1、考研数学三（微积分）-试卷 8 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）和 （x）在（一，+）上有定义，f（x）为连续函数，且 f（x）0，（x）有间断点，则（ ）（分数：2.00）A.（f（x）必有间断点B.（x） 2 必有间断点C.f（x）必有间断点D.必有间断点3.设函数 f（x）= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导4.已知函数 y=y（x）在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）A.2
2、B.C.D.5.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，则下述命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f（x）在（一，+）上可导且单调增加，则对一切（一，+），都有 f“（x）0B.若 f（x）在点 x 0 处取得极值，则 f“（x 0 ）=0C.若 f“（x 0 ）=0，则（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点坐标D.若 f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）0，则 x 0 一定不是 f（x）的极值点6.设某商品的需求函数为 Q=1602P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）（分数：2.00）A
3、.100B.200C.300D.4007.设 f（x）= 0 x （e cost e cost ）dt，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）=f（x+2）B.f（x）f（x+2）C.f（x）f（x+2）D.当 x0 时，f（x）f（x+2）；当 x0 时，f（x）f（x+2）8.已知 f（x，y）= （分数：2.00）A.f x “ （0，0），f y “ （0，0）都存在B.f x “ （0，0）不存在，f y “ （0，0）存在C.f x “ （0，0）不存在，f y “ （0，0）不存在D.f x “ （0，0），f y “ （0，0）都不存在9. （分数：2.00）A.B.C.D.1
4、0.f（rcos，rsin）rdr（a0），则积分域为（ ） （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2B.x 2 +y 2 a 2 （x0）C.x 2 +y 2 axD.x 2 +y 2 ax（y0）11.设常数 0，且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 有关12.微分方程 y“一 2 y=e x +e x （0）的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.a（e x +e x ）B.ax（e x +e x ）C.x（ae x +be x ）D.x 2 （ae x +be x ）二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13. （分数：2.00）填空项 1:
5、_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16.已知f“（x 3 ）dx=x 3 +C（C 为任意常数），则 f（x）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 + e k|x| dx=1，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 z=z（x，y）由方程 z=e 2x3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 f（x，y）连续，且 f（x，y）=x+ （分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y“一 y“+ （分数：2.00）填
6、空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。（分数：2.00）_25.设函数 f（x）在0，+）上可导，f（a）=0 且 =2，证明：（）存在 a0，使得 f（a）=1；（）对（）中的 a，存在 （0，a），使得 f“（）= （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.设 z=（x 2 一 y 2 ，e xy ），其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_28.求二重积分 （分数：2.
7、00）_29.求 其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和（x+1） 2 +y 2 =1 所围成的平面区域（如图 142）。 （分数：2.00）_30.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A 0，试讨论级数 （分数：2.00）_31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_32.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 8 答案解析(总
8、分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）和 （x）在（一，+）上有定义，f（x）为连续函数，且 f（x）0，（x）有间断点，则（ ）（分数：2.00）A.（f（x）必有间断点B.（x） 2 必有间断点C.f（x）必有间断点D.必有间断点 解析：解析：取 f（x）=1，x（一，+），（x）= 3.设函数 f（x）= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：显然 f（0）=0，对于极限 是无穷小量， 为有
9、界变量，故由无穷小量的运算性质可知， 因此 f（x）在 x=0 处连续，排除 A、B。又因为4.已知函数 y=y（x）在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）A.2B.C.D. 解析：解析：因为函数 y=y（x）在任意点 X 处的增量y= =0，故由微分定义可知 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得 ln|y|=arctanx+C 1 ，即 y=Cea arctanx ，由y（0）= 得 C=，于是 y（x）=e arctanx 。因此 y（1）=e arctanx = 5.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，则下述命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f（x
10、）在（一，+）上可导且单调增加，则对一切（一，+），都有 f“（x）0B.若 f（x）在点 x 0 处取得极值，则 f“（x 0 ）=0C.若 f“（x 0 ）=0，则（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点坐标D.若 f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）0，则 x 0 一定不是 f（x）的极值点 解析：解析：若在（一，+）上 f“（x）0，则一定有 f（x）在（一，+）上单调增加，但可导函数 f（x）在（一，+）上单调增加，可能有 f“（x）0。例如 f（x）=x 3 在（一，+）上单调增加，f“（0）=0。故不选 A。 f（x）若在 x 0 处取得极值，
11、且 f“（x 0 ）存在，则有 f“（x 0 ）=0，但当 f（x）在 x 0 处取得极值，在 x 0 处不可导，就得不到 f“（x 0 ）=0，例如 f（x）=|x|在 x 0 =0 处取得极小值，它在 x 0 =0 处不可导，故不选 B。 如果 f（x）在 x 0 处二阶导数存在，且（x 0 ，f（x 0 ）是曲线的拐点坐标，则 f“（x 0 ）=0，反之不一定，例如 f（x）=x 4 在 x 0 =0 处，f“（0）=0，但f（x）在（一，+）没有拐点，故不选 C。由此选 D。6.设某商品的需求函数为 Q=1602P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1
12、，则商品的价格是（ ）（分数：2.00）A.100B.200C.300D.400 解析：解析：商品需求弹性的绝对值等于7.设 f（x）= 0 x （e cost e cost ）dt，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）=f（x+2） B.f（x）f（x+2）C.f（x）f（x+2）D.当 x0 时，f（x）f（x+2）；当 x0 时，f（x）f（x+2）解析：解析：考查 f（x+2）f（x）= x x+2 （e cost e cost ）dt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 f（x+2）f（x）= （e cost e cost ）dt=2 0 （e cost e
13、cost ）dt 8.已知 f（x，y）= （分数：2.00）A.f x “ （0，0），f y “ （0，0）都存在B.f x “ （0，0）不存在，f y “ （0，0）存在 C.f x “ （0，0）不存在，f y “ （0，0）不存在D.f x “ （0，0），f y “ （0，0）都不存在解析：解析： 9. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：结合二重积分的定义可得10.f（rcos，rsin）rdr（a0），则积分域为（ ） （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2B.x 2 +y 2 a 2 （x0）C.x 2 +y 2 ax D.x 2 +y 2 ax（y0）
14、解析：解析：由 r=acos 知 r 2 =arcos，即 x 2 +y 2 =ax（a0），故选 C。11.设常数 0，且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 有关解析：解析：取 a n = 显然满足题设条件。而此时 于是由比较判别法知，级数 12.微分方程 y“一 2 y=e x +e x （0）的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.a（e x +e x ）B.ax（e x +e x ）C.x（ae x +be x ） D.x 2 （ae x +be x ）解析：解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2 =0，其特征根为 r 1，2 =+A，所
15、以 y“ 2 y=e x 的特解为 y 1 * =axe x ，y“一 2 y=e 2 x 的特解为 y2=bxe x ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y=y 1 * +y 2 * =x（ae x +be x ），因此选 C。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：slnx 2）解析：解析：令 xt=u，则 15.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：对 f（x）
16、求导，并令 f“（x）= 2x=0，得 x=0，且当 x0 时，f“（x）0；当 x0时，f“（x）0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f（0）=0。16.已知f“（x 3 ）dx=x 3 +C（C 为任意常数），则 f（x）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对等式f“（x 3 ）dx=x 3 +C 两边求导，得 f“（x 3 ）=3x 2 。令 t=x 3 ，则f“（t）= 17.已知 + e k|x| dx=1，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知条件， 已知要求极限存在，所以 k 0于
17、是有 1=018.设函数 z=z（x，y）由方程 z=e 2x3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：偏导数法。在 z=e 2x+3z +2y 的两边分别对 z，y 求偏导，z 为 x，y 的函数。 19.设 f（x，y）连续，且 f（x，y）=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，1）解析：解析：因为 =1，则收敛半径 R=1。当 x=1 时，原级数为 收敛；当 x=l 时，原级数为21.微分方程 y“一 y“+ （分数：2
18、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为 2 + 。 因此齐次方程的通解为 y= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=karctanxx，则 f（0）=0，且 当 k1 时，f“（x）0，f（x）在（一，+）单调递减，故此时 f（x）的图象与 x 轴只有一个交点，也
19、即方程karctanxx=0 只有一个实根。当 k=1 时，在（一，0）和（0，+）上都有 f“（x）0，所以 f（x）在（一，0）和（0，+）上是严格单调递减的，又 f（0）=0，故 f（x）的图象在（一，0）和（0，+）与 x 轴均无交点。 )解析：25.设函数 f（x）在0，+）上可导，f（a）=0 且 =2，证明：（）存在 a0，使得 f（a）=1；（）对（）中的 a，存在 （0，a），使得 f“（）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 F（x）=f（x）1，x0。 因为 （0，+），使得 F（a）=0，即 f（A）=1。 （）函数在0，a上连续，在（0，a）内可导，由
20、拉格朗日中值定理，存在（0，a）使得 )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法。 )解析：27.设 z=（x 2 一 y 2 ，e xy ），其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为由已知条件可得 )解析：28.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D 1 和 D 2 +D 3 （如图 1415） )解析：29.求 其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和（x+1） 2 +y 2 =1 所围成的平面区域（如图 142）。 （分数：2.00）_正确答案：(正
21、确答案：令 D 1 =（x，y）|x 2 +y 2 4，D 2 =（x，y）|（x+1） 2 +y 2 1，（如图 1421 所示） )解析：30.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A 0，试讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =A，且在 x=0 处 f（x）连续，有 由于 f（x）在 x=0 的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时 f“（x）0，由拉格朗日中值定理，有 )解析：31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设曲线 L 的方程为 y=f（x），则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 =x（ax+C）=ax 2 +Cx， 又 f（1）=0，所以 C=a 故曲线 L 的方程为 y=ax 2 ax（x0） （）L 与直线 y=ax（a0）所围成的平面图形如图 151 所示。 所以 D= 0 2 ax 一（ax 2 ax）dx =a 0 x （2x 一 x 2 ）dx= )解析：
