1、考研数学三(微积分)模拟试卷 126 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,且满足 (分数:2.00)A.是 f(x)的驻点,且为极大值点B.是 f(x)的驻点,且为极小值点C.是 f(x)的驻点,但不是极值点D.不是 f(x)的驻点二、填空题(总题数:4,分数:8.00)3.()用等价、同阶、低阶、高阶回答:设 f(x)在 x 0 可微,f(x 0 )0,则当x0 时 f(x)在 x=x 0 处的微分与x 比较
2、是 1 无穷小,y=f(x 0 +x)一 f(x 0 )与x 比较是 2 无穷小,ydf(x) 与x 比较是 3 无穷小 ()设函数 y=f(x)可微,且曲线 y=f(x)在点(x 0 ,f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直,则 (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_4.设 (分数:2.00)填空项 1:_5.设 y=f(lnx)e f(x) ,其中 f 可微,则 dy= 1(分数:2.00)填空项 1:_6.若 y=f(x)存在反函数,且 y0,y“存在,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:22,分数:44.00)7.解答
3、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_8.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x),g(x)均在 x 0 处可导,且 f(x 0 )=g(x 0 ),则f(x 0 )=g(x 0 ); ()若 x(x 0 一 ,x 0 +),xx 0 时 f(x)=g(x),则 f(x)与 g(x)在 x=x 0 处有相同的可导性; ()若存在 x 0 的一个邻域(x 0 ,x 0 +),使得 x(x 0 一 ,x 0 +)时 f(x)=g(x),则 f(x)与 g(x)在 x 0 处有相同的可导性若可导,则 f(x 0 )=g(x 0 )(分数:2.00)_9.说明下列事
4、实的几何意义: ()函数 f(x),g(x)在点 x=x 0 处可导,且 f(x 0 )=g(x 0 ),f(x 0 )=g(x 0 ); ()函数 y=f(x)在点 x=x 0 处连续,且有 (分数:2.00)_10.设 f(x)存在,求极限 (分数:2.00)_11.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在 f + (x 0 )与 f (x 0 ),但 f + (x 0 )f (x 0 ),说明这一事实的几何意义(分数:2.00)_12.设 f(x)在 x=a 可导,且 f(a)=1,f(a)=3,求数列极限 w= (分数:2.00)_13.求下列函数的导数 y: (分数:2.00)_14.
5、设 y=(1+x 2 ) sinx ,求 y(分数:2.00)_15.已知 f(x)=ke x ,常数 k0,求 f(x)的反函数的二阶导数(分数:2.00)_16.()设函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 +y 2 )+e x 一 xy 2 =0 所确定,求 ; ()设函数 y=y(x)由方程 x 3 +y 3 一 sin3x+6y=0 所确定,求 dy x=0 =0; ()设函数 y=f(x+y),其中 f 具有二阶导数,且f1,求 (分数:2.00)_17.设 e x+y =y 确定 y=y(x),求 y,y“(分数:2.00)_18.设 f(x)= (分数:2.00)_19.设
6、f(x)= (分数:2.00)_20.设 f(x)= (分数:2.00)_21.设函数 f(x)有任意阶导数,且 f(x)=f 2 (x),则当 n2 时,f (n) (x)=_(分数:2.00)_22.求下列函数的 n 阶导数公式: (分数:2.00)_23.设 y=sin 3 x, 求 y (n) (分数:2.00)_24.设 f(x)在(a,b)内处处可导,且满足 f(x)0证明对任何 x 0 (a,b)一定存在 x 1 ,x 2 (a,b)使得 f(x 1 )f(x 0 )f(x 2 )(分数:2.00)_25.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)=0
7、,又 g(x)在a,b上连续,求证:存在(a,b)使得 f()=g()f()(分数:2.00)_26.()设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f(c)0,(acb)证明:至少存在一点 (a,b),使 f“()0; ()设 h0,f(x)在a 一 h,a+h上连续,在(a 一 h,a+h)内可导,证明:存在 01 使得 (分数:2.00)_27.设 a0,且函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,试证:至少存在一点 b)使得 f()一f()= (分数:2.00)_28.证明当 x(一 1,1)时成立函数恒等式 arctanx= (分数
8、:2.00)_考研数学三(微积分)模拟试卷 126 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:2,分数:4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,且满足 (分数:2.00)A.是 f(x)的驻点,且为极大值点B.是 f(x)的驻点,且为极小值点C.是 f(x)的驻点,但不是极值点 D.不是 f(x)的驻点解析:解析:本题应先从 x=0 是否为驻点人手,即求 f(0)是否为 0;若是,再判断是否为极值点 由f(x)=0,从而 f(0)=0,f(0)= =(1 一 c
9、osx)=一 10=0 可知 x=0 是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知,在 x=0 的某去心邻域内二、填空题(总题数:4,分数:8.00)3.()用等价、同阶、低阶、高阶回答:设 f(x)在 x 0 可微,f(x 0 )0,则当x0 时 f(x)在 x=x 0 处的微分与x 比较是 1 无穷小,y=f(x 0 +x)一 f(x 0 )与x 比较是 2 无穷小,ydf(x) 与x 比较是 3 无穷小 ()设函数 y=f(x)可微,且曲线 y=f(x)在点(x 0 ,f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:()同阶)
10、填空项 1:_ (正确答案:同阶)填空项 1:_ (正确答案:高阶)填空项 1:_ (正确答案:()0)解析:解析:() 与x 是同阶无穷小量;按定义 =f(x)0,故y 与x 也是同阶无穷小量;按微分定义可知当x0 时差y 一 df(x) =o(x),即它是比x 高阶的无穷小 ()由题设可知 f( 0 )=1,又y 一 dy=o(x),dy=f(x 0 )x=x,于是 4.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:Acosb)解析:解析:补充定义 f(a)=b,则有5.设 y=f(lnx)e f(x) ,其中 f 可微,则 dy= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确
11、答案:正确答案:e f(x) )解析:解析:利用一阶微分形式不变性,可得 dy=df(lnx)e f(x) =e f(x) df(lnx)+f(lnx)de f(x) =e f(x) f(lnx)dlnx+f(lnx)e f(x) df(x)=e f(x) 6.若 y=f(x)存在反函数,且 y0,y“存在,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:22,分数:44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:8.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x),g(x)均在 x 0 处可导,且 f
12、(x 0 )=g(x 0 ),则f(x 0 )=g(x 0 ); ()若 x(x 0 一 ,x 0 +),xx 0 时 f(x)=g(x),则 f(x)与 g(x)在 x=x 0 处有相同的可导性; ()若存在 x 0 的一个邻域(x 0 ,x 0 +),使得 x(x 0 一 ,x 0 +)时 f(x)=g(x),则 f(x)与 g(x)在 x 0 处有相同的可导性若可导,则 f(x 0 )=g(x 0 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关,还与该点附近的函数值有关仅有 f(x 0 )=g(x 0 )不能保证 f(x 0 )=g(x 0
13、 )正如曲线 y=f(x)与 y=g(x)可在某处相交但并不相切 ()不正确例如 f(x)=x 2 ,g(x)= 显然,当 x0 时 f(x)=g(x),但 f(x)在点 x=0处可导,因为 g(x)在点 x=0 不连续,从而 g(x)在点 x=0 处不可导 ()正确由假设可得当 x(x 0 ,x 0 +)时 )解析:9.说明下列事实的几何意义: ()函数 f(x),g(x)在点 x=x 0 处可导,且 f(x 0 )=g(x 0 ),f(x 0 )=g(x 0 ); ()函数 y=f(x)在点 x=x 0 处连续,且有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()曲线 y=f(x),y=g
14、(x)在公共点 M 0 (x 0 ,f(x 0 )即(x 0 ,g(x 0 )处相切 ()点 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M 0 (x 0 ,f(x 0 )处有垂直于 x 轴的切线 x=x 0 (见图 21) )解析:10.设 f(x)存在,求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:按导数定义,将原式改写成 )解析:11.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在 f + (x 0 )与 f (x 0 ),但 f + (x 0 )f (x 0 ),说明这一事实的几何意义(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M 0
15、 (x 0 ,f(x 0 )处存在左、右切线,且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点),见图 22 )解析:12.设 f(x)在 x=a 可导,且 f(a)=1,f(a)=3,求数列极限 w= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:这是指数型数列极限,先转化成 其指数是 型数列极限,用等价无穷小因子替换,由数列极限与函数极限的关系及导数定义知 )解析:13.求下列函数的导数 y: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()y= ()当 x0 时,由求导法则得 f(x)= ;当 x=0 时,由导数定义即得 )解析:14.设 y=(1+x 2 ) sinx ,求 y(分
16、数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.已知 f(x)=ke x ,常数 k0,求 f(x)的反函数的二阶导数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 y=f(x),则 )解析:16.()设函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 +y 2 )+e x 一 xy 2 =0 所确定,求 ; ()设函数 y=y(x)由方程 x 3 +y 3 一 sin3x+6y=0 所确定,求 dy x=0 =0; ()设函数 y=f(x+y),其中 f 具有二阶导数,且f1,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()将原方程两边直接对 x 求导数,并注意 y 是 x 的函数,然后解出
17、y即可由 (2x+2yy)cos(x 2 +y 2 )+e x 一 y 2 2xyy=0, 得 ()先用隐函数求导法求出 y,再求微分 dy=ydx在方程的两边对 x 求导,并注意到 y 是 x 的函数,得 3x 2 +3y 2 y一 3cos3x+6y=0 又y x=0 =0,上式中令 x=0,y=0 解得 y x=0 = ()y=y(x)由方程 f(x+y)一 y=0 确定,f 为抽象函数,若把 f(x+y)看成 f(u),u=x+y,y=y(x),则变成复合函数和隐函数的求导问题注意,f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数 将 Yy=f(x+y)两边对 x 求导,并注意
18、 y 是 x 的函数,f 是关于 x 的复合函数,有 y=f(1+y),即 y= 又由 y=(1+y)f再对 x 求导,并注意 y是 x 的函数,f仍然是关于 x 的复合函数,有 y“=(1+y)y+(1+y)(f) =y“f+(1+y)f“(1+y) =y“f+(1+y) 2 f“, )解析:17.设 e x+y =y 确定 y=y(x),求 y,y“(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:注意 y 是 x 的函数,将方程两端对 x 求导得 e x+y (1+y)=y,即 y= (这里用方程 e x+y =y 化简) 再对 x 求导得 )解析:18.设 f(x)= (分数:2.00)_正确
19、答案:(正确答案: )解析:19.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设知 f(1+0)= =f(一 1),故 f(x)又可以写成 )解析:20.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x0 时,由求导法则得 f(x)=3x 2 sin ; 当 x=0 时,可用以下两种方法求得 f(0) 方法 1按定义求:f(0)= =0 方法 2显然 f(x)=0=f(0),f(x)在点 x=0处连续,又 )解析:21.设函数 f(x)有任意阶导数,且 f(x)=f 2 (x),则当 n2 时,f (n) (x)=_(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:n
20、!f n+1 (x)(n1)解析:解析:将 f(x)=f 2 (x)两边求导得 f“(x)=2f(x)f(x)=2f 3 (x), 再求导得 f (n) (z)=3!f 2 (x)f(x)=3!f 4 (x) 由此可猜想 f (n) (x)=n!f n+1 (x)(n1)22.求下列函数的 n 阶导数公式: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设 y=sin 3 x, 求 y (n) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:解析:用三角函数积化和差公式,可将 sin 3 x 化成形如 sinax 与 cosbx 的函数之和差,并用(sinax) (n) 及(c
21、osbx) (n) 的公式24.设 f(x)在(a,b)内处处可导,且满足 f(x)0证明对任何 x 0 (a,b)一定存在 x 1 ,x 2 (a,b)使得 f(x 1 )f(x 0 )f(x 2 )(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:假设结论不正确,则存在 x 0 (a,b)使得对任何 x(a,b),要么 f(x)f(x 0 )(这时 f(x 0 )为极小值);要么 f(x)f(x 0 )(这时 f(x 0 )为极大值)因此若结论不正确,则 f(x)必在(a,b)内某点 x 0 处取得极值由于 f(x)在(a,b)内处处可导,由费马定理可知 f(x 0 )=0,但是对一切 x(a,b
22、)有 f(x)0,这就产生了矛盾因此结论正确)解析:解析:f(x 1 )f(x 0 )f(x 2 )的含义是既有函数值小于 f(x 0 )的点又有函数值大于 f(x 0 )的点若这个结论不正确,则在(a,b)内的函数值要么处处不小于 f(x 0 ),要么处处不大于 f(x 0 ),这时 f(x 0 )就是极值由费马定理得出 f(x 0 )=0,此与条件矛盾25.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)=0,又 g(x)在a,b上连续,求证:存在(a,b)使得 f()=g()f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设g(x)dx 是 g(x)的某个原函数,并
23、令 R(x)=e g(x)dx ,作辅助函数 F(x)=R(x)f(x),对 F(x)在a,b上用罗尔定理,即知本题结论成立)解析:解析:注意存在 (a,b), f()=g(),()令 f()一 g()f()=0 f(x)一 g(x)f(x) x= =0 R(x)f(x)一 R(x)g(x)f(x) x= =0 R(x)f(x) x= =0, 其中 R(x)是在a,b上连续,在(a,b)内可导,而且当 x(a,b)时满足如下条件的任一函数: R(x)=一R(x)g(x),又 R(x)0 可取 R(x)=e g(x)dx ,若对 R(x)f(x)在a,b上可用罗尔定理即得证26.()设函数 f(
24、x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f(c)0,(acb)证明:至少存在一点 (a,b),使 f“()0; ()设 h0,f(x)在a 一 h,a+h上连续,在(a 一 h,a+h)内可导,证明:存在 01 使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 acb,由已知条件可知 f(x)在a,c与c,b上都满足拉格朗日中值定理的条件,故存在点 1 (a,c), 2 (c,b),使 f(c)一 f(a)=f( 1 )(c 一 a), 1 (a,c); f(b)一 f(c)=f( 2 )(b 一 c), 2 (c,b) 由于 f(a)=f(b)=0
25、,于是有 f(c)=f( 1 )(c 一 a), 一 f(c)=f( 2 )(b 一 c) 由于 c 一 a0,b 一 c0,f(c)0,因此由式、可知 f( 1 )0, f( 2 )0 由已知条件知 f(x)在 1 , 2 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在 ( 1 , 2 ) (a,b),使 f“()= 0 ()令 F(x)=f(a+x)+f(a 一 x),则 F(x)在0,h上连续,在(0,h)内可导,由拉格朗日中值 定理可得存在 (0,1)使得 =F(h) 由于 F(h)一 F(0)=f(a+h)+f(a 一 h)一 2f(a), F(x)=f(a+x)一 f(a 一 x), F(h
26、)=f(a+h)一 f(a 一 h), 因此存在满足 01 的 使得 )解析:解析:()明在某区间内存在一点 使得 f()=0 常可考虑利用罗尔定理,而证明在某区间内存在一点 使得 f()0 常可考虑利用拉格朗日中值定理 ()在a,a+h和a 一 h,a上分别对 f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在 1 , 2 (0,1)使得 f(a+h)一 f(a)=f(a+ 1 h)h, f(a 一 h)一 f(a)=一 f(a 一 2 h)h, 这时有 27.设 a0,且函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,试证:至少存在一点 b)使得 f()一f()= (分数:2.00)_正确答案:(正
27、确答案:将等式右端改写成 令 F(x)= ,则 F(x),G(x)在a,b上满足柯西中值定理条件,于是,至少存在一点 (a,b)使得 )解析:28.证明当 x(一 1,1)时成立函数恒等式 arctanx= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=arctanx,g(x)= ,要证 f(x)=g(x)当 x(一 1,1)时成立,只需证明: 1 f(x),g(x)在(一 1,1)可导且当 x(一 1,1)时 f(x)=g(x); 2 存在 x 0 (一 1,1)使得 f(x 0 )=g(x 0 ) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(一 1,1)内可导,计算可得 )解析: