1、考研数学三(微积分)-试卷 46 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.函数 f(x)=xsinx( )(分数:2.00)A.当 x时为无穷大B.在(一,+)内有界C.在(一,+)内无界D.当 x时极限存在3.设函数 f(x)=|x 3 1|(x),其中 (x)在 x=1 处连续,则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分必要条件B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件4.设 f(x)=x
2、2 (x1)(x2),则 f“(x)的零点个数为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.35.设 y=f(x)是方程 y“2y“+4y=0 的一个解,且 f(x 0 )0,f(x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处( )(分数:2.00)A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少6.设 m,n 均是正整数,则反常积分 (分数:2.00)A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m,n 的取值都有关D.与 m,n 的取值都无关7.函数 f(x,y)在(0,0)点可微的充分条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设 f(x,y)在
3、 D:x 2 +y 2 a 2 上连续,则 (分数:2.00)A.不一定存在B.存在且等于 f(0,0)C.存在且等于 f(0,0)D.存在且等于9.设区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 4,x0,y0f(x)为 D 上的正值连续函数,a,b 为常数,则 (分数:2.00)A.abB.C.(a+b)D.10.设 a 是常数,则级数 (分数:2.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 的取值有关11.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解,则方程的通解为( )(分数:2.00)A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y
4、=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=Cy 1 (x)y 2 (x)二、填空题(总题数:11,分数:22.00)12. (分数:2.00)填空项 1:_13. (分数:2.00)填空项 1:_14.设 y=y(x)由方程 x= 1 yx sln 2 (分数:2.00)填空项 1:_15.函数 f(x)=|4x 3 18x 2 +27 在区间0,2上的最小值为 1,最大值为 2。(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_16. (分数:2.00)填空项 1:_17.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_18.设 其中函数 f(u)可微,则 (分数:2.00)填空项 1
5、:_19.积分 0 2 dx x 2 e y2 = 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.设幂级数 a n x n 的收敛半径为 3,则幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_21.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_22.二阶常系数非齐次线性方程 y“4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_24.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续,且有 求 f(1)及 (分数:2.00)_25.设函数 f(x)在 x=x 0 处具有二阶导数
6、,且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0,证明当 f“(x 0 )0,f(x)在 x=x 0 处取得极小值。(分数:2.00)_26.设 f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a,b)使 (分数:2.00)_27.设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得 (分数:2.00)_28.设函数 u=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式 =0,确定 a,b 的值,使等式通过变换=x+ay,=x+by 可化简为 (分数:2.00)_29.计算二重积分 (分数:2.00)_30.已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数,且 f(1
7、,y)=0,f(x,1)=0, 。其中 D=(x,y)|0x1,0y1,计算二重积分 I= (分数:2.00)_31.求幂级数 (分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 46 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.函数 f(x)=xsinx( )(分数:2.00)A.当 x时为无穷大B.在(一,+)内有界C.在(一,+)内无界 D.当 x时极限存在解析:解析:令 x n =2n+ ,f(y n )=2n+,则 f(x n )=2n+ f(y
8、n )=0。因为 f(x n )=+, 3.设函数 f(x)=|x 3 1|(x),其中 (x)在 x=1 处连续,则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分必要条件 B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件解析:解析:由于 4.设 f(x)=x 2 (x1)(x2),则 f“(x)的零点个数为( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.3 解析:解析:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,由罗尔定理知至少有 1 (0,1), 2 (1,2)使 f“( 1 )=f“( 2 )=0,所以 f“(x)至少有两个零点。又 f“(x)中
9、含有因子 x,故 x=0 也是“(x)的零点,故选 D。5.设 y=f(x)是方程 y“2y“+4y=0 的一个解,且 f(x 0 )0,f(x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处( )(分数:2.00)A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析:解析:由 f“(x 0 )=0 知,x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x 0 代入方程,得 y“(x 0 )2y“(x 0 )+4y(x 0 )=0。 由于 y“(x 0 )=f“(x 0 )=0,y“(x 0 )=f“(x 0 ),y(x 0 )=f(x 0 )0,因此有 f “(x 0 )=
10、4f(x 0 )0,由极值的第二判定定理知,f(x)在点 x 0 处取得极大值,故选 A。6.设 m,n 均是正整数,则反常积分 (分数:2.00)A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m,n 的取值都有关D.与 m,n 的取值都无关 解析:解析:显然 x=0,x=1 是两个瑕点,有 对于 的瑕点 x=0,当 x0 + 时 7.函数 f(x,y)在(0,0)点可微的充分条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由 8.设 f(x,y)在 D:x 2 +y 2 a 2 上连续,则 (分数:2.00)A.不一定存在B.存在且等于 f(0,0)C.存在且等于 f
11、(0,0) D.存在且等于解析:解析:由积分中值定理知9.设区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 4,x0,y0f(x)为 D 上的正值连续函数,a,b 为常数,则 (分数:2.00)A.abB.C.(a+b)D. 解析:解析:由根据轮换对称性可得10.设 a 是常数,则级数 (分数:2.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.敛散性与 a 的取值有关解析:解析:由于 发散,则11.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解,则方程的通解为( )(分数:2.00)A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C
12、2 y 2 (x)D.y=Cy 1 (x)y 2 (x) 解析:解析:由于 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解,则 y 1 (x)y 2 (x)为该方程的一个非零解,则 y=Cy 1 (x)y 2 (x)为该方程的解。二、填空题(总题数:11,分数:22.00)12. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:13. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:先考查 (x)的可导性并进行求导。 (x)在 x=0 处的左导数为 (x)在 x=0 处的右导数为14.设 y=y(x)由方程 x=
13、1 yx sln 2 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:将 x=0 代入方程 x= 1 yx sin 2 可得 y=1,即 y(0)=1。 在方程两边对 x 求导,得 15.函数 f(x)=|4x 3 18x 2 +27 在区间0,2上的最小值为 1,最大值为 2。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)填空项 1:_ (正确答案:27)解析:解析:令 (x)=4x 3 l8x 2 +27,则 16. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:令 I n =exsinn,xdx=e x sinnx+n ex
14、cosnxdx =一 e x sinnxne x cosnxn 2 I n 。 所以 17.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由体积公式18.设 其中函数 f(u)可微,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:19.积分 0 2 dx x 2 e y2 = 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:如图 1 一 414 积分区域,则 0 2 dx x 2 e y2 dy= 0 2 dy 0 y e y2 dx= 0 2 ye y2 dy 20.设幂级数 a n x n 的收敛
15、半径为 3,则幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(2,4)解析:解析:根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后,得 na n x n1 ,其收敛半径不变,因此有 21.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:令 u= 则原方程变为22.二阶常系数非齐次线性方程 y“4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ,C 1 ,C 2 为任意常数)解析:解析:特征方程为 r 2 4r+3=0,解得 r 1 =1,r 2 =
16、3。 则对应齐次线性微分方程 y“4y“+3y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 。 设非齐次线性微分方程 y“4y“+3y=2e 2x 的特解为 y * =ke 2x ,代入非齐次方程可得 k=2。 故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ,C 1 ,C 2 为任意常数。三、解答题(总题数:9,分数:18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续,且有 求 f(1)及 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知条件得 f(x+1)+1+3sin 2 x
17、=0, 因此有 f(x)+1)+3sin 2 x=f(1)+0=0,故 f(1)=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0,现利用等价无穷小替换:当 x0 时, ln1+f(x+1)+3sin 2 xf(x+1)+3sin 2 x, )解析:25.设函数 f(x)在 x=x 0 处具有二阶导数,且 f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0,证明当 f“(x 0 )0,f(x)在 x=x 0 处取得极小值。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设 f“(x 0 )0,且由导数的定义可知 则对于 x 0 的去心邻域(x 0 一 ,x 0 )(x 0 ,x 0
18、 +)(0),有 )解析:26.设 f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点 (a,b)使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 z=x 0 处|f(x)|最大,则有 f“(x 0 )=0。 由 f(A)=0,f(b)=0 有 0=f(A)=f(x 0 )+f“(x 0 )(ax 0 )+ (ax 0 ) 2 , 当且仅当 x 0 = 时,不等式中的等号成立。 故存在 使得 )解析:27.设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:等式右端 0 a f(x)dx= 0 a f(x)d(x
19、一 a) =(xa)f(x)| 0 a 一 0 a (xa)f“(x)dx =af(0)一 0 a (xa)f“(x)dx 因为 f“(x)连续,xa0(x0,a),故由积分中值定理知,至少存在一点 0,a,使得 0 a (x 一 a)f“(x)dx=f“() 0 a (x 一 a)dx= 于是 0 a f(x)dx=af(0)+ )解析:28.设函数 u=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式 =0,确定 a,b 的值,使等式通过变换=x+ay,=x+by 可化简为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据已知 将相关表达式分别代入等式,可得 根据 10ab+12(a+b)+80,
20、舍去 因此可知 a=2,b= )解析:29.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数,且 f(1,y)=0,f(x,1)=0, 。其中 D=(x,y)|0x1,0y1,计算二重积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将二重积分 转化为累次积分可得 首先考虑 0 1 xyf xy “ (x,y)dx,注意这里把变量 y 看作常数,故有 0 1 xyf xy “ (x,y)dx=y 0 1 xdf xy “ (x,y) = 0 1 xyf y “ (x,y)| 0 1 一 0 1 yf y “ (x,y) dx
21、=yf y “ (1,y) 0 1 yf y “ (x,y)dx 由f(1,y)=f(x,1)=0 易知,f y “ (1,y)=,f y “ (x,1)=0。所以 0 1 xyf xy “ (x,y)dx=一 yf y “ (x,y)dx 因此 xyf xy “ (x,y)dxdy= 0 1 dy 0 1 xyf xy “ (x,y)dx= 0 1 dy 0 1 yf y “ (x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得, 0 1 dy 0 1 yfy(x,y)dx= 0 1 dx 0 1 yf y “ (x,y)dy 再考虑积分 0 1 yf y “ (x,y)dy,注意这里把变量 x 看作常数,故有 0 1 yf y “ (x,y)dy= 0 1 ydf(x,y) =yf(x,y) | 0 1 一 0 1 f(x,y)dy = 0 1 f(x,y)dy, )解析:31.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 =1,所以|x1|1,即 0x2,当 x=0 和 x=2 时幂级数变为 均发散,故原级数的收敛域为(0,2)。 )解析: