1、考研数学三（微积分）-试卷 42 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时，（1+sinx） x 1 是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f（0）=0。 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “（x）在 x=0 不连续D.可导且 “（x）在 x=0 连续4.设 y=f（x）在（a，b）可微，
2、则下列结论中正确的个数是（ ） x 0 （a，b），若 f“（x 0 ）0，则 Ax0 时 dy| x=x0 与x 是同阶无穷小。 df（x）只与 x（a，b）有关。 y=f（x+Ax）f（x），则 dyy。 x时，dyy 是x 的高阶无穷小。（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 f（x）=xsmx+cosx，下列命题中正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.6.曲线 y=1x+ （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线B.仅有垂直渐近线C.只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线7.设 F（x）= x x+2 e sint dt，则 F（x）（ ）（分数：2.
3、00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数8.设 f（x，y）= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续9.设 f（x，y）与 （x，y）均为可微函数，且 y “ （x，y）0。已知（x 0 ，y 0 ）是 f（x，y）在约束条件 （x，y）=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）=0B.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）0C.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）0
4、，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）=0D.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）010.累次积分 0 cos f（rcos，rsin）rdr 可以写成（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.级数 （分数：2.00）A.仅与 取值有关B.仅与 取值有关C.与 和 的取值都有关D.与 和 的取值都无关12.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为（ ）（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x（Asinx 十 Bcosx）B.y * =x（ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx）C.y * =ax 2
5、+bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_15.设有界函数 f（x）在（c，+）内可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 f（u，）由关系式 fxg（y），y=x+g（y）确定，其中函数 g（y）可微，且 g（y）0，则（分数：2.00）填空项 1:_19.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）
6、填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.已知 y 1 =e 3x xe 2x ，y 2 =exxe 2x ，y 3 =xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设数列x n 满足 0 x 1 ，x n+1 =smx n （n=1，2，）。 （分数：2.00）_24.设 f（x）为a，a上的连续偶函数且 f（x）0，令 F（x）= a a |xt|f（t）dt。 （）证明 F
7、“（x）单调增加； （）当 x 取何值时，F（x）取最小值； （）当 F（x）的最小值为 f（a）一 a 2 1 时，求函数 f（x）。（分数：2.00）_25.假设函数 f（x）和 g（x）在a，b上存在二阶导数，并且 g“（x）0，f（a）=f（b）=g（A）=g（b）=0，试证：（）在开区间（a，b）内 g（x）0；（）在开区间（a，b）内至少存在一点，使 （分数：2.00）_26.设 f（x）= 1 x t|t| dt（x1），求曲线 y=f（x）与 x 轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_27.设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_28
8、.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_29.设二元函数 （分数：2.00）_30.设方程 x n +nx1=0，其中 n 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 x n ，并证明当 1 时，级数 （分数：2.00）_31.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 （n=1，2，）所围成区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_32.设 y=y（x）是区间（，）内过 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 42 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数
9、：2.00）_解析：2.设 x0 时，（1+sinx） x 1 是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：当 x0 时，（1+sinx） x 1ln（1+sinx）x1+1=xln（1+sinx）xsmxx 2 ， 3.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f（0）=0。 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “（x）在 x=0 不连续D.可导且 “（x）在 x=0 连续 解析：解析：因为4.设 y=f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（ ） x 0 （a，b）
10、，若 f“（x 0 ）0，则 Ax0 时 dy| x=x0 与x 是同阶无穷小。 df（x）只与 x（a，b）有关。 y=f（x+Ax）f（x），则 dyy。 x时，dyy 是x 的高阶无穷小。（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：逐一分析。 正确。因为 5.设 f（x）=xsmx+cosx，下列命题中正确的是（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：f“（x）=slnx+xcosxslnx=xcosx，因此 又 f“（x）=cosxxsinx，且 故f（0）是极小值，6.曲线 y=1x+ （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线 B.仅有垂直渐近线C.
11、只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线解析：解析：函数 y 的定义域为（一，一 3）（0，+），且只有间断点 x=3，又7.设 F（x）= x x+2 e sint dt，则 F（x）（ ）（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：由于被积函数以 2 为周期，所以 F（x）=F（0），而 F（0）= 0 2 e sint sintdt= 0 2 e sint dcost =e sint cost| 0 2 + 0 2 e sint cos 2 tdt = 0 2 e sint cos 2 tdt 0 故选A。8.设 f（x，y）= （分数：2.00）A.
12、两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微 C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续解析：解析：由偏导数定义，有9.设 f（x，y）与 （x，y）均为可微函数，且 y “ （x，y）0。已知（x 0 ，y 0 ）是 f（x，y）在约束条件 （x，y）=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）=0B.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）0C.若 f x “ （x 0 ，y 0 ）0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）=0D.若 f x “ （x
13、 0 ，y 0 ）0，则 f y “ （x 0 ，y 0 ）0 解析：解析：令 F=f（x，y）+（x，y）， 10.累次积分 0 cos f（rcos，rsin）rdr 可以写成（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由累次积分 可知，积分区域 D 为 由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 146 所示。该圆的直角坐标方程为 +y 2 = 。故用直角坐标表示区域 D 为 11.级数 （分数：2.00）A.仅与 取值有关B.仅与 取值有关C.与 和 的取值都有关 D.与 和 的取值都无关解析：解析：由于 （1）当 01 时，级数发散。 （2
14、）当 1 时，级数收敛。 （3）当 =1时，原级数为12.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为（ ）（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x（Asinx 十 Bcosx） B.y * =x（ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx）C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx解析：解析：对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2 +1=0 特征根为 =i， 对于方程 y“+y=x 2 +1=e 0 （x 2 +1），0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y 1 * =ax 2 +bx+c， 对于方程y
15、“+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y 2 * =x（Asinx+Bcosx）， 因此 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为 y * =ax 2 +bx+c+x（Asinx+Bcosx）。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 x0 时，14.设 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1+3x）e 3x）解析：解析：因为 15.设有界函数 f（x）在（c，+）内可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因
16、 f（x）在（c，+）可导，则 f（x）在（c，+）内有界，故 又因16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。18.设函数 f（u，）由关系式 fxg（y），y=x+g（y）确定，其中函数 g（y）可微，且 g（y）0，则（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 u=xg（y），v=y，则19.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
17、确答案： ）解析：解析：圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为 20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先设 a n = 时，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是 21.已知 y 1 =e 3x xe 2x ，y 2 =exxe 2x ，y 3 =xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：显然 y 1 y 3 =e 3x
18、 和 y 2 y 3 =e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y * =xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e x xe 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设数列x n 满足 0 x 1 ，x n+1 =smx n （n=1，2，）。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为 0x 1 ，则 0 x 2 =sinx 1 1。 可推得 0x n+1 =si
19、nxn1，n=1，2，则数列x n 有界。 于是 1（因当 x0 时，sinxx），则有 x n+1 x n ，可见数列x n 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在。 )解析：24.设 f（x）为a，a上的连续偶函数且 f（x）0，令 F（x）= a a |xt|f（t）dt。 （）证明 F“（x）单调增加； （）当 x 取何值时，F（x）取最小值； （）当 F（x）的最小值为 f（a）一 a 2 1 时，求函数 f（x）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）F（x）= a a |x 一 t|f（t）dt=t a x （x 一 t）f（t）dt+ x a （t 一
20、x）f（t）dt =x a x f（t）dt 一 a x tf（t）dt+ x a tf（t）dt 一 x x a f（t）dt =x a x f（t）dt 一 a x tf（t）dt 一 a x tf（t）dt+x a x f（t）dt， F“（x）= a x f（t）dt+xf（x）一 xf（x）一 xf（x）+ a x f（t）dt+xf（x） = a x f（t）dt 一 x a f（t）dt。 所以 F“（x）=2f（x）0，因此 F“（x）为单调增加的函数。 （）因为 F“（0）= a 0 f（x）dx 一 0 a f（x）dx，且 f（x）为偶函数，所以 F“（0）=0，又因为
21、F“（0）0，所以 x=0 为 F（x）的唯一极小值点，也为最小值点。 （）由 2 0 a tf（x）dt=f（A）一 a 2 1，两边求导得 2af（A）=f（A）2a， 于是 f“（x）2xf（x）=2x， 解得 f（x）=2xe 2xdx dx+Ce 2xdx = 1。 在 2 0 a tf（t）dt=f（a）一 a 2 1 中令 a=0 得 f（0）=1，则 C=2，于是 f（x）= )解析：25.假设函数 f（x）和 g（x）在a，b上存在二阶导数，并且 g“（x）0，f（a）=f（b）=g（A）=g（b）=0，试证：（）在开区间（a，b）内 g（x）0；（）在开区间（a，b）内至少
22、存在一点，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）利用反证法。假设存在 c（a，b），使得 g（c）=0，则对 g（x）在a，c和c，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1 （a，c）和 2 （c，b），使得 g “（ 1 ）=g“（ 2 ）=0 成立。 接着再对 g “（x）在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，可知存在 3 （ 1 ， 2 ），使得 g“（ 3 ）=0 成立，这与题设条件 g“（x）0 矛盾，因此在开区间（a，b）内 g（x）0。 （）构造函数 F（x）=f（x）g“（x）g（x）f“（x），由题设条件得，函数 F（x）在区间a，b上是连续的，在区间（a，b）上是可导的
23、，且满足 F（A）=F（b）=0。根据罗尔定理可知，存在点 （a，b），使得 F“（）=0。即 f（）g“（）f“（）g（）=0，因此可得 )解析：26.设 f（x）= 1 x t|t| dt（x1），求曲线 y=f（x）与 x 轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 t|t|为奇函数，可知其原函数 f（x）= 1 x |t|dt= 1 0 t|t|dt+ 0 x t|t|dt 为偶函数，因此由 f（1）=0，得 f（1）=0，即 y=f（x）与 x 轴有交点（1，0），（1，0）。又由 f“（x）=x|x|，可知 x0 时，f“（x）0，故 f（x）单调减少，从
24、而 f（x）f（1）=0 （1 x0）；当 x0 时，f“（x）=x|x|0，故 x0 时 f（x）单调增加，且 y=f（x）与 x 轴有唯一交点（1，0）。 因此 y=f（x）与 x 轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 )解析：27.设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数的求导公式，有 )解析：28.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|z |的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F（x，y，z，）=z 2 +（x 2 +9y 2 2z 2 ）+（x+3y+3z5）。
25、令 )解析：29.设二元函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 ，其中 D 1 为 D 在第一象限内的部分。 )解析：30.设方程 x n +nx1=0，其中 n 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 x n ，并证明当 1 时，级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f n （x）=x n +nx1，由 f n （0）=一 10，f n （1）=n0，结合连续函数的零点定理知，方程 x n +nx1=0 存在正实数根 x n （0，1）。 当 x0 时，f n “ （x）=nx n1 +n0，可见
26、 f n （x）在0，+）上单调增加，故方程 x n +nx1=0 存在唯一正实数根 x n 。由 x n +nx1=0 与 x n 0 知 )解析：31.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 （n=1，2，）所围成区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，y=x n 与 y=x n+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，所以 )解析：32.设 y=y（x）是区间（，）内过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，当x 0 时，法线均过原点，所以有 y= ，即 ydy=xdx，得 y 2 =x 2 +C。 又 代入 y 2 =一 x 2 +C 得 C= 2 ，从而有 x 2 +y 2 = 2 。 当 0x 时，y“+y+x=0，得其对应齐次微分方程 y“+y=0 的通解为 y * =C 1 cosx+C 2 sinx 设其特解为 y 1 =Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得 A=1，B=0，故 y 1 =x 是方程的特解，因此 y“+y+x=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinxx。 因为 y=y（x）是（，）内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得 y | x=0 =，y“| x=0 =0， 故得 C 1 =，C 2 =1，所以 )解析：
