1、考研数学三（微积分）-试卷 9 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.累次积分 （分数：2.00）A.B.C. 0 1 dx 0 1 f(x，y)dyD.3.设 D=(x，y)|0x，0y，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连续，则
2、（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 z=(x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_13.设 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_14.设函数 f(x，y，z)一阶
3、连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.设 u=U(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_17.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_18.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_19.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y
4、 2 25 上的最值（分数：2.00）_20.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 P 1 ，P 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =24 一 02p 1 ，q 2 =10 一 005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大？最大利润为多少？（分数：2.00）_21.设二元函数 f(x，y)=|x 一 y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_22.已知二元函数
5、 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，)，若 （分数：2.00）_23.计算 0 1 dx x2 1 (x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_24.已知 设 D 为由 x=0、y 一 0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_25.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_26.计算二重积分 （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.设 f(x，y)= 且 D:x 2 +y 2 2x，求 （分数：2.00）_30.计算 （分数：2.00）_31.计算 （分数：2.00）_32.
6、计算 其中 D 由 y=一 x，y= （分数：2.00）_33.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 0 (m/s)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 /m 2 )，在垂直方向的比例系数为 ky(kgs 2 /m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 9 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2
7、.00）_解析：2.累次积分 （分数：2.00）A.B.C. 0 1 dx 0 1 f(x，y)dyD. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y3.设 D=(x，y)|0x，0y，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，y)|0x，0yx， 4.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：由二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 xf(x 2 一 1)）解析：解析： 6.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）填空项 1:_
8、（正确答案：正确答案：2）解析：解析：7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r 2 cos(+)）解析：解析：8.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：9.设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 ）解析：解析：10.设 D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 D 1 =(x，y)|一x+，0y
9、1)上，f(y)=y； 在 D 2 :0x+y1，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)|一 yx1 一 y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 z=(x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k
10、f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=tx，=ty，=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)，两边对 t 求导得 )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 u=U(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 )解析：17.设函数 z=f(u)
11、，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 方程 u=(u)+ y x P(t)dt 两边对 x 及y 求偏导，得 )解析：18.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 4x 2 +y 2 25 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0)
12、 当 4x 2 +y 2 =25 时，令 F=x 2 +12xy+2y 2 +(4x 2 +y 2 一 25)， 因为 z(0，0)=0， 所以目标函数的最大和最小值分别为 106 )解析：20.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 P 1 ，P 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =24 一 02p 1 ，q 2 =10 一 005p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大？最大利润为多少？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：p 1 =120 一 5q 1 ，P 2 =
13、200 一 20q 2 ，收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 ， 总利润函数为 L=R 一 C=(120 一 5q 1 )q 1 +(200 一 20q 2 )q 2 一35+40(q 1 +q 2 )， 由 )解析：21.设二元函数 f(x，y)=|x 一 y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f x “ (0，0)，f y “ (0，0)存在 )解析：22.已知二元函数 f(x，y)满足
14、 且 f(x，y)=g(u，)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 0 1 dx x2 1 (x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.已知 设 D 为由 x=0、y 一 0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)=0；当 0t1 时， 当 1t2 时， )解析：25.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.计算
15、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D:(x-1) 2 +（y-1） 2 1， 则 (x+y 2 )dxdy= 0 2 dt 0 1 (1+rcost+1+2rsin2+r 1 2 sin 1 2 t)rdr )解析：29.设 f(x，y)= 且 D:x 2 +y 2 2x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)|一 1x1，0yx 2 ，D 2 =(x，y)|一 1x1，x 2 y2
16、， )解析：31.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.计算 其中 D 由 y=一 x，y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)|0x1， )解析：33.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 0 (m/s)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 /m 2 )，在垂直方向的比例系数为 ky(kgs 2 /m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R x =k x 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y 2 ，摩擦力为 W=(mg 一 R y )，由牛顿第二定律，有 )解析：
