1、考研数学三（微积分）模拟试卷 137 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列各式中正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.设对任意的 x，总有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在4.设 （分数：2.00）A.f（x）在 x=x 0 处必可导且 f（x 0 ）=aB.f（x）在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f（x）在 x=x 0 处
2、有极限但未必连续D.以上结论都不对5.设0，4区间上 y=f（x）的导函数的图形如图 12 1 所示，则 f（x）（ ） （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的6.设 f（x）有二阶连续导数，且 f（0）=0， （分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的极大值B.f（0）是 f（x）的极小值C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（0）不是 f（
3、x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点7.设 I 1 = ，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 f（x，y）= （分数：2.00）A.f x （0，0），f y （0，0）都存在B.f x （0，0）不存在，f y （0，0）存在C.f x （0，0）不存在，f y （0，0）不存在D.f x （0，0），f y （0，0）都不存在9. （分数：2.00）A.B.C.D.10. （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2B.x 2 +y 2 a 2 （x0）C.x 2 +y 2 axD.x 2 +y 2 ax（y0）11.设 p n = ，n=1，2，则
4、下列命题正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.数列 x n = （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 z=z（x，y）由方程 z=e 2x3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 f（x，y）连续，且 f（x，y） =x+ f（u，）dud，其中 D 是由 y= （分
5、数：2.00）填空项 1:_19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 y=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求函数 f（x）= （分数：2.00）_24.设 f（x）在（一，+）内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f（x+y）=f（x）e y +f（y）e x ，又设 f（0）存在且等于 a（a0），试证明对任意 x，f（x）都
6、存在，并求 f（x）。（分数：2.00）_25.设 eabe 2 ，证明 ln 2 b 一 ln 2 a （分数：2.00）_26.设 f（x）= （分数：2.00）_27.设 z=f（z 2 一 y 2 ，e xy ），其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_28.求二重积分 （分数：2.00）_29.求 ，其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和（x+1） 2 +y 2 =1 所围成的平面区域（如图 142）。 （分数：2.00）_30.设有正项级数 是它的部分和。（）证明 收敛；（）判断级数 （分数：2.00）_31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_考研数学三（
7、微积分）模拟试卷 137 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列各式中正确的是（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D。 对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可。 对于 C 选项，因 3.设对任意的 x，总有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在 解析：解析：取 （x）=f（x）=g（x）=
8、x，显然有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，但 不存在，故 A、B 排除。 再取 （x）=f（x）=g（x）=1，同样有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，但4.设 （分数：2.00）A.f（x）在 x=x 0 处必可导且 f（x 0 ）=aB.f（x）在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f（x）在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对 解析：解析：本题需将 f（x）在 x=x 0 处的左、右导数 f （x 0 ），f + （x 0 ）与 f （x）在x=x 0 处的左、右极限 区分开。 但不能保证 f（x）在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 处
9、连续和极限存在。 例如 显然，x0 时，f（x）=1，因此 但是 5.设0，4区间上 y=f（x）的导函数的图形如图 12 1 所示，则 f（x）（ ） （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的 C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的解析：解析：当 x（0，1）或（3，4）时，f（x）0，那么 f（x）在0，1，3，4单调下降。 当x（1，3）时 f（x）0，那么 f（x）在1，3单调上升。 又
10、f（x）在0，2单调上升，那么f（x）在0，2是凹的。f（x）在2，4单调下降，那么 f（x）在2，4是凸的。故选 B。6.设 f（x）有二阶连续导数，且 f（0）=0， （分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的极大值B.f（0）是 f（x）的极小值 C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（0）不是 f（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域 使对任意 x7.设 I 1 = ，则（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 1。从而， 可见有
11、 I 1 I 2 ，可排除C、D，又由 I 2 8.已知 f（x，y）= （分数：2.00）A.f x （0，0），f y （0，0）都存在B.f x （0，0）不存在，f y （0，0）存在 C.f x （0，0）不存在，f y （0，0）不存在D.f x （0，0），f y （0，0）都不存在解析：解析： 9. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：结合二重积分的定义可得10. （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2B.x 2 +y 2 a 2 （x0）C.x 2 +y 2 ax D.x 2 +y 2 ax（y0）解析：解析：由 r= acos 知 r 2 = arcos
12、，即 x 2 + y 2 = ax（a0），故选 C。11.设 p n = ，n=1，2，则下列命题正确的是（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若 a n 绝对收敛，即 |a n |收敛，由级数绝对收敛的性质知 a n 收敛。而 p n = ，再由收敛级数的运算性质知， 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.数列 x n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用等价无穷小因子代换，13.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 =ff（x）f（x），则 | x=0 =
13、f（一 1）f（0），而当 x1 时，f（x）=2，因此 f（1）=f（0）=2，代入可得 14.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x1）解析：解析：由题干可知，所求切线的斜率为 1。由 y = （lnx） =15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x= tant，则 dx=sec 2 tdt，故 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.设函数 z=z（x，y）由方程 z=e 2x3z +2y 确定，则 （分数：2.0
14、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：全微分法。利用全微分公式，得 dz=e 2x3z （2dx3dz）+2dy=2e 2x3z dx+2dy 一 3e 2x3z dz， 即 （1+ 3e 2x3z ）dz=2e 2x3z dx+2dy。 18.设 f（x，y）连续，且 f（x，y） =x+ f（u，）dud，其中 D 是由 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先令 A= f（u，）dud，则 A 为常数，此时 f（x，y）=x+Ay。19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4，6）解析：解析：幂级数
15、的系数为 a n = ，则有 因此，幂级数的收敛半径为 R=1，其收敛区间为（4，6）。 当 x=4 时，原级数为 收敛；当 x=6 时，原级数为 20.微分方程 y=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=tan ）解析：解析：将已知微分方程变形整理得， =（1+x）（1+y 2 ）， 则 =（1+x）dx， 两边积分可得 arctany= （1+x） 2 +C， 因此 y=tan 21.微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x （C 1 cos2x+C 2
16、sin2x），C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由题干可知，方程 y“+2y+5y=0 的特征方程为 r 2 +2r+5=0。解得 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f（x）的可疑间断点只有 x=0 和 x=1。 )解析：24.设 f（x）在（一，+）内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f（x+y）=f（x）e y +f（y）e x ，又设 f（0）存在且等于 a（a0），试证明对任意 x，f（x）都存在，并求 f（x）。
17、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y=0 代入 f（x+y）=f（x）e y +f（y）e x ，得 f（0）=0，为证明 f（x）存在，则由导数的定义 )解析：25.设 eabe 2 ，证明 ln 2 b 一 ln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 y=ln 2 x 在a，b上应用拉格朗日中值定理，得 ln 2 b 一 ln 2 a= （ba），ab。 当 te 时，（t）0，所以 （t）单调减少，从而有 （）（e 2 ），即 故 ln 2 bln 2 a )解析：26.设 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 f（x）是以 为周
18、期的周期函数。 （）因为|sinx|的周期为 ，故只需在0，上讨论值域。因为 所以 f（x）的最小值是 2 ，最大值是 ，故 f（x）的值域是 )解析：27.设 z=f（z 2 一 y 2 ，e xy ），其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为由已知条件可得 = 2xf 1 +ye xy f 2 ， = 2yf 1 +xe xy f 2 ， )解析：28.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 xy =1 将区域分成两个区域 D 1 和 D 2 +D 3 （如图 14 15） )解析：29.求 ，其中 D 是由圆 x 2 +y 2
19、=4 和（x+1） 2 +y 2 =1 所围成的平面区域（如图 142）。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =（x，y）|x 2 +y 2 4，D 2 =（x，y）|（x+1） 2 +y 2 1，（如图 14 21 所示） )解析：30.设有正项级数 是它的部分和。（）证明 收敛；（）判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 T n 为 的部分和，则 T n = 若正项级数 若正项级数 （）级数可整理为 因正项级数的部分和数列 S n 单调上升，将上式放缩 由（）可知 收敛，再由比较原理知， )解析：31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先进行变形 )解析：
