1、考研数学三（微积分）模拟试卷 126 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f(x)的驻点，且为极大值点B.是 f(x)的驻点，且为极小值点C.是 f(x)的驻点，但不是极值点D.不是 f(x)的驻点二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.()用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x 0 可微，f(x 0 )0，则当x0 时 f(x)在 x=x 0 处的微分与x 比较
2、是 1 无穷小，y=f(x 0 +x)一 f(x 0 )与x 比较是 2 无穷小，ydf(x) 与x 比较是 3 无穷小 ()设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_4.设 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.若 y=f(x)存在反函数，且 y0，y“存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答
3、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在 x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )，则f(x 0 )=g(x 0 )； ()若 x(x 0 一 ，x 0 +)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x 0 处有相同的可导性； ()若存在 x 0 的一个邻域(x 0 ，x 0 +)，使得 x(x 0 一 ，x 0 +)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x 0 处有相同的可导性若可导，则 f(x 0 )=g(x 0 )（分数：2.00）_9.说明下列事
4、实的几何意义： ()函数 f(x)，g(x)在点 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )； ()函数 y=f(x)在点 x=x 0 处连续，且有 （分数：2.00）_10.设 f(x)存在，求极限 （分数：2.00）_11.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在 f + (x 0 )与 f (x 0 )，但 f + (x 0 )f (x 0 )，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_12.设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限 w= （分数：2.00）_13.求下列函数的导数 y： （分数：2.00）_14.
5、设 y=(1+x 2 ) sinx ，求 y（分数：2.00）_15.已知 f(x)=ke x ，常数 k0，求 f(x)的反函数的二阶导数（分数：2.00）_16.()设函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 +y 2 )+e x 一 xy 2 =0 所确定，求 ； ()设函数 y=y(x)由方程 x 3 +y 3 一 sin3x+6y=0 所确定，求 dy x=0 =0； ()设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且f1，求 （分数：2.00）_17.设 e x+y =y 确定 y=y(x)，求 y，y“（分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.设
6、f(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.设函数 f(x)有任意阶导数，且 f(x)=f 2 (x)，则当 n2 时，f (n) (x)=_（分数：2.00）_22.求下列函数的 n 阶导数公式： （分数：2.00）_23.设 y=sin 3 x， 求 y (n) （分数：2.00）_24.设 f(x)在(a，b)内处处可导，且满足 f(x)0证明对任何 x 0 (a，b)一定存在 x 1 ，x 2 (a，b)使得 f(x 1 )f(x 0 )f(x 2 )（分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0
7、，又 g(x)在a，b上连续，求证：存在(a，b)使得 f()=g()f()（分数：2.00）_26.()设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(c)0，(acb)证明：至少存在一点 (a，b)，使 f“()0； ()设 h0，f(x)在a 一 h，a+h上连续，在(a 一 h，a+h)内可导，证明：存在 01 使得 （分数：2.00）_27.设 a0，且函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证：至少存在一点 b)使得 f()一f()= （分数：2.00）_28.证明当 x(一 1，1)时成立函数恒等式 arctanx= （分数
8、：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 126 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f(x)的驻点，且为极大值点B.是 f(x)的驻点，且为极小值点C.是 f(x)的驻点，但不是极值点 D.不是 f(x)的驻点解析：解析：本题应先从 x=0 是否为驻点人手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 由f(x)=0，从而 f(0)=0，f(0)= =(1 一 c
9、osx)=一 10=0 可知 x=0 是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.()用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x 0 可微，f(x 0 )0，则当x0 时 f(x)在 x=x 0 处的微分与x 比较是 1 无穷小，y=f(x 0 +x)一 f(x 0 )与x 比较是 2 无穷小，ydf(x) 与x 比较是 3 无穷小 ()设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()同阶）
10、填空项 1:_ （正确答案：同阶）填空项 1:_ （正确答案：高阶）填空项 1:_ （正确答案：()0）解析：解析：() 与x 是同阶无穷小量；按定义 =f(x)0，故y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知当x0 时差y 一 df(x) =o(x)，即它是比x 高阶的无穷小 ()由题设可知 f( 0 )=1，又y 一 dy=o(x)，dy=f(x 0 )x=x，于是 4.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Acosb）解析：解析：补充定义 f(a)=b，则有5.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
11、答案：正确答案：e f(x) ）解析：解析：利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)e f(x) =e f(x) df(lnx)+f(lnx)de f(x) =e f(x) f(lnx)dlnx+f(lnx)e f(x) df(x)=e f(x) 6.若 y=f(x)存在反函数，且 y0，y“存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在 x 0 处可导，且 f
12、(x 0 )=g(x 0 )，则f(x 0 )=g(x 0 )； ()若 x(x 0 一 ，x 0 +)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x 0 处有相同的可导性； ()若存在 x 0 的一个邻域(x 0 ，x 0 +)，使得 x(x 0 一 ，x 0 +)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x 0 处有相同的可导性若可导，则 f(x 0 )=g(x 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x 0 )=g(x 0 )不能保证 f(x 0 )=g(x 0
13、 )正如曲线 y=f(x)与 y=g(x)可在某处相交但并不相切 ()不正确例如 f(x)=x 2 ，g(x)= 显然，当 x0 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在点 x=0处可导，因为 g(x)在点 x=0 不连续，从而 g(x)在点 x=0 处不可导 ()正确由假设可得当 x(x 0 ，x 0 +)时 )解析：9.说明下列事实的几何意义： ()函数 f(x)，g(x)在点 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )； ()函数 y=f(x)在点 x=x 0 处连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()曲线 y=f(x)，y=g
14、(x)在公共点 M 0 (x 0 ，f(x 0 )即(x 0 ，g(x 0 )处相切 ()点 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M 0 (x 0 ，f(x 0 )处有垂直于 x 轴的切线 x=x 0 (见图 21) )解析：10.设 f(x)存在，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按导数定义，将原式改写成 )解析：11.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在 f + (x 0 )与 f (x 0 )，但 f + (x 0 )f (x 0 )，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M 0
15、 (x 0 ，f(x 0 )处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22 )解析：12.设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是指数型数列极限，先转化成 其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知 )解析：13.求下列函数的导数 y： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()y= ()当 x0 时，由求导法则得 f(x)= ；当 x=0 时，由导数定义即得 )解析：14.设 y=(1+x 2 ) sinx ，求 y（分
16、数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.已知 f(x)=ke x ，常数 k0，求 f(x)的反函数的二阶导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y=f(x)，则 )解析：16.()设函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 +y 2 )+e x 一 xy 2 =0 所确定，求 ； ()设函数 y=y(x)由方程 x 3 +y 3 一 sin3x+6y=0 所确定，求 dy x=0 =0； ()设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且f1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将原方程两边直接对 x 求导数，并注意 y 是 x 的函数，然后解出
17、y即可由 (2x+2yy)cos(x 2 +y 2 )+e x 一 y 2 2xyy=0， 得 ()先用隐函数求导法求出 y，再求微分 dy=ydx在方程的两边对 x 求导，并注意到 y 是 x 的函数，得 3x 2 +3y 2 y一 3cos3x+6y=0 又y x=0 =0，上式中令 x=0，y=0 解得 y x=0 = ()y=y(x)由方程 f(x+y)一 y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数 将 Yy=f(x+y)两边对 x 求导，并注意
18、 y 是 x 的函数，f 是关于 x 的复合函数，有 y=f(1+y)，即 y= 又由 y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y是 x 的函数，f仍然是关于 x 的复合函数，有 y“=(1+y)y+(1+y)(f) =y“f+(1+y)f“(1+y) =y“f+(1+y) 2 f“， )解析：17.设 e x+y =y 确定 y=y(x)，求 y，y“（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得 e x+y (1+y)=y，即 y= (这里用方程 e x+y =y 化简) 再对 x 求导得 )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确
19、答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 f(1+0)= =f(一 1)，故 f(x)又可以写成 )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由求导法则得 f(x)=3x 2 sin ； 当 x=0 时，可用以下两种方法求得 f(0) 方法 1按定义求：f(0)= =0 方法 2显然 f(x)=0=f(0)，f(x)在点 x=0处连续，又 )解析：21.设函数 f(x)有任意阶导数，且 f(x)=f 2 (x)，则当 n2 时，f (n) (x)=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n
20、!f n+1 (x)(n1)解析：解析：将 f(x)=f 2 (x)两边求导得 f“(x)=2f(x)f(x)=2f 3 (x)， 再求导得 f (n) (z)=3!f 2 (x)f(x)=3!f 4 (x) 由此可猜想 f (n) (x)=n!f n+1 (x)(n1)22.求下列函数的 n 阶导数公式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 y=sin 3 x， 求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：用三角函数积化和差公式，可将 sin 3 x 化成形如 sinax 与 cosbx 的函数之和差，并用(sinax) (n) 及(c
21、osbx) (n) 的公式24.设 f(x)在(a，b)内处处可导，且满足 f(x)0证明对任何 x 0 (a，b)一定存在 x 1 ，x 2 (a，b)使得 f(x 1 )f(x 0 )f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设结论不正确，则存在 x 0 (a，b)使得对任何 x(a，b)，要么 f(x)f(x 0 )(这时 f(x 0 )为极小值)；要么 f(x)f(x 0 )(这时 f(x 0 )为极大值)因此若结论不正确，则 f(x)必在(a，b)内某点 x 0 处取得极值由于 f(x)在(a，b)内处处可导，由费马定理可知 f(x 0 )=0，但是对一切 x(a，b
22、)有 f(x)0，这就产生了矛盾因此结论正确)解析：解析：f(x 1 )f(x 0 )f(x 2 )的含义是既有函数值小于 f(x 0 )的点又有函数值大于 f(x 0 )的点若这个结论不正确，则在(a，b)内的函数值要么处处不小于 f(x 0 )，要么处处不大于 f(x 0 )，这时 f(x 0 )就是极值由费马定理得出 f(x 0 )=0，此与条件矛盾25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，又 g(x)在a，b上连续，求证：存在(a，b)使得 f()=g()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设g(x)dx 是 g(x)的某个原函数，并
23、令 R(x)=e g(x)dx ，作辅助函数 F(x)=R(x)f(x)，对 F(x)在a，b上用罗尔定理，即知本题结论成立)解析：解析：注意存在 (a，b)， f()=g()，()令 f()一 g()f()=0 f(x)一 g(x)f(x) x= =0 R(x)f(x)一 R(x)g(x)f(x) x= =0 R(x)f(x) x= =0， 其中 R(x)是在a，b上连续，在(a，b)内可导，而且当 x(a，b)时满足如下条件的任一函数： R(x)=一R(x)g(x)，又 R(x)0 可取 R(x)=e g(x)dx ，若对 R(x)f(x)在a，b上可用罗尔定理即得证26.()设函数 f(
24、x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(c)0，(acb)证明：至少存在一点 (a，b)，使 f“()0； ()设 h0，f(x)在a 一 h，a+h上连续，在(a 一 h，a+h)内可导，证明：存在 01 使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 acb，由已知条件可知 f(x)在a，c与c，b上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点 1 (a，c)， 2 (c，b)，使 f(c)一 f(a)=f( 1 )(c 一 a)， 1 (a，c)； f(b)一 f(c)=f( 2 )(b 一 c)， 2 (c，b) 由于 f(a)=f(b)=0
25、，于是有 f(c)=f( 1 )(c 一 a)， 一 f(c)=f( 2 )(b 一 c) 由于 c 一 a0，b 一 c0，f(c)0，因此由式、可知 f( 1 )0， f( 2 )0 由已知条件知 f(x)在 1 ， 2 上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使 f“()= 0 ()令 F(x)=f(a+x)+f(a 一 x)，则 F(x)在0，h上连续，在(0，h)内可导，由拉格朗日中值 定理可得存在 (0，1)使得 =F(h) 由于 F(h)一 F(0)=f(a+h)+f(a 一 h)一 2f(a)， F(x)=f(a+x)一 f(a 一 x)， F(h
26、)=f(a+h)一 f(a 一 h)， 因此存在满足 01 的 使得 )解析：解析：()明在某区间内存在一点 使得 f()=0 常可考虑利用罗尔定理，而证明在某区间内存在一点 使得 f()0 常可考虑利用拉格朗日中值定理 ()在a，a+h和a 一 h，a上分别对 f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在 1 ， 2 (0，1)使得 f(a+h)一 f(a)=f(a+ 1 h)h， f(a 一 h)一 f(a)=一 f(a 一 2 h)h， 这时有 27.设 a0，且函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证：至少存在一点 b)使得 f()一f()= （分数：2.00）_正确答案：(正
27、确答案：将等式右端改写成 令 F(x)= ，则 F(x)，G(x)在a，b上满足柯西中值定理条件，于是，至少存在一点 (a，b)使得 )解析：28.证明当 x(一 1，1)时成立函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(一 1，1)时成立，只需证明： 1 f(x)，g(x)在(一 1，1)可导且当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)； 2 存在 x 0 (一 1，1)使得 f(x 0 )=g(x 0 ) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(一 1，1)内可导，计算可得 )解析：
