1、考研数学三（微积分）模拟试卷 117 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 0 x f(t)dt= （分数：2.00）A.B.C.e 2xD.3.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）_4.若曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=一 1+xy 3 在点(1，一 1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（分数：2.00）A.a=0，b=一 2B.a=1，b=一 3C.a=一 3，b=1D.a=一 1，b=一 15.设 a，b， 为常数，则下
2、列函数中弹性函数不为常数的是( )（分数：2.00）A.y=ax+bB.y=axC.y=D.y=x 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_9.设某产品的价格与销售量的关系为 P=10 一 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 f(x)在a，b上连续，且对 （分数：2.00）_12.设 f(x)连续，
3、y=y(x)由 e xy +(x 一 1)y=e x 确定，又 0 2x tf(2xt)dt= 0 x y(t)dt，求 0 2 f(x)dx（分数：2.00）_13.设 f(x)可导，且有 f(x)+xf(x 一 1)=4，又 0 1 f(xt)dx+ 0 x f(t 一 1)dt=x 3 +x 2 +2x，求f(x)（分数：2.00）_14.设 f(x)=acosx+bsinx在 x=一 （分数：2.00）_15.设 (x)= 0 x f(t)g(xt)dt，其中 g(x)= （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 1 1 f(t)d
4、t+(1 一 x)f(x)dx（分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.设 f(x)、g(x)在一 a，a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且满足 f(x)+f(一 x)=A(A 为常数) (1)试证： a a f(x)g(x)dx=A 0 a g(x)dx； (2)计算： （分数：2.00）_20.求 2 2 min(2，x 2 )dx（分数：2.00）_21.设 f(x)在一 1，1上连续，f(0)=1，求 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.设 f
5、(x)在 （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，+)上连续且单调增加，试证：对任意的 a、b0，恒有 a a xf(x)dx （分数：2.00）_27.设f(x)M，x0，1，且 f(0)=f(1)=0，试证： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上有连续的二阶导数，并且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0，试证：（分数：2.00）_29.已知 f(x)连续，且 x 0 2x f(t)dt+2 x 0 tf(2t)dt=2x 3 (x 一 1)，求 f(x)在0，2上的最大值和最小值（分数：2.00）_30.设 f(x)在1，+)上连续
6、，且 f(x)0，求 (x)= 1 x ( +lnt)f(t)dt(x1)的最小值，其中 1 2 f(x)dx=a， 1 2 ( （分数：2.00）_31.设 y=y(x)由方程 e x + 0 y （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 117 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 0 x f(t)dt= （分数：2.00）A.B.C.e 2x D.解析：解析： 3.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）_解析：解析： 2 +
7、 4.若曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=一 1+xy 3 在点(1，一 1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（分数：2.00）A.a=0，b=一 2B.a=1，b=一 3C.a=一 3，b=1D.a=一 1，b=一 1 解析：解析：由题设知，这两条曲线均过点(1，一 1)，且在此点的斜率相等，即 一 1=1+a+b 由于对第一条曲线有5.设 a，b， 为常数，则下列函数中弹性函数不为常数的是( )（分数：2.00）A.y=ax+b B.y=axC.y=D.y=x 解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
8、：2）解析：解析：4xx 2 为偶函数， 7.设函数 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：x 2 f(1x)dx=一 8.设 f(x)为连续函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设某产品的价格与销售量的关系为 P=10 一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 f(x)在a，b上连续，且对 （分数：2.00）_正确答案
9、：(正确答案：由 f(x)+f(y)，可得 2 x y f(t)dt=(yx)f(x)+f(y) 令 x=a，得2 a y f(t)dt=(ya)f(a)+f(y) 由变限积分的可导性知，f(y)可导，两边对 y 求导得 2f(y)=g(a)+f(y)+(y 一 a)f(y) 分离变量得 积分得 lnf(y)一 f(a)=ln(y 一 a)+lnc，即 f(y)一 f(a)=c(y一 a) 令 y=b，得 c= )解析：解析：建立关于 f(x)的微分方程，解方程可求出 f(x)12.设 f(x)连续，y=y(x)由 e xy +(x 一 1)y=e x 确定，又 0 2x tf(2xt)dt=
10、 0 x y(t)dt，求 0 2 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2x tf(2xt)dt 0 2x (2x 一 u)f(u)du=2x 0 2x f(u)du 一 0 2x f(u)du 由题设有 2x 0 2x f(u)du 0 2x uf(u)du= 0 x y(t)dt， 两边对 x 求导得 2 0 2x f(u)du+4xf(2x)一 4xf(2x)=y(x)， 即 2 0 2x f(u)du=y(x) 令 x=1 得 0 2 f(x)dx= y(1) 又 e y(1) +0y(1)=e，所以，y(1)=1故 0 2 f(x)dx= )解析：13.设 f
11、(x)可导，且有 f(x)+xf(x 一 1)=4，又 0 1 f(xt)dx+ 0 x f(t 一 1)dt=x 3 +x 2 +2x，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 1 f(xt)dt )解析：14.设 f(x)=acosx+bsinx在 x=一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)为偶函数可知，f 2 (x)为偶函数于是有 )解析：15.设 (x)= 0 x f(t)g(xt)dt，其中 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这是分段函数的变限积分，在分段积分时，关键是看分段点是否在积分区间内16.设 f(x
12、)在0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 1 1 f(t)dt+(1 一 x)f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= x 1 f(t)dt，则 (x)=f(x)，(0)= 0 1 f(t)dt=A于是， 0 1 x 1 f(t)dt+(1x)f(x)dx= 0 1 (x)+(x1)(x)dx = 0 1 (x 一 1)(x)dx=(x1)(x) 0 1 =(0)=A)解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)、g(x)在一 a，a(
13、a0)上连续，g(x)为偶函数，且满足 f(x)+f(一 x)=A(A 为常数) (1)试证： a a f(x)g(x)dx=A 0 a g(x)dx； (2)计算： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) a a f(x)g(x)dx= a 0 f(x)g(x)dx+ 0 a f(x)g(x)dx， 又 f(x)g(x)dx 0 a f(一 t)g(一 t)dt，所以， a a f(x)g(x)dx= 0 a f(一 t)g(一 t)dt+ 0 a f(x)g(x)dx = 0 a f(x)g(x)dx+ 0 a f(x)g(x)dx = 0 a f(x)+f(x)g(x)dx =
14、A 0 a g(x)dx， 故 a a f(x)g(x)dx=A 0 a g(x)dx (2)在积分 sinxarctane x dx 中，f(x)=arctane x ，g(x)=sinx因为 g(一 x)= g(x)，由 f(x)+f(一 x)=(arctane x +arctane x )= =0， 可知 f(x)+f(一 x)=arctane x +arctane x =c(常数)， 即 arctane x +arctane x =arctane 0 +arctane 0 = ， 所以，f(x)，g(x)满足已证结论的条件，故 )解析：解析：先拆分，经变量替换转化为同一区间上的积分后再
15、合并20.求 2 2 min(2，x 2 )dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在一 1，1上连续，f(0)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：所给含参变量的积分不易计算，先将积分拆分，然后由积分中值定理将 f(x)提到积分号外再计算22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：将待求的广义积分转化为已知的广义积分24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：25.设 f(x)在 （分数：2.00）_正确答案：(正
16、确答案： )解析：解析：要证 (1 一 x 2 )f(x)dx0，即证 (1+x)(1 一 x)f(x)dx0只要构造一个非负的辅助函数即可被积函数不能保证非负性，但将 1 换为 和 a 可得非负函数(因为 f(x)0) 26.设 f(x)在0，+)上连续且单调增加，试证：对任意的 a、b0，恒有 a a xf(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 F(x)=x 0 x f(t)dt，则 F(x)= 0 x f(t)dt+xf(x)于是 F(b)一F(a)= a b F(x)dx= a b 0 x f(t)dt+xf(x)dx a b xf(x)+xf(x)dx=2
17、a b xf(x)dx， 即 a b xf(x)dx )解析：解析：待证结论的右边 b 0 b f(x)dx 一 a 0 a f(x)dx 可看作是函数 F(x)=x 0 a f(t)dx 在a、b 两点函数的差，所以可考虑用积分基本公式进行放缩27.设f(x)M，x0，1，且 f(0)=f(1)=0，试证： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 1 f(x)dx= 0 1 f(x)d(xc)=(xc)f(x) 0 1 一 0 1 (xc)f(x)dx =一 0 1 (xc)f(x)dx， 所以 0 1 f(x)dx 0 1 (xc)f(x)dx 0 1 (
18、xc)f(x)dx M 0 1 xcdx=M 0 c (cx)dx+ c 1 (xc)dx )解析：解析：要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小，用分部积分法建立 f(x)与 f(x)定积分的关系式，然后再放缩由 f(0)=f(1)=0 可知，分部积分应注意应用小技巧 dx=d(xc)，c0，128.设 f(x)在a，b上有连续的二阶导数，并且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0，试证：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由拉格朗日中值定理 f(x 0 )一 f(a)=(x 0 一 a)f( 1 )， 1 (a，x 0 )， f(b)一 f(x 0 )一(b
19、一 x 0 )f( 2 )， 2 (x 0 ，b) )解析：解析：这是广义积分不等式的证明问题，要分广义积分发散和收敛两种情况证明29.已知 f(x)连续，且 x 0 2x f(t)dt+2 x 0 tf(2t)dt=2x 3 (x 一 1)，求 f(x)在0，2上的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对已知等式两边分别求导： 左边=(x 0 2x f(t)dt+2 x 0 tf(2t)dt)= 0 2x f(t)dt+2xf(2x)2xf(2x) = 0 2x f(t)dt， 右边=2x 3 (x 一 1)=8x 3 一 6x 2 ， 由题设有 0 2x f(t)dt=8
20、x 3 一 6x 2 两边再对 x 求导得 2f(2x)=24x 2 一 12x 即 f(2x)=6x(2x 一 1)=32x(2x 一1)令 u=2x，得 f(u)=3u(u 一 1)，即 f(x)=3x(x 一 1) 再求 f(x)在0，2上的最值 令 f(x)=6x 一3=0，得 x= 比较 )解析：解析：对变限积分求导，可得 f(x)的解析式，然后求最值30.设 f(x)在1，+)上连续，且 f(x)0，求 (x)= 1 x ( +lnt)f(t)dt(x1)的最小值，其中 1 2 f(x)dx=a， 1 2 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)0，得 1 x f(t)dt0(因为 x1) 令 (x)=0，得 x=2 又当 1x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0所以，x=2 是 (x)的极小值点， 又驻点唯一，故 x=2 是 (x)的最小值点，且最小值为 (2)=(1+ln2) 1 2 f(x)dx 一 1 2 ( )解析：31.设 y=y(x)由方程 e x + 0 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边对 x 求导得 )解析：
