1、考研数学三（微积分）模拟试卷 125 及答案解析(总分：42.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。_2.已知 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=1C.a=1，b=一 1D.a=一 1，b=一 1设有定义在(一，+)上的函数： （分数：4.00）(1).其中在定义域上连续的函数是_；（分数：2.00）A.B.C.D.(2).()以 x=0 为第二类间断点的函数是_（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)3.极限 （分数：2.00）填空项 1:_三、
2、解答题(总题数：17，分数：34.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.求下列极限： （分数：2.00）_6.求下列极限： （分数：2.00）_7.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_8.设 f(x)可导，且 f(0)=0，f(0)0，求 w= （分数：2.00）_9.已知 w= （分数：2.00）_10.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_11.设()f(x)= （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.求 w= （分数：2.00）_14.求下列数列极限： （分数：2.00）_15.当 x0 时下列无穷
3、小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n： () 一 1； ()(1+tan 2 x) sinx 一 1； () （分数：2.00）_16.设函数 f(x)存 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)当 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值（分数：2.00）_17.试确定 a 和 b 的值，使 f(x)= （分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.设 f(x)是在(一，+)上连续且以 T 为周期的周期函数，求证：方程 f(x)一 （分数：2.00）_20.设 f(x)在(一，+)连续，存在极
4、限 f(x)=B证明：()设 AB，则对 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 125 答案解析(总分：42.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。_解析：2.已知 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=1C.a=1，b=一 1 D.a=一 1，b=一 1解析：解析：这是从已知极限值去确定函数式中的待定常数可通过直接计算，导出式中的常数所满足的方程组，然后解出 a 和 b作为选择题，也可把四个选项中的各组常数值代入，看哪一组常数可以使极限为零，这种解法留给读者自己完成 由
5、， 得 1a=0，a+b=0， 即 a=1，b=一 1故选(C) 由极限的四则运算法则知设有定义在(一，+)上的函数： （分数：4.00）(1).其中在定义域上连续的函数是_；（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)=(2).()以 x=0 为第二类间断点的函数是_（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：关于(A)：由于 故 x=0 是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点) 关于(C)：由于=eh(0)， 故 x=0 是 h(x)的第一类间断点(可去间断点)
6、已证(B)中 g(x)在 x=0 连续因此选(D) 我们也可直接考察(D)由于二、填空题(总题数：1，分数：2.00)3.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sin1 一 cos1）解析：解析：极限 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题两个极限都是 1 型未定式，可用上面介绍的做法求解 其中用了等价无穷小因子替换： 1x 2 lna(x0)，a x 一 1xlna(x0) )解析：6.求下列极限： （分数：2.00）_正确
7、答案：(正确答案： 其中用了等价无穷小因子替换：ln(1 一 x)一 x(x0)，tantt(t0) 因此 w= =e 0 =1 ()属 0 型利用恒等变形及基本极限 =1 可得 w= )解析：7.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形转化为求 型未定式，然后用洛必达法则 )解析：8.设 f(x)可导，且 f(0)=0，f(0)0，求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此极限是 型未定式由洛必达法则可得 )解析：9.已知 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是 型未定式用洛必达法则，并结合等价无穷小因子替换可求得
8、 w 设 f(x)= ，当 a0 时 f(x)在(一，+)上连续；当 a=0 时 f(x)在 x0 有定义，且 f(x)= =xx，补充定义 f(0)=0，则 f(x)=xx在(，+)上连续从而，当 a0 时 0 x f(t)dt 可导，且 )解析：10.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax 2 +bx+1 一 e 2x 0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 0，故必有 c=0由于 )解析：11.设()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()需要对参数 x 用夹逼定理分段进行讨论
9、 )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 x n = 是 f(x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0，1上连续，故可积，于是 =一 lncosx 0 1 =lncos1 因此，我们对 x n 用适当放大缩小法，将求 x n 转化为求积分和的极限因 )解析：14.求下列数列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先用等价无穷小因子替换： 现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得 )解析：15.当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n： () 一 1； (
10、)(1+tan 2 x) sinx 一 1； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 一 1x 4 2x 2 一 2x 2 (x0)，即当 x0 时 一 1 是 x 的2 阶无穷小，故 n=2 ()(1+tan 2 x) sinx 一 1 一 ln(1+tan 2 x) sinx 一 1+1 =sinxln(1+tan 2 x)sinxtan 2 x xx 2 =x 3 (x0)， 即当 x0 时(1+tan 2 x) sinx 一 1 是 x 的 3 阶无穷小，故n=3 ()由 1 的 4 阶无穷小，即当 x0 时 是 x 的 4 阶无穷小，故 n=4 )解析：16.设函数 f
11、(x)存 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)当 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 af(h)+bf(2h)一 f(0)=(a+b1)f(0)=0 由于 f(0)0，故必有 a+b 一 1=0 利用 a+b=1 和导数的定义，又有 )解析：17.试确定 a 和 b 的值，使 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为使 x=0 为 f(x)的无穷间断点，必须有 =，因而 a=0，b1 将 a=0 代入上面极限式中，为使 x=1 是 f(x)
12、的可去间断点，必须有 (常数) 因 )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 a= 利用当 x0 + 时的等价无穷小关系 ln(1 一 x)一 x 可得 )解析：19.设 f(x)是在(一，+)上连续且以 T 为周期的周期函数，求证：方程 f(x)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a(一，+)，考虑闭区间a，a+ ，作辅助函数 F(x)=f(x)一 f(x一 )，则 于是，若 f(a)=(a 均为方程 F(x)=0 的根；若 f(a)f(a 上连续，由闭区间上连续函数的零值定理知，至少存在一点 (a，a+ )解析：解析：考虑辅助函数 F(x)=f(x)一 f(x 一 )，要证明 F(x)在任意一区间0，a+20.设 f(x)在(一，+)连续，存在极限 f(x)=B证明：()设 AB，则对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形 ()由 f(x)=AX 1 使得 f(X 1 ) 由 X 2 X 1 使得 f(X 2 )因 f(x)在X 1 ，X 2 连续，f(X 1 )f(X 2 )，由连续函数介值定理知 (一，+)，使得 f()= ()因 f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， X 1 ，使得当 x(一，X 1 )时 f(x)有界； )解析：
