1、考研数学三（微积分）模拟试卷 134 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列结论中正确的是（分数：2.00）A.若数列u n 单调有界，则级数 B.若级数 C.若级数 D.若级数 3.现有命题 （分数：2.00）A.与B.与C.与D.与4.若级数 （分数：2.00）A.1B.一 1C.2D.一 25.设常数 0 且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 A 有关6.设 u n =(一 1) n ln(1+ )，则级数 （
2、分数：2.00）A.B.C.D.7.设 a0 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关8.设常数 2，财级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 有关二、解答题(总题数：28，分数：56.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.已知级数 （分数：2.00）_11.判定下列级数的敛散性： （分数：2.00）_12.判定下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_13.判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛： （分数：2.00）_14.求下列幂级数的收敛域：
3、（分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.求下列幂级数的和函数： （分数：2.00）_17.判别下列正项级数的敛散性：() （分数：2.00）_18.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_19.判别下列正项级数的敛散性： () （分数：2.00）_20.考察级数 ，p 为常数 ()证明： (n=2，3，4，)； ()证明：级数 （分数：2.00）_21.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_22.讨论级数 （分数：2.00）_23.判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)： （分数：2.00）_24.判别级数 （分数：2.00）_25.判断如下命题是否正
4、确：设无穷小 u n v n (n)，若级数 （分数：2.00）_26.求下列幂级数的收敛域： () u n x n 的收敛半径 R=3；(只求收敛区间) () （分数：2.00）_27.求下列幂级数的收敛域及其和函数： （分数：2.00）_28.将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： ()ln(1+x+x 2 )； ()arctan （分数：2.00）_29.将下列函数在指定点处展开为泰勒级数： () （分数：2.00）_30.将 f(x)=xln （分数：2.00）_31.将下列函数展开成 x 的幂级数： （分数：2.00）_32.将函数 f(x)=xarctanx 一 （分数
5、：2.00）_33.设 f(x)= （分数：2.00）_34.设 a n 0，b n 0，(n=1，2，)，且满足 ，n=1，2，试证： ()若级数 （分数：2.00）_35.设 a n = tan 0 xdx， ()求 (a n +a n+2 )的值； ()试证：对任意的常数 0 级数 （分数：2.00）_36.()求函数 y(x)=1+ （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 134 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列结论中正确
6、的是（分数：2.00）A.若数列u n 单调有界，则级数 B.若级数 C.若级数 D.若级数 解析：解析：由级数收敛的概念知级数 u n 收敛就是其部分和数列S n 收敛数列u n 单调有界只说明 S n 存在；由S n 单调有界必存在极限即可判定级数 u n 收敛，故选(B)而由级数 3.现有命题 （分数：2.00）A.与B.与 C.与D.与解析：解析：设 u n =(一 1) n1 (n=1，2，3，)，于是 (一 1) n1 发散可见命题不正确或把 (u 2n1 +u 2n )去掉括号后所得的级数由级数的基本性质 5：收敛级数加括号之后所得级数仍收敛，且收敛于原级数的和；但若加括号所得新
7、级数发散时，则原级数必发散；而当加括号后所得新级数收敛时，则原级数的敛散性不能确定，即原级数未必收敛故命题不是真命题 设 u n+1000 的部分和 T n =S n+1000 S 1000 ，(n=1，2，)，从而 u n+1000 收敛 设 1，由极限的保号性质可知，存在自然数 N，使得当 nN 时 1 成立，这表明当 nN 时 u n 同号且后项与前项的比值大于 1无妨设 u N+1 0，于是有 0u N+1 u N+2 u n (nN)，从而 u n 有负项，可类似证明同样结论成立。 可见命题与都是真命题 设 u n =1，y n =一 1 (n=1，2，3)，于是 4.若级数 （分数
8、：2.00）A.1B.一 1 C.2D.一 2解析：解析：本题是一个具体的幂级数，可直接求出该级数的收敛域，再根据题设条件确定 a 的取值 由 =1 知收敛半径为 1，从而收敛区间为x 一 a1，即 a1xa+1 又当 x 一 a=1 即 x=a+1时，原级数变为 收敛；当 x 一 a=一 1 即 x=a 一 1 时，原级数变为5.设常数 0 且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 A 有关解析：解析：利用不等式 2aba 2 +b 2 可得 6.设 u n =(一 1) n ln(1+ )，则级数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： u n 是
9、交错级数，满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的而 7.设 a0 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关解析：解析：用分解法分解级数的一般项8.设常数 2，财级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 有关解析：解析：由于 由正项级数比较判别法的极限形式知级数，二、解答题(总题数：28，分数：56.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.已知级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及 (一 1) n1 a n =2
10、 知，级数 (a 2n1 2 2n )收敛，其和数为 2，且 a n 0又由于 a 2n1 =5，从而 2a 2n1 一(a 2n1 一 a 2n )=8 设 a n 的部分和为 S n ，则 S 2n =a 1 +a 2 +a 2n1 +a 2n =(a 1 +a 2 )+(a 2n1 +a 2n ) 是 S 2n =8注意到 S 2n+1 =S 2n +a 2n+1 ， 因此 )解析：解析：注意到 a n 的奇数项构成的级数 a 2n1 收敛，从而可以由级数的性质通过运算来判定 11.判定下列级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 a1 时，1+a n a n ，
11、因此 收敛。 当 0a1 时，1+a n 2，因此 发散。 ()注意到 x lnn =e lnnlnx =n lnx ，这样原级数转化为 p 一级数 由于 当p1 时收敛，p1 时发散可得：当 lnx1 时 )解析：12.判定下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用比值判别法因 1，故原级数收敛 ()利用比较判别法的一般形式由于 发散，故原级数发散 ()利用比较判别法的极限形式由于 也发散 ()利用比较判别法的极限形式 ()利用比较判别法的极限形式取 u n = ，那么，由 )解析：13.判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛： （分数：
12、2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 收敛，所以此级数绝对收敛 ()由于当 n 充分大时有 0sin，所以此级数为交错级数，且此时还有 sin =0，由莱布尼茨判别法知级数 条件收敛)解析：14.求下列幂级数的收敛域： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因， 当 x= 时，幂级数变成 ()由于 的收敛半径 R=+，即收敛域 D 为(一，+) ()该幂级数缺偶次方项，即 a 2n =0，故不能用求 R 公式(51)求其收敛半径此时，可将 x 看成数，把原幂级数当作一个数项级数来处理由于 故当4x 2 1 即x 时通项不趋于 0，级数发散，所以收敛半径 R= )解析：15.求 （
13、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用公式(513)，并以 x 2 代替其中的 x，则有 =1 一 x 2 +x 4 一 x 6 +(一 1) n x 2n +，(x1) 由于 arctanx 在一 1，1上连续，幂级数 在一 1，1上收敛，故当 x=1 时上述展开式也成立即 arctanx= )解析：16.求下列幂级数的和函数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 S 1 (x)= nx n1 ，则易知 S 1 (x)的收敛域为(一 1，1)，且 S(x)=xS 1 (x)为求其和函数 S(x)首先求 S 1 (x)，在其收敛区间(一 1，1)内进行逐项积分得 ()容易求
14、得幂级数 的收敛域为一 1，1)为求其和函数首先在收敛区间(一 1，n1)内进行逐项求导，得 S(x)= (一 1x1) 又因为 S(0)=0，因此 S(x)=S(x)一 S(0)= 0 x S(t)dt= 0 x )解析：17.判别下列正项级数的敛散性：() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用比值判别法 ()由于 收敛；当 pe 时，该级数发散；当 p=e 时，比值判别法失效注意到数列(1+ ) n 是单调递增趋于 e 的，所以当 p=e 时， 1，即u n 单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的从而，级数 当 pe 时收敛，pe 时发散 () =，因此，当 1 时，原级数收
15、敛，当 1 时发散若 =1，则原级数为 )解析：18.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用比较判别法的极限形式，由于级数 发散，而且当 n时 所以原级数也发散 ()仍利用比较判别法的极限形式先改写 ()注意到 0 )解析：19.判别下列正项级数的敛散性： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为函数 f(x)= 单调递减，所以 再采用比较判别法，并将 收敛再由上面导出的不等式 0u n 知原级数收敛 ()首先因为x n 是单调递增的有界正数数列，所以 01 现考察原级数的部分和数列S n ，由于 S n = (x n+1 一 x 1 )
16、， 又x n 有界，即x n M(M0 为常数)，故 )解析：20.考察级数 ，p 为常数 ()证明： (n=2，3，4，)； ()证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将 a n 2 改写成 ()容易验证比值判别法对级数 a n p 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n 上下界的估计，由 注意当 p2 即号1 时 )解析：21.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 p0 时，有 (ln3) p 1(n3)成立，即级数的一股项不是无穷小量，故级数发散 当 p0 时，令 = 发散，故级数发散 综合
17、即知：无论常数 p 取何值，题设的级数总是发散的 ()因(lnn) lnn =e lnnln (lnn)=n ln(lnn) n 2 收敛，故级数收敛 )解析：22.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0，1时，x(1 一 x)sin 2n x0，从而 u n 0故 u n 为正项级数 又 sin 2n xx 2n (x0，1)，所以 u n = 0 1 x(1 一 x)sin 2n xdx 0 1 x(1 一 x)x 2n dx )解析：23.判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 发散，所以原级数不是绝对收
18、敛的原级数是交错级数，易知的单调性，令 f(x)= 0，可知当 x 充分大时 g(x)单调增加，从而 f(x)单调增加故当 a 充分大时 满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的 ()由于 发散，这说明原级数不是绝对收敛的。 由于 sinx 在第一象限是单调递增函数，而 随着 n 的增加而单调递减又因 )解析：24.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意级数的一般项满足 )解析：解析：设 u n = (一 1) n u n 对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛，为此采取比较判别法的极限形式，由于 u n 满足 可见级数不绝对收敛又因级数的一般项的绝对值
19、u n = 25.判断如下命题是否正确：设无穷小 u n v n (n)，若级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于正项级数，比较判法的极限形式就是：若 与同时收敛或同时发散本题未限定 v n 一定收敛比如，取 即 u n v n )解析：26.求下列幂级数的收敛域： () u n x n 的收敛半径 R=3；(只求收敛区间) () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式，首先计算 所以R=1 再考察幂级数在两个端点 x=1 处的敛散性当 x=1 时，级数 单调递减，令 f(x)= 1，ln(1+x)1，从而当 x2 时有 f(x)0
20、，即 f(x)当 x2 时单调递减，所以 ，(n2) 从而 满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛这样即得 的收敛域为一 1，1) ()由于 ，所以其收敛半径为 2 又由于本题是关于 x+1 的幂级数，所以收敛区间的两个端点为 x=一 3 与 x=1当 x=一 3 时，原级数为 是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的这表明幂级数 (x+1) n 的收敛域为(3，1 () a n (x 一 1) n 有相同的收敛半径 R=3因而其收敛区间为(一 2，4) ()考察 a n t n ，由题设 t=一 3 时它收敛知收敛半径 R3，又 t=3 时其发散知 R3因
21、此 R=3，由此可知 )解析：27.求下列幂级数的收敛域及其和函数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 均发散，所以其收敛域为(一 1，1) 为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数设 当 x=0 时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出 S(0)=a 0 =1综合得幂级数 的和函数 容易看出 =1这就说明 S(x)在 x=0 处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质 ()利用同样的方法容易求得级数 n(n+1)x n 的收敛域为(一 1，1) 令 S(x)= n(n+1)x n1 应先进行两次逐项积分即 )解析：28
22、.将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： ()ln(1+x+x 2 )； ()arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 ln(1+x+x 2 )=ln =ln(1 一 x 3 )一 ln(1 一 x)，利用公式(511)，并分别以(一 x 3 )与(一 x)代替其中的 x，就有 ln(1 一 x 3 )= ，(一 1一 x 3 1 即一 1x1)；注意函数 arctan 在点 x=一 1 处也收敛，从而上式在端点 x=一 1 处也成立，即 )解析：29.将下列函数在指定点处展开为泰勒级数： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在上述展式中就是以
23、 代替(513)式中的 x类似地，有 ()由于 ln(2x 2 +x 一 3)=ln(2x+3)(x1)=ln(2x+3)+ln(x 一 1)，对于右端两项应用公式(511)，得 )解析：解析：使用间接法在指定点 x 处作泰勒展开，就要用 x 一 x 0 ，或者 x 一 x 0 的倍数与方幂等代替原来的 x30.将 f(x)=xln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.将下列函数展开成 x 的幂级数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()可得被积函数的幂级数展开式为 )解析：解析：在后两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分其实
24、在第()小题中由于分母含有(1 一 x) 2 ，也要借助于求导像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便而且某些题目也必须先展开，第()小题就是如此32.将函数 f(x)=xarctanx 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=arctanx，f“(x)= ，将 f“(x)展开，有 )解析：33.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于上式右端的级数在点 x=1 处收敛，因此上面等式在x1 上成立于是当 0x1 时 由于 f(x)在点 x=0 处连
25、续，且根据幂级数的和函数在收敛区间内处处连续可得上式在点 x=0 处也成立，因此 f(x)的幂级数展开式为 f(x)=1+ )解析：解析：先由 arctanx 的麦克劳林展开式求出 0x1 时 f(x)的幂级数展开式，再由幂级数的和函数在收敛区间内的连续性及 f(x)在点 x=0 处的连续性求得 f(x)在x1 上的展开式34.设 a n 0，b n 0，(n=1，2，)，且满足 ，n=1，2，试证： ()若级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 a n 0，b n 0，故 )解析：35.设 a n = tan 0 xdx， ()求 (a n +a n+2 )的值； ()试证：对
26、任意的常数 0 级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： () 是正项级数，可用比较判法别其敛散性由于 )解析：36.()求函数 y(x)=1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当一x+时题设的幂级数可任意次逐项求导，且 由此可见 y(x)满足二阶常系数齐次线性微分方程 y“一 y=0 ()直接计算可得 y(0)=1，y(0)= ，从而函数 y(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题 的特解注意特征方程 2 1=0 有二相异特征根 =1 与 =一 1，可见微分方程的通解为 y(x)=C 1 e x +C 2 e x 利用初值 y(0)=1 与 y(0)= 故()中幂级数的和函数 y(x)= )解析：
