设函数 f（t）连续，则二重积分 d 2cos 2 f（r 2 ）rdr=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 a n 发散得出 （分数：2.00）A.a n b nB.|a n |b nC.a n |b n |D.|a n |b n |12.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y| x=2 =1 的
4、特解为（ ）（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4D.一 xy=4二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.若 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f（x）在 x=2 的某邻域内可导，且 f（x）=e f（x） ，f（2）=1，则 f“（2）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设曲线 y= f（x）与 y=x 2 x 在点（1，0）处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_19.设平面区域 D
5、 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_20.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y（1）=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 y=e x （asinx+bcosx）（a，b 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.求函数 f（x）= （分数：2.00）_25. （分数：2.0
6、0）_26.（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，则存在（a，b），使得 f（b）一 f（a）=f（）（ba）。 （）证明：若函数 f（x）在 x=0 处连续，在（0，）（0）内可导，且 （分数：2.00）_27.设 f（x）= 1 x t|t|dt（x一 1），求曲线 y=f（x）与 x 轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_28.设 z= f（x+y，xy，xy），其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：2.00）_29.已知函数 z=f（x，y）的全微分出=2xdx 2ydy，并且 f（1，1）=2。求 f（x，y）在椭圆域D=（x
7、，y）|x 2 + （分数：2.00）_30.计算二重积分 x（y+1）d，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y= （分数：2.00）_31.设正项数列a n 单调递减，且 （一 1） n a n 发散，试问级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 138 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）在（一，+）内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0 必是 g（x）的第一类间断点B.x=0 必是 g（x）的第二类间断点C
8、.x=0 必是 g（x）的连续点D.g（x）在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关 解析：解析：因为 又 g（0）=0，所以当 a=0 时，有 此时 g（x）在点 x=0 处连续，当 a0 时，3.设 （分数：2.00）A.b = 4dB.b = 4dC.a = 4cD.a = 4c 解析：解析：当 x0 时，由佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln（12x）均为 x 的一阶无穷小；而1cosx，1 e x2 均为 x 的二阶无穷小，因此有 故有 4.设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，则 f（x）在 x=a 处可导的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.
9、解析：解析：因5.设 f（x）=arctanx （分数：2.00）A.f（x）在1，+）单调增加B.f（x）在1，+）单调减少C.f（x）在1，+）为常数 D.f（x）在1，+）为常数 0解析：解析：按选项要求，先求 f（x）。 又 f（x）在1，+）连续，则 f（x）=常数=f（1）=6.设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，且 （分数：2.00）A.f（x）的导数存在，且 f （a）0B.f（x）取得极大值 C.f（x）取得极小值D.f（x）的导数不存在解析：解析：利用赋值法求解。取 f（x）f（a）=一（xa） 2 ，显然满足题设条件，而此时 f（x）为一开口向下的抛物线，必在其
10、顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。7.使不等式 （分数：2.00）A.（0，1） B.C.D.（， +）解析：解析：原问题可化为求 成立时 x 的取值范围，由8.已知 f x （x 0 ，y 0 ）存在，则 （分数：2.00）A.f x （x 0 ，y 0 ）B.0C.2f x （x 0 ，y 0 ） D.解析：解析：由题意 9.设 I 1 = cos（x 2 + y 2 ）d，I 3 = （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 2解析：解析：在区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 1上，有 0x 2 +y
11、 2 1，从而有 x 2 +y 2 （x 2 +y 2 ） 2 0。 已知函数 cosx 在 上为单调减函数，于是 cos（x 2 + y 2 ） cos（x 2 +y 2 ） 2 因此 cos（x 2 +y 2 ）d 10.设函数 f（t）连续，则二重积分 d 2cos 2 f（r 2 ）rdr=（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为曲线 r =2 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =4，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =2x，即（x1）2+y 2 =1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式= 0 2 dx 11.a n
12、 和 b n 符合下列哪一个条件可由 a n 发散得出 （分数：2.00）A.a n b nB.|a n |b n C.a n |b n |D.|a n |b n |解析：解析：反证法。如果 b n 收敛，由|a n |b n 知， |a n |收敛，从而 12.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为（ ）（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy=4C.x 2 y=4 D.一 xy=4解析：解析：原微分方程分离变量得 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.若 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：
13、因为 f（x）在（一，0）及（0，+）内连续，所以需要确定数 a，使 f（x）在 x=0 处连续。 当14.设函数 f（x）在 x=2 的某邻域内可导，且 f（x）=e f（x） ，f（2）=1，则 f“（2）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3）解析：解析：由题设知，f（x）=f f（x） ，两边对 x 求导得 f“（x）=e f（x） f（x）=e 2f（x） ， f“（x）=2e 2f（x） f（x）=2e 3f（x） 。 又 f（2）=1，故 f“（2）=2e 3f（x） =2e 3 。15.设曲线 y= f（x）与 y=x 2 x 在点（1，0）处
14、有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据已知条件有16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1+2ln2） dx+（1 2ln2） dy）解析：解析：19.设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题可以利用极坐标变换， ，0r2s
15、in。因此20.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在原级数中令 =t，原级数可化为 nt n ，只需讨论 nt n 的收敛半径和收敛区间即可。对于级数 nt n ，由于 因此， nt n 的收敛半径为 1，收敛区间为（一1，1）。 由于 =t，t（0，1）所以 x= ，即原级数 x 2n 的收敛区间为 21.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y（1）=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程可化为（xy） =0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即 22.
16、设 y=e x （asinx+bcosx）（a，b 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 2y+2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r 1 ，r 2 =1i，因此特征方程为 （rr 1 ）（rr 2 ）=r 2 一（r 1 +r 2 ）r+r 1 r 2 =r 2 一 2r+2=0， 故所求微分方程为 y“一 2y+2y=0。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.求函数 f（x）= （分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：函数 f（x）有可疑间断点 x=0，x=1，x=1，且 )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f（x）=1+ ，由基本初等函数 的高阶导公式 可知， )解析：26.（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，则存在（a，b），使得 f（b）一 f（a）=f（）（ba）。 （）证明：若函数 f（x）在 x=0 处连续，在（0，）（0）内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）作辅助函数 （x）=f（x） f（a）一 ，易验证 （x）满足： （a）=（b）；（x）在闭区间a，b上连续，在开区间
18、（a，b）内可导，且 根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点 ，使 （）=0，即 所以 f（b） f（a）=f（）（ba）。（）任取 x 0 （0，），则函数 f（x）满足在闭区间0，x 0 上连续，开区间（0，x 0 ）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 又由于 f（x）=A，对（*）式两边取 x 0 0 + 时的极限 )解析：27.设 f（x）= 1 x t|t|dt（x一 1），求曲线 y=f（x）与 x 轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 t|t|为奇函数，可知其原函数 f（x）= 1 x t|t|dt= 1 0 |t|t|dt+ 0
19、 x t|t|dt 为偶函数，因此由 f（1）=0，得 f（1）=0，即 y=f（x）与 x 轴有交点（1，0），（1，0）。 又由 f（x）=x|x|，可知 x0 时，f（x）0，故 f（x）单调减少，从而 f（x）f（1）=0（1x0）；当 x0 时，f（x）=x|x|0，故 x0 时 f（x）单调增加，且 y=f（x）与 x 轴有唯一交点（1，0）。 因此 y=f（x）与 x 轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A= 1 1 |f（x）|d=2 1 0 |f（x）|dx。 当 x0 时，f（x）= 1 x t|t|dt= 1 0 一 t 2 dt= （1+ x 3 ），故 A=2 1
20、 0 （1+x 3 ）dx= )解析：28.设 z= f（x+y，xy，xy），其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 = f 1 “ +f 2 “ +yf 3 “ ， =f 1 f 2 +xf 3 ， 所以 =（f 1 +f 2 +yf 3 ）dx+（f 1 f 2 +xf 3 ）dy， )解析：29.已知函数 z=f（x，y）的全微分出=2xdx 2ydy，并且 f（1，1）=2。求 f（x，y）在椭圆域D=（x，y）|x 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 = 2y，于是 f（x，y）=x 2 +C（y），
21、且 C（y）=2y，因此有 C（y）= y 2 +C，由 f（1，1）=2，得 C=2，故 f（x，y）=x 2 一 y 2 +2。 令 =0 得可能极值点为 x=0，y=0。且 =B 2 AC =40，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。 下面讨论其边界曲线 x 2 + =1 上的情形，令拉格朗日函数为 得可能极值点x=0，y=2，=4;x =0，y=2，=4;x=1，y=0，=1;x =1，y=0，=1。 将其分别代入f（x，y）得，f（0，2）=一 2f（1，0）=3，因此 z=f（x，y）在区域 D=（x，y）|x 2 + )解析：30.计算二重积分 x（y+1）d，其中积分
22、区域 D 是由 y 轴与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入极坐标（r，）满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标（r，）中积分区域D 可表示为 )解析：31.设正项数列a n 单调递减，且 （一 1） n a n 发散，试问级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于正项数列a n 单调递减有下界，由单调有界原理知极限 a n 存在，将极限记为 a，则有 a n a，且 a0。又因为 （一 1） n a n 是发散的，根据交错级数的莱布尼茨判别法可知 a0（否则级数 （一 1） n a n 是收敛的）。 已知正项级数a n 单调递减，因此 而 收敛，因此根据比较判别法可知，级数 )解析：
