1、考研数学三（微积分）-试卷 46 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f（x）=xsinx（ ）（分数：2.00）A.当 x时为无穷大B.在（一，+）内有界C.在（一，+）内无界D.当 x时极限存在3.设函数 f（x）=|x 3 1|（x），其中 （x）在 x=1 处连续，则 （1）=0 是 f（x）在 x=1 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件4.设 f（x）=x
2、2 （x1）（x2），则 f“（x）的零点个数为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.35.设 y=f（x）是方程 y“2y“+4y=0 的一个解，且 f（x 0 ）0，f（x 0 ）=0，则函数 f（x）在点 x 0 处（ ）（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少6.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关7.函数 f（x，y）在（0，0）点可微的充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f（x，y）在
3、 D:x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在B.存在且等于 f（0，0）C.存在且等于 f（0，0）D.存在且等于9.设区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 4，x0，y0f（x）为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.（a+b）D.10.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 的取值有关11.已知 y 1 （x）和 y 2 （x）是方程 y“+p（x）y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=Cy 1 （x）B.y=Cy 2 （x）C.y
4、=C 1 y 1 （x）+C 2 y 2 （x）D.y=Cy 1 （x）y 2 （x）二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=y（x）由方程 x= 1 yx sln 2 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 f（x）=|4x 3 18x 2 +27 在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 其中函数 f（u）可微，则 （分数：2.00）填空项 1
5、:_19.积分 0 2 dx x 2 e y2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设幂级数 a n x n 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_22.二阶常系数非齐次线性方程 y“4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有 求 f（1）及 （分数：2.00）_25.设函数 f（x）在 x=x 0 处具有二阶导数
6、，且 f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）0，证明当 f“（x 0 ）0，f（x）在 x=x 0 处取得极小值。（分数：2.00）_26.设 f（x）在a，b上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点 （a，b）使 （分数：2.00）_27.设 f（x）在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_28.设函数 u=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式 =0，确定 a，b 的值，使等式通过变换=x+ay，=x+by 可化简为 （分数：2.00）_29.计算二重积分 （分数：2.00）_30.已知函数 f（x，y）具有二阶连续偏导数，且 f（1
7、，y）=0，f（x，1）=0， 。其中 D=（x，y）|0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 46 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f（x）=xsinx（ ）（分数：2.00）A.当 x时为无穷大B.在（一，+）内有界C.在（一，+）内无界 D.当 x时极限存在解析：解析：令 x n =2n+ ，f（y n ）=2n+，则 f（x n ）=2n+ f（y
8、n ）=0。因为 f（x n ）=+， 3.设函数 f（x）=|x 3 1|（x），其中 （x）在 x=1 处连续，则 （1）=0 是 f（x）在 x=1 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件 B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：由于 4.设 f（x）=x 2 （x1）（x2），则 f“（x）的零点个数为（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：因为 f（0）=f（1）=f（2）=0，由罗尔定理知至少有 1 （0，1）， 2 （1，2）使 f“（ 1 ）=f“（ 2 ）=0，所以 f“（x）至少有两个零点。又 f“（x）中
9、含有因子 x，故 x=0 也是“（x）的零点，故选 D。5.设 y=f（x）是方程 y“2y“+4y=0 的一个解，且 f（x 0 ）0，f（x 0 ）=0，则函数 f（x）在点 x 0 处（ ）（分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析：解析：由 f“（x 0 ）=0 知，x=x 0 是函数 y=f（x）的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 y“（x 0 ）2y“（x 0 ）+4y（x 0 ）=0。 由于 y“（x 0 ）=f“（x 0 ）=0，y“（x 0 ）=f“（x 0 ），y（x 0 ）=f（x 0 ）0，因此有 f “（x 0 ）=
10、4f（x 0 ）0，由极值的第二判定定理知，f（x）在点 x 0 处取得极大值，故选 A。6.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关 解析：解析：显然 x=0，x=1 是两个瑕点，有 对于 的瑕点 x=0，当 x0 + 时 7.函数 f（x，y）在（0，0）点可微的充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 8.设 f（x，y）在 D:x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在B.存在且等于 f（0，0）C.存在且等于 f
11、（0，0） D.存在且等于解析：解析：由积分中值定理知9.设区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 4，x0，y0f（x）为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.（a+b）D. 解析：解析：由根据轮换对称性可得10.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.敛散性与 a 的取值有关解析：解析：由于 发散，则11.已知 y 1 （x）和 y 2 （x）是方程 y“+p（x）y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=Cy 1 （x）B.y=Cy 2 （x）C.y=C 1 y 1 （x）+C
12、2 y 2 （x）D.y=Cy 1 （x）y 2 （x） 解析：解析：由于 y 1 （x）和 y 2 （x）是方程 y“+p（x）y=0 的两个不同的特解，则 y 1 （x）y 2 （x）为该方程的一个非零解，则 y=Cy 1 （x）y 2 （x）为该方程的解。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：先考查 （x）的可导性并进行求导。 （x）在 x=0 处的左导数为 （x）在 x=0 处的右导数为14.设 y=y（x）由方程 x=
13、1 yx sln 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：将 x=0 代入方程 x= 1 yx sin 2 可得 y=1，即 y（0）=1。 在方程两边对 x 求导，得 15.函数 f（x）=|4x 3 18x 2 +27 在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析：令 （x）=4x 3 l8x 2 +27，则 16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 I n =exsinn，xdx=e x sinnx+n ex
14、cosnxdx =一 e x sinnxne x cosnxn 2 I n 。 所以 17.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由体积公式18.设 其中函数 f（u）可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：19.积分 0 2 dx x 2 e y2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：如图 1 一 414 积分区域，则 0 2 dx x 2 e y2 dy= 0 2 dy 0 y e y2 dx= 0 2 ye y2 dy 20.设幂级数 a n x n 的收敛
15、半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（2，4）解析：解析：根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得 na n x n1 ，其收敛半径不变，因此有 21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 u= 则原方程变为22.二阶常系数非齐次线性方程 y“4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：特征方程为 r 2 4r+3=0，解得 r 1 =1，r 2 =
16、3。 则对应齐次线性微分方程 y“4y“+3y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 。 设非齐次线性微分方程 y“4y“+3y=2e 2x 的特解为 y * =ke 2x ，代入非齐次方程可得 k=2。 故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有 求 f（1）及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件得 f（x+1）+1+3sin 2 x
17、=0， 因此有 f（x）+1）+3sin 2 x=f（1）+0=0，故 f（1）=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f（x+1）+3sin 2 x0，现利用等价无穷小替换：当 x0 时， ln1+f（x+1）+3sin 2 xf（x+1）+3sin 2 x， )解析：25.设函数 f（x）在 x=x 0 处具有二阶导数，且 f“（x 0 ）=0，f“（x 0 ）0，证明当 f“（x 0 ）0，f（x）在 x=x 0 处取得极小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 f“（x 0 ）0，且由导数的定义可知 则对于 x 0 的去心邻域（x 0 一 ，x 0 ）（x 0 ，x 0
18、 +）（0），有 )解析：26.设 f（x）在a，b上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点 （a，b）使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 z=x 0 处|f（x）|最大，则有 f“（x 0 ）=0。 由 f（A）=0，f（b）=0 有 0=f（A）=f（x 0 ）+f“（x 0 ）（ax 0 ）+ （ax 0 ） 2 ， 当且仅当 x 0 = 时，不等式中的等号成立。 故存在 使得 )解析：27.设 f（x）在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式右端 0 a f（x）dx= 0 a f（x）d（x
19、一 a） =（xa）f（x）| 0 a 一 0 a （xa）f“（x）dx =af（0）一 0 a （xa）f“（x）dx 因为 f“（x）连续，xa0（x0，a），故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 0 a （x 一 a）f“（x）dx=f“（） 0 a （x 一 a）dx= 于是 0 a f（x）dx=af（0）+ )解析：28.设函数 u=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式 =0，确定 a，b 的值，使等式通过变换=x+ay，=x+by 可化简为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 将相关表达式分别代入等式，可得 根据 10ab+12（a+b）+80，
20、舍去 因此可知 a=2，b= )解析：29.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.已知函数 f（x，y）具有二阶连续偏导数，且 f（1，y）=0，f（x，1）=0， 。其中 D=（x，y）|0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 转化为累次积分可得 首先考虑 0 1 xyf xy “ （x，y）dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 0 1 xyf xy “ （x，y）dx=y 0 1 xdf xy “ （x，y） = 0 1 xyf y “ （x，y）| 0 1 一 0 1 yf y “ （x，y） dx
21、=yf y “ （1，y） 0 1 yf y “ （x，y）dx 由f（1，y）=f（x，1）=0 易知，f y “ （1，y）=，f y “ （x，1）=0。所以 0 1 xyf xy “ （x，y）dx=一 yf y “ （x，y）dx 因此 xyf xy “ （x，y）dxdy= 0 1 dy 0 1 xyf xy “ （x，y）dx= 0 1 dy 0 1 yf y “ （x，y）dx， 对该积分交换积分次序可得， 0 1 dy 0 1 yfy（x，y）dx= 0 1 dx 0 1 yf y “ （x，y）dy 再考虑积分 0 1 yf y “ （x，y）dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 0 1 yf y “ （x，y）dy= 0 1 ydf（x，y） =yf（x，y） | 0 1 一 0 1 f（x，y）dy = 0 1 f（x，y）dy， )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =1，所以|x1|1，即 0x2，当 x=0 和 x=2 时幂级数变为 均发散，故原级数的收敛域为（0，2）。 )解析：
