1、考研数学三（微积分）-试卷 6 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列各式中正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.设对任意的 x，总有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在4.设 f（x）在a，b可导，f（a）= （分数：2.00）A.f + “ （0）=0B.f + “ （a）0C.f + “ （A）0D.f + “ （a）05.设
2、f（x）在（1，1+）内存在导数，f“（x）严格单调减少，且 f（1）=f“（1）=1，则（ ）（分数：2.00）A.在（1，1）和（1，1+内均有 f（x）xB.在（1，1）和（1，1+内均有 f（x）xC.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）xD.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）x6.已知 f（x）在 x=0 的某个邻域内连续，且 f（0）=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“（0）0C.取得极大值D.取得极小值7.若 f（x）的导函数是 sinx，则 f（x）有一个原函数为（ ）（分数：2.00）A.1+sinxB.1sinx
3、C.1+cosxD.1cosx8.方程 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.设可微函数 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数大于零B.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数等于零C.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数小于零D.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数不存在10.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f（x，y）dy 为（ ）（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dxB. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dxC. 0
4、 e dy 0 lnx dyf（x，y）dxD. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dx11.已知级数 a n 收敛，则下列级数中必收敛的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.12.设幂级数 的收敛半径为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.13.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“y“y“+y=0B.y“+y“y“y=0C.y“6y“+11y“6y=0D.y“2y“y“+2y=0二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.数列 x n = （分数：2.00）填空项 1:_
5、15.已知 y=lnlnlnx，则 y“= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 f（x）在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_18.设二元函数 z=xe x+y 1 +（x+1）ln（1+y），则出| （1，0） = 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.交换积分次序 1 0 dy 2 1y （x，y）dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.在 x=1 处的泰勒展开式为 1。 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y（1）=1 的特解为 y= 1。（分数：2.
6、00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求函数 （分数：2.00）_24.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，在区间0，2上，f（x）=x（x 2 4），若对任意的 x 都满足 f（x）=kf（x+2），其中 k 为常数。 （）写出 f（x）在2，0）上的表达式； （）问 k 为何值时，f（x）在 x=0 处可导。（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.求不定积分 （分数：2.00）_27.设曲线 y=ax 2 （x0，常数 a0）与曲线 y=1x 2 交于点 A，过坐标原点
7、 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求： （）D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V（a）； （）a 的值，使 V（a）为最大。（分数：2.00）_28.设 y=y（x），z=z（x）是由方程 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_29.已知 （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.（）验证函数 y（x）= （x+）满足微分方程 y“+y“+y=e x ； （）求幂级数y（x）= （分数：2.00）_32.用变量代换 x=cost（0t）化简微分方程
8、（1x 2 ）y“xy“+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2 的特解。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 6 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列各式中正确的是（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D。 对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可。 对于 C 选项，因 3.设对任意的 x，总有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，则 （分数
9、：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在 解析：解析：取 （x）=f（x）=g（x）=x，显然有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，但 g（x）一 （x）=0，但4.设 f（x）在a，b可导，f（a）= （分数：2.00）A.f + “ （0）=0B.f + “ （a）0C.f + “ （A）0D.f + “ （a）0 解析：解析：由题设条件 f + “ （a）= 5.设 f（x）在（1，1+）内存在导数，f“（x）严格单调减少，且 f（1）=f“（1）=1，则（ ）（分数：2.00）A.在（1，1）和（1，1+内均有 f（x）x B.在（1，
10、1）和（1，1+内均有 f（x）xC.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）xD.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）x解析：解析：f“（x）在（1，1+）上严格单调减少，则 f（x）在（1，1+）是凸的，因此在此区间上，y=f（x）在点（1，1）处的切线为 yl=f“（1）（x1），即 y=x 在此曲线的上方（除切点外）。因此 f（x）x（x（1，1+），x1）。6.已知 f（x）在 x=0 的某个邻域内连续，且 f（0）=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“（0）0C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析：因当 x0 时，1cosx
11、，故极限条件等价于 7.若 f（x）的导函数是 sinx，则 f（x）有一个原函数为（ ）（分数：2.00）A.1+sinxB.1sinx C.1+cosxD.1cosx解析：解析：由 f“（x）=sinx，得 f（x）=f“（x）dx=sinxdx=cosx+C 1 ， 所以 f（x）的原函数是 F（x）=f（x）dx=（一 cosx+C 1 ）dx=sinx+C 1 x+C 2 ， 其中 C 1 ，C 2 为任意常数。令 C 1 =0，C 2 =1 得 F（x）=1sinx。故选 B。8.方程 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 F（x）= 0 x 则 F（x）在（
12、一，+）内连续，又 F（0）= ，由零点定理得 F（x）=0 至少有一个根。又易知 且当 x（一，+）时， 1（等号仅当 x=0 成立），又 1，1sinx1，所以有1 9.设可微函数 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）取得极小值，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数大于零B.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数等于零 C.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数小于零D.f（x 0 ，y）在 y=y 0 处的导数不存在解析：解析：因可微函数 f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）取得极小值，故有 f x “ （x 0 ，y 0
13、）=0，f y “ （x 0 ，y 0 ）=0。又由 f“（x 0 ，y 0 ） 10.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f（x，y）dy 为（ ）（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dxB. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dxC. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dxD. 0 e dy 0 lnx dyf（x，y）dx 解析：解析：交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f（x，y）dy= 0 1 dy ey e f（x，y）dx。11.已知级数 a n 收敛，则下列级数中必收敛的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：
14、解析：由于 （a n +a n+k ）= a n 去掉了前 k 项，因此也收敛，故 12.设幂级数 的收敛半径为（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设极限 都存在，则由题设条件可知13.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）（分数：2.00）A.y“y“y“+y=0B.y“+y“y“y=0 C.y“6y“+11y“6y=0D.y“2y“y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知，r=1，1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方
15、程的三个根，则其特征方程为（r1）（r+1） 2 =0，即 r 3 +r 2 r1=0，对应的微分方程为 y“+y“y“y=0，故选 B二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.数列 x n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用等价无穷小因子代换，15.已知 y=lnlnlnx，则 y“= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 f（x）在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，arcslnxx 由极限的运算法则可得 所以曲线 f（
16、x）在点（0，f（0）处的切线方程为17.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知，原式可化为18.设二元函数 z=xe x+y 1 +（x+1）ln（1+y），则出| （1，0） = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2edx+（e+2）dy）解析：解析：由已知 19.交换积分次序 1 0 dy 2 1y （x，y）dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 2 dx 0 1x f（x，y）dy）解析：解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D（如图 1411）： 1y
17、0，1yx2。则有 1 0 dy 1y 2 f（x，y）dx= 20.在 x=1 处的泰勒展开式为 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：21.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y（1）=1 的特解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 两边积分，得 ln |y|=ln|x|+C，代入条件 y（1）=1，得 C=0。所以 y=三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函
18、数 f（x）的间断点只有 x=0 和 x=1。 )解析：24.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，在区间0，2上，f（x）=x（x 2 4），若对任意的 x 都满足 f（x）=kf（x+2），其中 k 为常数。 （）写出 f（x）在2，0）上的表达式； （）问 k 为何值时，f（x）在 x=0 处可导。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）当2x0，即 0x+2 2 时，则 f（x）=kf（x+2）=k（x+2）（x+2） 2 4=kx（x+2）（x+4）， 所以 f（x）在2，0）上的表达式为 f（x）=kx（x+2）（x+4）。（）由题设知 f（0）=0。 令 f “ （0）=f
19、 + “ +（0），得 k= )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，所以 f（0）=0（因为 f“（x）存在，则 f（x）一定连续）。且f（x）在 x=0 处展成一阶麦克劳林公式 )解析：26.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设曲线 y=ax 2 （x0，常数 a0）与曲线 y=1x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y=ax 2 围成一平面图形 D，求： （）D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V（a）； （）a 的值，使 V（a）为最大。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，y=a
20、x 2 与），=1x 2 的交点为 直线 OA 的方程为 （）旋转体的体积 )解析：28.设 y=y（x），z=z（x）是由方程 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别在 z=xf（x+y）和 F（x，y，z）=0 的两端对 x 求导，得 )解析：29.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =2x+y+1，有 u（X，y）=x 2 +xy+x+（y），再结合 =x+2y+3，有 x+“（y）=x+2y+3，得 “（y）=2y+3，（y）=y 2 +3y+C
21、。 于是 u（x，y）=x 2 +xy+x+y 2 +3y+C。 又由 M（0，0）=1 得 C=1，因此 u（x，y）=x 2 +xy+y 2 +x+3y+1。 )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.（）验证函数 y（x）= （x+）满足微分方程 y“+y“+y=e x ； （）求幂级数y（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为幂级数 的收敛域是（x+），因而可在（一x+）上逐项求导数，得 （）与 y“+y“+y=e x 对应的齐次微分方程为 y“+y“+y=0，其特征方程为 2 +1=0，特征根为 1，2 = 因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 y * =Ae x ，将 y * 代入方程 y“+y“+y=e x 可得 因此，方程通解为 当 x=0 时，有 )解析：32.用变量代换 x=cost（0t）化简微分方程（1x 2 ）y“xy“+y=0，并求其满足 y| x=0 =1，y“| x=0 =2 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解此微分方程，得 y=C 1 cost+C 2 sint=C 1 x+C 2 将 y| x=0 =1，y“| x=0 =2 代入，得 C 1 =2，C 2 =1。 故满足条件的特解为 y=2x+ )解析：
