1、考研数学三（微积分）-试卷 44 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=一C.a=D.a=0，b=2，c=03.设 f(x)= 0 ln(1+2x) sintdt 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小4
2、.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= 0 sinx2 (1 一 cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小5.设a n )与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 D.若 a n 为无穷大，且 6.设 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b
3、07.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数8.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他9.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(
4、x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若 limf(a+h)一 f(a 一 h)=0，则 f(x)在 x=a 处连续二、填空题(总题数：23，分数：46.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.当 x0 时，x- slnxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2
5、.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20. （分数：2.00）填空项 1:_21.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_25. （分数：2.00）填空项 1:_26. （分数：2.00）填空项 1:_27.设
6、 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_28.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_29.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_30.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_31.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_32.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：2，分数：4.00)33.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_34.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/min 的速度将净水输入到第一只桶内，
7、搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 44 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=一C.a=D.a=0，b=2，c=0 解析：解析：
8、因为 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt 3.设 f(x)= 0 ln(1+2x) sintdt 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为4.设 f(x)= 0 x dt 0 t tln(1+u 2 )du，g(x)= 0 sinx2 (1 一 cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析： m=6 且 g(x)5
9、.设a n )与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：(A)不对，如 a n =2+(一 1) n ，b n =2 一(一 1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n =3，显然(a n b n 收敛；(B)、(C)都不对，如 a n =n1+(一 1) n ，b n =n1 一(一 1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n =0，显然a n b n 有界且
10、 6.设 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：因为 f(x)= 在(一，+)内连续，所以 a0，又因为7.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f“(0)0，所以 根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有8.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x
11、+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)=f“(0)=0，所以 f“(0)=2，于是9.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若 limf(a+h)一 f(a 一 h)=0，则 f(x)在 x=a 处连续解析：解析：令 显然|f(x)|=1 处处连续
12、，然而，f(x)处处间断，(A)不对； 令 显然 f(x)在x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x) 都是间断的，故(C)不对； 令 显然 f(0+h)一 f(0一 h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续， (D)不对； 若 f(x)在 x=a 处连续，则 =f(a)，又 0|f(x)|l|f(a)|f(x)一 f(a)|，根据夹逼定理，二、填空题(总题数：23，分数：46.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_
13、 （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.当 x0 时，x- slnxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
14、答案：ln2）解析：解析：19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：20. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：21.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：22.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：23.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：24.设 f(x)连续，
15、且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：25. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：26. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：27.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：28.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：29.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：因为(1+ax 2 ) ，cos 2
16、x 一 1=(cosx+1)(cosx 一 1)一 x 2 ，且(1+ax 2 ) 30.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 因为函数 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=31.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：32.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：2，分数：4.00)33.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：34.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/min 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+dt内有 dm 1 = =0，且满足初始条件 m 1 (0)=150，解得 m 1 (t)= 在时间t，t+dt内有 dm 2 = )解析：
