1、考研数学三（微积分）-试卷 43 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.3.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数4.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=
2、sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x=0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他5.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00
3、）填空项 1:_8.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1
4、:_填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_21.求极限 （分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.证明： （分数：2.00）_24.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ， n 为常数，且对一切 x有d(x)e x 一 1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.
5、设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_29.求 （分数：2.00）_30.设 （分数：2.00）_31.已知 （分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_3
6、3.确定 a，b，使得 x 一(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_34.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_35.求 （分数：2.00）_36.设 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 43 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：3.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）
7、A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f“(0)0，所以 0，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有4.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x=0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析：5.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a
8、处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 f(x)= ，显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，A 不对； 令 f(x)=显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对； 令 f(0+h)一 f(0 一 h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续，D 不对； 若 f(x)在 x=a 处连续，则 =f(a)，又0f(x)f(a)f(x)一 f(a)，根据夹逼定理，二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.设
9、 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：7.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项
10、 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，有12.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：15.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：f(0+0)=17.设 （分数：2
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 ， 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：20.求函数 y=ln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.证明： （分数：2.00
12、）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ， n 为常数，且对一切 x有d(x)e x 一 1证明：a 1 +2a 2 +na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 x n =f(x n )一 f(x n-1
13、)一 f“( n )(x n 一 x n-1 )，因为 f“(x)0，所以 x n+1 一 x n 与 x n 一 x n-1 同号，故x n 单调 )解析：27.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：28.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最
14、小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， )解析：29.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
15、析：33.确定 a，b，使得 x 一(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=x 一(a+bcosx)sinx， y“=1+b sin 2 x 一(a+bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(n+bcosx)sinxasinx+2bsin2x， y“=acosx+4bcos2x， 显然 y(0)=0，y“(0)=0， )解析：34.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，一 1，一 2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 )解析：
