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    【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷45及答案解析.doc

    • 资源ID:1395108       资源大小:199KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷45及答案解析.doc

    1、考研数学三(微积分)-试卷 45 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)在(一,+)内有定义,且 (分数:2.00)A.x=0 必是 g(x)的第一类间断点B.x=0 必是 g(x)的第二类间断点C.x=0 必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关3.设 (分数:2.00)A.b=4dB.b=4dC.a=4cD.a=4c4.设 (分数:2.00)A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f“(x 0 )=a

    2、B.f(x)在 x=x 0 处连续,但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对5.设0,4区间上 y=f(x)的导函数的图形如图 121 所示,则 f(x)( ) (分数:2.00)A.在0,2单调上升且为凸的,在2,4单调下降且为凹的B.在0,1,3,4单调下降,在1,3单调上升,在0,2是凹的,2,4是凸的C.在0,1,3,4单调下降,在1,3单调上升,在0,2是凸的,2,4是凹的D.在0,2单调上升且为凹的,在2,4单调下降且为凸的6.设 f(x)有二阶连续导数,且 f“(0)=0, (分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x

    3、)的极小值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点7.设一元函数 f(x)有下列四条性质。f(x)在a,b连续;f(x)在a,b可积;f(x)在a,b存在原函数;f(x)在a,b可导。若用 表示可由性质 P 推出性质 Q,则有( )(分数:2.00)A.B.C.D.8.设函数 f(x,y)可微,且对任意 x,y 都有 (分数:2.00)A.x 1 x 2 ,y 1 y 2B.x 1 x 2 ,y 1 y 2C.x 1 x 2 ,y 1 y 2D.x 1 x 2 ,y 1 y 29.设函数 f(x)连续,若 F(u

    4、,)= 其中区域 D 为图 141 中阴影部分,则 (分数:2.00)A.f(u 2 )B.C.f(u)D.10.设 a n 0(n=1,2,),且 a n 收敛,常数 则级数 (分数:2.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关11.在下列微分方程中,以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)为通解的是( )(分数:2.00)A.y“+y“4y“4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“y“4y“+4y=0D.y“y“+4y“4y=0二、填空题(总题数:10,分数:20.00)12.若 f(x)= (分数:

    5、2.00)填空项 1:_13.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_14.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_15. (分数:2.00)填空项 1:_16. (分数:2.00)填空项 1:_17.设 z=z(x,y)由方程 z+e z =xy 2 所确定,则出= 1。(分数:2.00)填空项 1:_18. (分数:2.00)填空项 1:_19.若数列a n 收敛,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_20.将函数 (分数:2.00)填空项 1:_21.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 yx=| x=1

    6、 = (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.求函数 (分数:2.00)_24.设 f(x)在(一,+)内有定义,且对于任意 x 与 y 均有 f(x+),)=f(x)e y +f(y)e x ,又设 f“(0)存在且等于 a(a0),试证明对任意 x,f“(x)都存在,并求 f(x)。(分数:2.00)_25.设 eab e 2 ,证明 ln 2 b 一 ln 2 a (分数:2.00)_26.()比较 0 1 ln t| ln(1+t) n dt 与 0 1 t n |Int|

    7、dt(n=1,2,)的大小,说明理由。()记 u n = 0 1 |ln t|ln(1+t) n dt(n=1,2,),求极限 (分数:2.00)_27.在 xOy 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M(1,0),其上任意点 P(x,y)(x0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。()求 L 的方程;()当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 (分数:2.00)_28.设 z=f(x,y),x=g(y,z)+ 其中 f,g, 在其定义域内均可微,求 (分数:2.00)_29.求曲线 x 3 xy+y3=1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。(分数

    8、:2.00)_30.计算二重积分 (分数:2.00)_31.设数列a n 满足条件:a 0 =3,a 1 =1,a n2 一 n,(n1)a n =0(n2)。S(x)是幂级数 (分数:2.00)_32.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx2y“sinx+3ycosx=e x 化简,并求出原方程的通解。(分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 45 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)在(一,+)内有定义,且 (分

    9、数:2.00)A.x=0 必是 g(x)的第一类间断点B.x=0 必是 g(x)的第二类间断点C.x=0 必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关 解析:解析:因为 又 g(0)=0,所以当 a=0 时,有 此时 g(x)在点 x=0 处连续,当 a0 时,3.设 (分数:2.00)A.b=4dB.b=4dC.a=4cD.a=4c 解析:解析:当 x0 时,由佩亚诺型余项的泰勒公式可知,tanx,ln(12x)均为 x 的一阶无穷小;而1cosx,1 均为 x 的二阶无穷小,因此有 故有4.设 (分数:2.00)A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f“(

    10、x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续,但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对 解析:解析:本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左、右导数 f “ (x 0 ),f + “ (x 0 )与在 x=x 0 处的左、右极限 但不能保证 f(x)在 x 0 处可导,以及在 x=x 0 处连续和极限存在。 5.设0,4区间上 y=f(x)的导函数的图形如图 121 所示,则 f(x)( ) (分数:2.00)A.在0,2单调上升且为凸的,在2,4单调下降且为凹的B.在0,1,3,4单调下降,在1,3单调上升,在0,2是凹的,2,4是凸的 C.在0,1,3

    11、,4单调下降,在1,3单调上升,在0,2是凸的,2,4是凹的D.在0,2单调上升且为凹的,在2,4单调下降且为凸的解析:解析:当 x(0,1)或(3,4)时,f“(x)0,那么 f(x)在0,1,3,4单调下降。 当x(1,3)时 f“(x)0,那么 f(x)在1,3单调上升。 又 f“(x)在0,2单调上升,那么f(x)在0,2是凹的。f“(x)在2,4单调下降,那么 f(x)在2,4是凸的。 故选 B。6.设 f(x)有二阶连续导数,且 f“(0)=0, (分数:2.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(

    12、0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析:根据极限的保号性,由 =1 可知,存在 x=0 的某邻域 U (0),使对任意 xU (0),都有 7.设一元函数 f(x)有下列四条性质。f(x)在a,b连续;f(x)在a,b可积;f(x)在a,b存在原函数;f(x)在a,b可导。若用 表示可由性质 P 推出性质 Q,则有( )(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:这是讨论函数 f(x)在区间a,b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f(x)在a,b上可导8.设函数 f(x,y)可微,且对任意 x,y 都有 (分数:2.00)A

    13、.x 1 x 2 ,y 1 y 2B.x 1 x 2 ,y 1 y 2C.x 1 x 2 ,y 1 y 2D.x 1 x 2 ,y 1 y 2 解析:解析:由 9.设函数 f(x)连续,若 F(u,)= 其中区域 D 为图 141 中阴影部分,则 (分数:2.00)A.f(u 2 ) B.C.f(u)D.解析:解析:题设图像中所示区域用极坐标表示为 0,1ru。 因此可知 根据变限积分求导可得 10.设 a n 0(n=1,2,),且 a n 收敛,常数 则级数 (分数:2.00)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析:解析:利用比较法。因为 而由正项级数 11.在下列微分方

    14、程中,以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)为通解的是( )(分数:2.00)A.y“+y“4y“4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“y“4y“+4y=0D.y“y“+4y“4y=0 解析:解析:已知题设的微分方程的通解中含有 e x 、cos2x、sin2x,可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为 r=1,r=+2i,所以特征方程为 (r1)(r2i)(r+2i)=0,即 r 3 一 r 2 +4r4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系,可知所求微分方程为 y“一 y“+4y“4y=0。二、填空题(总

    15、题数:10,分数:20.00)12.若 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:因为 f(x)在(一,0)及(0,+)内连续,所以需要确定数 a,使 f(x)在 x=0 处连续。13.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:因为 | x=0 =f“(一 1)f“ -|_|-,而当 x1 时,f“(x)=2,因此f“(1)=f“ -|_|-=2,代入可得 14.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=x1)解析:解析:由

    16、题干可知,所求切线的斜率为 1。 由 y“=(lnx)“=15. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:16. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:17.设 z=z(x,y)由方程 z+e z =xy 2 所确定,则出= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:方程两端对 x 求偏导,18. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1sin1)解析:解析:积分区域 D 如图 1412 所示19.若数列a n 收敛,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正

    17、确答案:收敛)解析:解析:由题干知,级数 (a n+1 a n )的部分和数列为 S n =(a 2 a n )+(a 3 a 2 )+(a n+1 a n )=a n+1 a 1 , 因为数列a n 收敛,所以S n 收敛。 因此,级数 20.将函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:对已知函数从 0 到 x 求积分,有21.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 yx=| x=1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:公式法。原方程变形为 由一阶线性微分方程通解公式得三、解答题(总题数:11,分数:2

    18、2.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.求函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:函数 f(x)有间断点 x=0,x=1,x=1,且 )解析:24.设 f(x)在(一,+)内有定义,且对于任意 x 与 y 均有 f(x+),)=f(x)e y +f(y)e x ,又设 f“(0)存在且等于 a(a0),试证明对任意 x,f“(x)都存在,并求 f(x)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ,得 f(0)=0,为证明 f“(x)存在,则由导数的定义 )解析:2

    19、5.设 eab e 2 ,证明 ln 2 b 一 ln 2 a (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对函数 y=ln 2 x 在a,6上应用拉格朗日中值定理,得 当 te 时,“(t)0,所以 (t)单调减少,从而有 ()(e 2 ),即 )解析:26.()比较 0 1 ln t| ln(1+t) n dt 与 0 1 t n |Int|dt(n=1,2,)的大小,说明理由。()记 u n = 0 1 |ln t|ln(1+t) n dt(n=1,2,),求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 f(t)=In(1+t)t。 当 0t1 时,f“(t)= 一 10,故当

    20、0t1 时,f(t)f(0)=0,即当 0t1 时, ln(2+t) n t n (n=1,2,)。 又由 llnt I 0 得 0 x f|lnt|ln(1+t) n dt 0 1 t n |lnt|dt(n=1,2,)。 ()由()知,0u n = 1 x |lnt|ln(1+t) n dt 0 x t n |lnt|dt,因为 0 1 lnt| dt=一 0 x t n (lnt)dt )解析:27.在 xOy 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M(1,0),其上任意点 P(x,y)(x0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。()求 L 的方程;()当 L 与直线

    21、y=ax 所围成平面图形的面积为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()设曲线 L 的方程为 y=f(x),则由题设可得 这是一阶线性微分方程,其中 代入通解公式得 又 f(1)=0,所以 C=a。 故曲线 L 的方程为 y=ax 2 ax(x0)。()L 与直线 y=ax(a0)所围成平面图形如图 132 所示。 所以 D=ax(ax 2 ax)dx, )解析:28.设 z=f(x,y),x=g(y,z)+ 其中 f,g, 在其定义域内均可微,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 z=f(x,y),有 dz=f 1 “ dx+f 2 “ dy。 )解析:29.求曲线 x

    22、3 xy+y3=1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:构造函数 L(x,y)=x 2 +y 2 +(x 3 xy+y 3 1), 令 得唯一驻点x=1,y=1,即 M 1 (1,1)。 考虑边界上的点,M 2 (0,1),M 3 (1,0),距离函数 f(x,y)= 在三点的取值分别为 f(1,1)= ,f(0,1)=1,f(1,0)=1,因此可知最长距离为 )解析:30.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:D 是正方形区域(如图 1420)。因在 D 上被积函数分块表示为 于是要用分块积分法,用 y=x 将 D 分

    23、成两块: D=D 1 D 2 ,D 1 =Dyx,D 2 =Dyx。 则 )解析:31.设数列a n 满足条件:a 0 =3,a 1 =1,a n2 一 n,(n1)a n =0(n2)。S(x)是幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()证明:由题意得 因为由已知条件得 a n =(n+1)(n+2)a n+2 ,(n=0,1,2,0),所以 S“(x)=S(x),即 S“(x)S(x)=0。 ()S“(x)S(x)=0 为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为 2 1=0,从而 =+1,于是 S(x)=C 1 e x +C 2 e x ,由 S(0)=a 0 =3,S“(0)=a 1 =1,得 )解析:32.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx2y“sinx+3ycosx=e x 化简,并求出原方程的通解。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ycosx=u,则 y=usecx,从而 y“=u“secx+usecxtanx, y“=u“secx+2u“secxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x 代入原方程,得 u“+4u=ex。这是一个二阶常系数非齐次线性方程,解得其通解为 +C 1 cos2x+C 2 sin2x。 代回到原来函数,则有 y= )解析:


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