1、考研数学三（微积分）模拟试卷 133 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。_2.设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（分数：2.00）A.若 f(x，y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D 0 均有 B.若 f(x，y)在 D 可积，f(x，y)0，但不恒等于 0(x，y)D)，则C.若 f(x，y)在 D 连续，D.若 f(x，y)在 D 连续，f(x，y)0 (x，y)D)，则比较积分值的大小：（分数：6.00）(1).设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1
2、 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1 (2).设 I i = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1 (3).设 I= （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3 C.I 2 I 1 I 3 D.I 3 I 1 I 2 3.设 D 是由曲线 y=x 3 与直线 x=一 1 与 y=1 围成的区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)dxdy=_ （分数：2.00）A.B.C.D.4.设
3、区域 D=(x，y)x+y1，D 1 为 D 在第一象限部分，f(x，y)在 D 上连续且 f(x，y)0，则 （分数：2.00）A.f(一 x，一 y)=f(x，y)B.f(一 x，一 y)=一 f(x，y)C.f(一 x，y)=f(x，一 y)=一 f(x，y)D.f(一 x，y)=f(x，一 y)=f(x，y)二、解答题(总题数：30，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设 （分数：2.00）_7.设 f(u)有连续的二阶导数且 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_8.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满
4、足 f“ uu (u，v)=f“ vv (u，v)，若已知 f(x，4x)=x，f u (x，4x)=4x 2 ，求 f“ uu (x，4x)，f“ uv (x，4x)与 f“ vv (x，4x)（分数：2.00）_9.设函数 z=(1+e y )cosxye y ，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点（分数：2.00）_10.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P 1 和 P 2 ；销售量分别为 Q 1 和 Q 2 ；需求函数分别为 Q 1 =2402P 1 ， Q 2 =10005P 2 ； 总成本函数 C=35+40(Q 1 +Q 2 )试问：厂家如何确定两个
5、市场的售价，才能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?（分数：2.00）_11.求函数 f(x，y)=x 2 +8y 2 一 4x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +4y 2 4，y0上的最大值与最小值（分数：2.00）_12.设闭区域 D=(x，y)x 2 +y 2 y，x0，又 f(x，y)为 D 上的连续函数，且求 f(x，y)（分数：2.00）_13.设 f(x)是0，1上单调减少的正值连续函数，证明 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 f(x，y)dy 等于_ （分数：2.00）_16.交换下列积分的积分顺序： （
6、分数：2.00）_17.设 x=rcos，y=rsin，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，)中的累次积分： () （分数：2.00）_18.设 x=rcos，y=rsin，把极坐标系中的累次积分 （分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.计算下列二重积分： （分数：2.00）_21.计算累次积分 I= 0 1 dx 1 x+1 ydy+ 1 2 dx x x+1 ydy+ 2 3 dx x 3 ydy（分数：2.00）_22.计算二重积分 I= dxdy，其中 D 是由 y=1，y=x 2 及 x=0 所围区域(如图 433) （分数：2.00）_23.
7、计算二重积分 I= dxdy，其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域(如图 434) （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算二重积分 (x+y)d，其中积分区域 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 与曲线 y= （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.计算下列二重积分： () 围成的区域； () （分数：2.00）_28.计算下列二重积分： () x 2 +y 2 一 1d，其中 D=(x，y)0xl，0y； () （分数：2.00）_29.设函数 计算二重积分 （分数：2.00）_30.求下列二重积分： ()I= ，其中 D=
8、(x，y0x1，0y1； ()I= （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在区间0，1上具有连续导数，f(0)=1，且满足 （分数：2.00）_32.计算二重积分 （分数：2.00）_33.设 D=x，y)0x+，0y+，求 （分数：2.00）_34.设 D=(x，y)x+，一y+，求 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 133 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。_解析：2.设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（分数：2.00）A.若 f(x，y)在 D
9、 连续，对 D 的任何子区域 D 0 均有 B.若 f(x，y)在 D 可积，f(x，y)0，但不恒等于 0(x，y)D)，则 C.若 f(x，y)在 D 连续，D.若 f(x，y)在 D 连续，f(x，y)0 (x，y)D)，则解析：解析：直接指出其中某命题不正确 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确 设(x 0 ，y 0 )是 D 中某点，令 f(x，y)= 则在在区域 D 上 f(x，y)0 且不恒等于零，但 f(x，y)d=0因此选(B) 或直接证明其中三个是正确的 命题(A)是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证 若 f
10、(x，y)在 D 不恒为零 (x 0 ，y 0 )D，f(x 0 ，y 0 )0，不妨设 f(x 0 ，y 0 )0，由连续性 D，且当(x，y)D 0 时 f(x，y)0，由此可得 f(x，y)d0，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，y)D) 命题(D)是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证 这是因为 f(x，y)minf(x，y)=f(x 0 ，y 0 )0，其中(x 0 ，y 0 )是 D 中某点，于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0 ，y 0 )0，其中 是 D 的面积 命题(C)是正确的若 f(x，y)0在(x，y)D 上
11、f 2 (x，y)0 且不恒等于零由假设 f 2 (x，y)在 D 连续 比较积分值的大小：（分数：6.00）(1).设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1 解析：解析：利用求极值的方法可以得到 0 1， (x，y)D (上述不等式也可由图 418 看出)，因此(A)正确(2).设 I i = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1 解析：解析：容易看出：D 1 (3).设 I= （分数：2.00）A
12、.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3 C.I 2 I 1 I 3 D.I 3 I 1 I 2 解析：解析：在积分区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1上有 (x 2 +y 2 ) 2 x 2 +y 2 ， 且等号仅在区域 D 的边界(x，y)x 2 +y 2 =1上与点(0，0)处成立从而在积分区域 D 上有 cos(x 2 +y 2 ) 2 cos(x 2 +y 2 )cos 3.设 D 是由曲线 y=x 3 与直线 x=一 1 与 y=1 围成的区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)dxdy=_ （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解
13、析：用曲线段 =(x，y)y=一 x 3 ，一 1x0与 x 轴，y 轴将区域 D 分成 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四个部分(见图 419)，于是 D 1 与 D 2 关于 y 轴对称，D 3 与 D 4 关于 x 轴对称由于 xy对 x 或对 y 均为奇函数，因此 xydxdy=0又由于 cosxsiny 对 x 是偶函数，而对 y 是奇函数，所以 cosxsinydxdy=0综上所述，应选(A) 4.设区域 D=(x，y)x+y1，D 1 为 D 在第一象限部分，f(x，y)在 D 上连续且 f(x，y)0，则 （分数：2.00）A.f(一 x，一 y)=f(x，y)B.f(一
14、 x，一 y)=一 f(x，y)C.f(一 x，y)=f(x，一 y)=一 f(x，y)D.f(一 x，y)=f(x，一 y)=f(x，y) 解析：解析：(D)表明 f(x，y)关于 x 是偶函数，关于 y 也是偶函数，故当条件(D)成立时，结论成立 (A)不充分如 f(x，y)=xy，有 f(一 x，一 y)=xy=f(x，y)，但 xyd0 同样，令 f(x，y)=xy，可知满足(C)的条件，但 xyd0，故条件(C)不充分 对条件(B)，令 f(x，y)=xy 2 ，有f(一 x，一 y)=一 f(x，y)，但 二、解答题(总题数：30，分数：60.00)5.解答题解答应写出文字说明、证
15、明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用一阶全微分形式不变性，分别对两个方程求全微分，由第一个方程可得 du=f 1 d(xut)+f 2 d(yut)+f 3 d(zut) =f 1 dx+f 2 dy+f 3 dzt(f 1 +f 2 +f 3 )duu(f 1 +f 2 +f 3 )dt， 于是可解得 du= 由第二个方程可得 g 1 dx+g 2 dy+g 3 dz=0 dz=一 (g 1 dx+g 2 dy) 把所得的 dz 代入 du 表达式的右端经整理有 )解析：解析：在题设的两个方程中共有五个变量 x，y，z，t 和 u
16、按题意 x，y 是自变量，u 是因变量，从而由第二个方程知 z 应是因变量，即第二个方程确定 z 是 x，y 的隐函数这样一来在五个变量中 x，y和 t 是自变量，u 与 z 是因变量7.设 f(u)有连续的二阶导数且 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=e x siny，则有 )解析：解析：z=f(e x siny)是 z=f(u)与 u=e x siny 的复合函数，由复合函数求导法可导出 与f(u)，f“(u)的关系式，从而由 8.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f“ uu (u，v)=f“ vv (u，v)，若已知 f(
17、x，4x)=x，f u (x，4x)=4x 2 ，求 f“ uu (x，4x)，f“ uv (x，4x)与 f“ vv (x，4x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按复合函数求偏导数的法则将恒等式 f(x，4x)=x 两端对 x 求导数得 f u (x，4x)+4f v (x，4x)=1， 把 f u (x，4x)=4x 2 代入上式可得 f v (x，4x)= 一 x 2 (*) 再分别将恒等式 f u (x，4x)=4x 2 与(*)式两端对 x 求导数，并利用 f“ uu (x，y)=f“ vv (x，y)就有 )解析：9.设函数 z=(1+e y )cosxye y ，证明：
18、函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解得(x，y)=(2n，0) 或 (x，y)=(2n+1)，一 2)， 其中n=0，1，2， ()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点 在(2n，0)处，由于=一 20， 则(2n，0)是极大值点 在(2n+1)，2)处，由于 )解析：10.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P 1 和 P 2 ；销售量分别为 Q 1 和 Q 2 ；需求函数分别为 Q 1 =2402P 1 ， Q 2 =10005P 2 ； 总成本函数 C=35+40(Q 1 +Q 2 )试问：厂家如何确定两个市
19、场的售价，才能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总收益函数是 R=P 1 Q 1 +P 2 Q 2 =24P 1 +10P 2 02P 1 2 一 005P 2 2 ， 总成本函数是 C=35+40(Q 1 +Q 2 )=13958P 1 一 2P 2 ，于是，该厂的总利润函数是 L(P 1 ，P 2 )=RC=一 02P 1 2 一 005P 2 2 +32P 1 +12P 2 1395 =一 02(P 1 80) 2 一 005(P 2 120) 2 +605 由上式知，厂家应分别按 P 1 =80，P 2 =120 的价格在两个市场上销售该
20、产品，才能获最大利润，最大总利润是 605)解析：11.求函数 f(x，y)=x 2 +8y 2 一 4x 2 y 2 在区域 D=(x，y)x 2 +4y 2 4，y0上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求 f(x，y)在 D 内其驻点处的函数值令 因在 D 内 y0，从而可解出f(x，y)在 D 内有且只有两个驻点 。计算可得 其次求 f(x，y)在 D 的边界 =(x，y)x2，y=0上的最大值与最小值把 y=0 代入 f(x，y)的表达式可得 f(x，0)=x 2 ，不难得出在 上 f(x，y)的最小值为 f(0，0)=0，最大值为 f(一 2，0)=f(2
21、，0)=4 最后求f(x，y)在 D 的边界 =(x，y)x 2 +4y 2 =4，y0上的最大值与最小值把 y= 代入f(x，y)的表达式可得一元函数 =x 2 +(2 一 x 2 )(4 一 x 2 )=x 4 5x 2 +8 令 h(x)=4x 3 一10x=4x(x 2 一 内共有三个驻点(0，1)， ，函数 f(x，y)在这三个驻点处的函数值分别是 又因 f(x，y)在 的端点(一 2，0)与(2，0)处的函数值为 f(一 2，0)=f(2，0)=4比较即知f(x，y)在 )解析：12.设闭区域 D=(x，y)x 2 +y 2 y，x0，又 f(x，y)为 D 上的连续函数，且求 f
22、(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(u，v)dudv=A，在已知等式两边计算区域 D 上的二重积分(图 417)，有 )解析：解析：在函数 f(x，y)的表达式中含有函数 f(x，y)本身的二重积分，我们曾经遇到过有关定积分的同类问题，可用同样方法求解因二重积分也是一个常数，只要令13.设 f(x)是0，1上单调减少的正值连续函数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I= 0 1 f 2 (x)dx 0 1 f 3 (x)dx 0 1 xf 3 (x)dx 0 1 f 2 (x)dx，则由定积分与积分变量所 I= 0 1 xf 2 (x)dx 0 1 f
23、 3 (y)dy 0 1 yf 3 (y)dy 0 1 f 2 (x)dx = 0 1 0 1 xf 2 (x)f 3 (y)dxdy 0 1 0 1 yf 3 (y)f 2 (x)dxdy = f 2 (x)f 3 (y)(x 一 y)dxdy， 其中 D=(x，y)0x1，0y1 由于积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又有 I= f 2 (y)f 3 (x)(y 一 x)dxdy 由式与式相加，得 I= )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 +4y 2 =2x+8y1 +(y 一 1) 2 =1，故积分区域 D 是 xy 平面上以(1，1)为中心，长
24、短半轴分别为 2 与 1 的椭圆域 引入坐标系的平移 u=x1，v=y 一 1，则 D 在 uv 平面上对应区域 D=(u，v) +v 2 1，且 在此利用了 u(v+2)是关于 u 的奇函数，v 是奇函数以及 u 2 分别关于 u 与 v 是偶函数，而 D分别关于 u 轴与 v 轴对称，还利用了区域 D的面积是 2，其中 D 1 是 D在 uv 平面上第一象限的部分区域(如图 420)因为 )解析：15.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 f(x，y)dy 等于_ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B)解析：解析：设二次积分 D 又可表示为 D=(x，y)0y1，arcsinyx，
25、 故交换积分次序即得 16.交换下列积分的积分顺序： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先对 x 积分，就是从区域 D 的左侧边界 x=y 2 到右侧边界 x=y+2两边界线的交点为(1，一 1)与(4，2)，所以区域 D 又可表示为(如图 422) D=(x，y)一 1y2，y 2 xy+2， ()由题中的累次积分的积分限知，积分区域 D 的图形如图 423， 它的上侧边界由抛物线 y=x 2 与圆 x 2 +y 2 =2 构成，二者的分界点为(1，1)，而 D 的下侧边界是 x 轴，D 中最左点的横坐标是 x=0，最右点的横坐标是 从而 D 的另一形式的不等式组表示是 D=(x
26、，y)0x1，0yx 2 (x，y)1x 一 x 2 ， 所以改变积分顺序时需分块进行积分，即 )解析：解析：在第()小题中，累次积分的表示式表明：积分区域 D 由两部分构成，当 0x1 时，区域D 的下侧边界为 y=一 ；当 1x4 时，D 的下侧边界为 y=x 一 2，上侧边界为 y= ，即 D=(x，y)0x1，一 17.设 x=rcos，y=rsin，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，)中的累次积分： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分区域 D 如图 424 所示，可见区域 D 位于 的扇形中，且极点在 D的边界上，D 的边界方程为 r=cos，于是
27、 D 可表示为 D=(r，) ，0rcos，故 ()积分区域 D 如图 425 所示，可见区域 D 位于 0 的扇形中，且极点在 D 的边界上，D 的上边界方程的直角坐标方程是 x+y=1，从而它的极坐标方程是 r= ，于是。可表示为D=(r，)0 ，故 0 1 dy 0 1y f(x，y)dx= )解析：解析：求解与本例同类问题的步骤是：第一步，画出题设累次积分对应的积分区域 D 的图形；第二步，用极坐标系(r，)中的不等式组表示 D；第三步，按照第二步中结果写出极坐标系中的累次积分18.设 x=rcos，y=rsin，把极坐标系中的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区
28、域 D 如图 426 所示，可见 D 由直线 x+y=0 与圆 x 2 +y 2 =2y 围成，且 D位于直线 x+y=0 的右上侧容易得出直线 x+y=0 与圆 x 2 +y 2 =22，的交点为(0，0)及(一 1，1)，从而区域 D 可表示为 )解析：解析：求解与本例同一类型问题的步骤是：第一步，画出对应的积分区域 D 的图形；第二步，用直角坐标系中两种不同形式的不等式组表示区域 D；第三步，按照第二步中结果写出相应的两种积分次序的累次积分19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算下列二重积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()交换
29、积分顺序由于 0x1 时，区域 D 的下侧边界为 y=x，上侧边界为 y= ，其图形为图 428这样，就有 = 0 1 (1 一 y)sinydy = 0 1 (y1)d(cosy) =(y 一 1)cosy 0 1 一 0 1 cosyd(y1) =1 一 0 1 cosydy=1 一 sin1 ()由现有积分限画出积分区域的图形为图 429，这样就有 ()积分区域 D 是三角形，如图 431 所示，交换 x，y 的积分次序，得 )解析：解析：本题虽然是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但是21.计算累次积分 I= 0 1 dx 1 x+1 ydy+ 1 2 dx x x+1 ydy+
30、 2 3 dx x 3 ydy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1：2x3 时xy3，于是积分区域 D 如图 432 所示，因此 D 可表示为 D=(x，y)1y3，y 一 1xy，从而)解析：解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对 y 积分，必须先确定积分区域 D，然后再交换积分顺序22.计算二重积分 I= dxdy，其中 D 是由 y=1，y=x 2 及 x=0 所围区域(如图 433) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：被积函数中含有 ，若先对
31、y 积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对 x 积分 )解析：23.计算二重积分 I= dxdy，其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域(如图 434) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因被积函数中含 cos 2 ，而 D=(xy)0x1，0yx，于是 )解析：解析：被积函数 xcos 2 24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 435，区域 D 的上边界是方程为(x 一 a) 2 +(y 一 a) 2 =a 2 的下半圆上的一段弧，它的方程为 y=a 一 ，下边界方程为 y=0，故区域 D 可表示为 )解析：25.计算二重积分 (x+y)d，其中积分区域 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 436 所示，D 的不等式表示是D=(x，y)0x2， y2，从而 )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 如图 437 所示，用直线 y=一 x+2，y=一 x 将 D 分成 D 1 ，D 2 与 D 3 ，于是可得 )解析：27.计算下列二重积分： () 围成的区域； () （分数：2.00）_
