1、考研数学三(微积分)-试卷 6 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列各式中正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设对任意的 x,总有 (x)f(x)g(x),且 g(x)(x)=0,则 (分数:2.00)A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在4.设 f(x)在a,b可导,f(a)= (分数:2.00)A.f + “ (0)=0B.f + “ (a)0C.f + “ (A)0D.f + “ (a)05.设
2、f(x)在(1,1+)内存在导数,f“(x)严格单调减少,且 f(1)=f“(1)=1,则( )(分数:2.00)A.在(1,1)和(1,1+内均有 f(x)xB.在(1,1)和(1,1+内均有 f(x)xC.在(1,1)有 f(x)x,在(1,1+)内均有 f(x)xD.在(1,1)有 f(x)x,在(1,1+)内均有 f(x)x6.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 f(0)=0, (分数:2.00)A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值7.若 f(x)的导函数是 sinx,则 f(x)有一个原函数为( )(分数:2.00)A.1+sinxB.1sinx
3、C.1+cosxD.1cosx8.方程 (分数:2.00)A.0B.1C.2D.39.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数大于零B.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数等于零C.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数小于零D.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数不存在10.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy 为( )(分数:2.00)A. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dxB. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dxC. 0
4、 e dy 0 lnx dyf(x,y)dxD. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dx11.已知级数 a n 收敛,则下列级数中必收敛的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.12.设幂级数 的收敛半径为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.13.具有特解 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(分数:2.00)A.y“y“y“+y=0B.y“+y“y“y=0C.y“6y“+11y“6y=0D.y“2y“y“+2y=0二、填空题(总题数:8,分数:16.00)14.数列 x n = (分数:2.00)填空项 1:_
5、15.已知 y=lnlnlnx,则 y“= 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.设 f(x)在 x=0 处连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_17.设 a0,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_18.设二元函数 z=xe x+y 1 +(x+1)ln(1+y),则出| (1,0) = 1。(分数:2.00)填空项 1:_19.交换积分次序 1 0 dy 2 1y (x,y)dx= 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.在 x=1 处的泰勒展开式为 1。 (分数:2.00)填空项 1:_21.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的特解为 y= 1。(分数:2.
6、00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.求函数 (分数:2.00)_24.设函数 f(x)在(一,+)上有定义,在区间0,2上,f(x)=x(x 2 4),若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2),其中 k 为常数。 ()写出 f(x)在2,0)上的表达式; ()问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导。(分数:2.00)_25.设 (分数:2.00)_26.求不定积分 (分数:2.00)_27.设曲线 y=ax 2 (x0,常数 a0)与曲线 y=1x 2 交于点 A,过坐标原点
7、 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D,求: ()D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); ()a 的值,使 V(a)为最大。(分数:2.00)_28.设 y=y(x),z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_29.已知 (分数:2.00)_30. (分数:2.00)_31.()验证函数 y(x)= (x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x ; ()求幂级数y(x)= (分数:2.00)_32.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程
8、(1x 2 )y“xy“+y=0,并求其满足 y| x=0 =1,y“| x=0 =2 的特解。(分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 6 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列各式中正确的是( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由重要极限结论 =e,可立即排除 B、D。 对于 A、C 选项,只要验算其中之一即可。 对于 C 选项,因 3.设对任意的 x,总有 (x)f(x)g(x),且 g(x)(x)=0,则 (分数
9、:2.00)A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在 解析:解析:取 (x)=f(x)=g(x)=x,显然有 (x)f(x)g(x),且 g(x)(x)=0,但 g(x)一 (x)=0,但4.设 f(x)在a,b可导,f(a)= (分数:2.00)A.f + “ (0)=0B.f + “ (a)0C.f + “ (A)0D.f + “ (a)0 解析:解析:由题设条件 f + “ (a)= 5.设 f(x)在(1,1+)内存在导数,f“(x)严格单调减少,且 f(1)=f“(1)=1,则( )(分数:2.00)A.在(1,1)和(1,1+内均有 f(x)x B.在(1,
10、1)和(1,1+内均有 f(x)xC.在(1,1)有 f(x)x,在(1,1+)内均有 f(x)xD.在(1,1)有 f(x)x,在(1,1+)内均有 f(x)x解析:解析:f“(x)在(1,1+)上严格单调减少,则 f(x)在(1,1+)是凸的,因此在此区间上,y=f(x)在点(1,1)处的切线为 yl=f“(1)(x1),即 y=x 在此曲线的上方(除切点外)。因此 f(x)x(x(1,1+),x1)。6.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且 f(0)=0, (分数:2.00)A.不可导B.可导且 f“(0)0C.取得极大值D.取得极小值 解析:解析:因当 x0 时,1cosx
11、,故极限条件等价于 7.若 f(x)的导函数是 sinx,则 f(x)有一个原函数为( )(分数:2.00)A.1+sinxB.1sinx C.1+cosxD.1cosx解析:解析:由 f“(x)=sinx,得 f(x)=f“(x)dx=sinxdx=cosx+C 1 , 所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C 1 )dx=sinx+C 1 x+C 2 , 其中 C 1 ,C 2 为任意常数。令 C 1 =0,C 2 =1 得 F(x)=1sinx。故选 B。8.方程 (分数:2.00)A.0B.1 C.2D.3解析:解析:设 F(x)= 0 x 则 F(x)在(
12、一,+)内连续,又 F(0)= ,由零点定理得 F(x)=0 至少有一个根。又易知 且当 x(一,+)时, 1(等号仅当 x=0 成立),又 1,1sinx1,所以有1 9.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数大于零B.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数等于零 C.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数小于零D.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数不存在解析:解析:因可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,故有 f x “ (x 0 ,y 0
13、)=0,f y “ (x 0 ,y 0 )=0。又由 f“(x 0 ,y 0 ) 10.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy 为( )(分数:2.00)A. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dxB. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dxC. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dxD. 0 e dy 0 lnx dyf(x,y)dx 解析:解析:交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f(x,y)dy= 0 1 dy ey e f(x,y)dx。11.已知级数 a n 收敛,则下列级数中必收敛的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:
14、解析:由于 (a n +a n+k )= a n 去掉了前 k 项,因此也收敛,故 12.设幂级数 的收敛半径为( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:设极限 都存在,则由题设条件可知13.具有特解 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(分数:2.00)A.y“y“y“+y=0B.y“+y“y“y=0 C.y“6y“+11y“6y=0D.y“2y“y“+2y=0解析:解析:由 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知,r=1,1,1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方
15、程的三个根,则其特征方程为(r1)(r+1) 2 =0,即 r 3 +r 2 r1=0,对应的微分方程为 y“+y“y“y=0,故选 B二、填空题(总题数:8,分数:16.00)14.数列 x n = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:利用等价无穷小因子代换,15.已知 y=lnlnlnx,则 y“= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:16.设 f(x)在 x=0 处连续,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:当 x0 时,arcslnxx 由极限的运算法则可得 所以曲线 f(
16、x)在点(0,f(0)处的切线方程为17.设 a0,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由题干可知,原式可化为18.设二元函数 z=xe x+y 1 +(x+1)ln(1+y),则出| (1,0) = 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2edx+(e+2)dy)解析:解析:由已知 19.交换积分次序 1 0 dy 2 1y (x,y)dx= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 1 2 dx 0 1x f(x,y)dy)解析:解析:由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 1411): 1y
17、0,1yx2。则有 1 0 dy 1y 2 f(x,y)dx= 20.在 x=1 处的泰勒展开式为 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:21.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的特解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 两边积分,得 ln |y|=ln|x|+C,代入条件 y(1)=1,得 C=0。所以 y=三、解答题(总题数:11,分数:22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.求函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:函
18、数 f(x)的间断点只有 x=0 和 x=1。 )解析:24.设函数 f(x)在(一,+)上有定义,在区间0,2上,f(x)=x(x 2 4),若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2),其中 k 为常数。 ()写出 f(x)在2,0)上的表达式; ()问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()当2x0,即 0x+2 2 时,则 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 4=kx(x+2)(x+4), 所以 f(x)在2,0)上的表达式为 f(x)=kx(x+2)(x+4)。()由题设知 f(0)=0。 令 f “ (0)=f
19、 + “ +(0),得 k= )解析:25.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 =0,所以 f(0)=0(因为 f“(x)存在,则 f(x)一定连续)。且f(x)在 x=0 处展成一阶麦克劳林公式 )解析:26.求不定积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设曲线 y=ax 2 (x0,常数 a0)与曲线 y=1x 2 交于点 A,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D,求: ()D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a); ()a 的值,使 V(a)为最大。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意知,y=a
20、x 2 与),=1x 2 的交点为 直线 OA 的方程为 ()旋转体的体积 )解析:28.设 y=y(x),z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:分别在 z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 的两端对 x 求导,得 )解析:29.已知 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 =2x+y+1,有 u(X,y)=x 2 +xy+x+(y),再结合 =x+2y+3,有 x+“(y)=x+2y+3,得 “(y)=2y+3,(y)=y 2 +3y+C
21、。 于是 u(x,y)=x 2 +xy+x+y 2 +3y+C。 又由 M(0,0)=1 得 C=1,因此 u(x,y)=x 2 +xy+y 2 +x+3y+1。 )解析:30. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:31.()验证函数 y(x)= (x+)满足微分方程 y“+y“+y=e x ; ()求幂级数y(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因为幂级数 的收敛域是(x+),因而可在(一x+)上逐项求导数,得 ()与 y“+y“+y=e x 对应的齐次微分方程为 y“+y“+y=0,其特征方程为 2 +1=0,特征根为 1,2 = 因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 y * =Ae x ,将 y * 代入方程 y“+y“+y=e x 可得 因此,方程通解为 当 x=0 时,有 )解析:32.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1x 2 )y“xy“+y=0,并求其满足 y| x=0 =1,y“| x=0 =2 的特解。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 解此微分方程,得 y=C 1 cost+C 2 sint=C 1 x+C 2 将 y| x=0 =1,y“| x=0 =2 代入,得 C 1 =2,C 2 =1。 故满足条件的特解为 y=2x+ )解析: