1、考研数学三（微积分）-试卷 5 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 g(x)= 0 x f(du)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. -x x tf(t)dt4.设函数 f(x)连续
2、，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt5.若由曲线 y= （分数：2.00）A.y=B.y=C.y=x+1D.y=二、填空题(总题数：13，分数：26.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)满足等式 xf“(x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.
3、设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）填空项 1:_15.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_18.y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：
4、38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 （分数：2.00）_22.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 0 1 f“ 2 (x)dx1（分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b
5、上连续可导，证明： （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_27.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_28.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_29.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转
6、一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_30.求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_31.求椭圆 （分数：2.00）_32.设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_33.证明： （分数：2.00）_34.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_35.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1
7、及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1 一 t)x 2 )tf(x 1 )+(1 一 t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_36.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_37.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 5 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
8、目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 g(x)= 0 x f(du)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析：因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(O，2)内连续，选 C3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 0 f(t)dt x 0 f(t)dtD. -x x tf(t)dt 解析：解析：设 (x)= -x x tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt， (x+T)=2
9、 0 x+T tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt+2 x x+T tf(t)dt(c)，选 D。4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)一 f(-t)为偶函数，所以 0 x tf(t)一 f(-t)dt 为奇函数，A 不对；因为f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，C 不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以 D 不对；令 F(
10、x)= 0 x tf(t)+f(-t)dt，F(-x)= 0 -x tf(t)+f(-t)-dt= 0 x (一 u)f(u)+f(-u)(一 du)=F(x)，选 B5.若由曲线 y= （分数：2.00）A.y= B.y=C.y=x+1D.y=解析：解析：二、填空题(总题数：13，分数：26.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：4-）解析：解析：10.设 f(x)满足等式 xf“(x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：13.设 f(x)= 0 x e cost dt，求 0 f(x)cosxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1 -e）解析：解析： 0 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)s
12、inx 0 一 0 f“(x)sinxdx =一 0 e cosx “sinxdx=e cosx 0 =e -1 一 e14.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：16.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：17.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.y=
13、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 f“(x)在0，1上连续且f“(x)M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f“()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以f(x)=f“()xMx，x0，a， 从而 0 a f(x)dx 0 a f(x)dx
14、0 a Mxdx= )解析：22.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 0 1 f“ 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)一 f(0)= 0 1 f“(x)dx， 得 1 2 =1=( 0 1 f“(x)dx) 2 0 1 1 2 dx 0 1 f“ 2 (x)dx= 0 1 f“ 2 (x)dx，即 0 1 f“ 2 (x)dx1)解析：23.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)= a
15、x f“(t)dt，由柯西不等式得 f(x)=( a x f“(f)dt) 2 a x 1 2 dt a x f“ 2 (t)dt(x 一 a) a b f“ 2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (xa)dx a b f“ 2 (x)dx= )解析：24.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c)= f(x) 根据积分中值定理， a
16、 b f(x)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ c f“(x)dx，取绝对值得 f(c)f()+ c f“(x)dxf()+ a b f“(x)dx，即 )解析：26.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(
17、t)=Int(t0)，g“(t)= )解析：29.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) )解析：30.求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为
18、偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积)解析：31.求椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积)解析：32.设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 设对任意的 M(x，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M(x 0 ，y 0 ，z)，T(0，0，z)，由MT=M 0 T，得 x 2
19、+y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， S：x 2 +y 2 =(1 一 z) 2 +z 2 ，即 S：x 2 +y 2 =2z 2 一 2z+1 (2)对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 一 2z+1) 于是 V= 0 1 A(z)dz= )解析：33.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f“(x)=(xx 2 )sin 2n x=0 得 x=1
20、，x=k(k=1，2，)， 当0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f“(x)0)， 于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx， 所以当 x0，1时，(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n =x 2n+1 一 x 2n+2 ， 于是 f(x)f(1)=l(xx 2 )sin 2n xdx )解析：35.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1 一 t)x 2 )tf(x 1 )+(1 一 t)f(x 2 ) 证明
21、： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a b f(x)dx=(b 一 a) 0 1 fta+(1 一 tb)dt )解析：36.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 ) 取 x 0 = a b x(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1，于是有 a a b x(x)dx=
22、x 0 b把 x 0 = a b x(x)dx 代入 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)一 x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：37.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=x 一x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= ，对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn+1，则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n+1 f(x)dx， )解析：
