1、考研数学三（微积分）-试卷 41 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导3.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若 z=
2、f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微4.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 z=xf(x+y)+g(x 一 y，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(u，)一阶连
3、续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ x (1，2)=1，f“ y (1，2)=4，则 f(1，2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.设(ay 一 2x 一 y 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 f(x)在a，b上
4、连续可导，证明： （分数：2.00）_12.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dx （分数：2.00）_13.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_14.设 f(x)C0，1f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_(2).求该最小
5、值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_15.求曲线 y=3 一|x 2 1|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_16.求椭圆 =1 与椭圆 （分数：2.00）_设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_(2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_17.证明： 0 xa sinx dx （分数：2.00）_18.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t 一 t 2 )si
6、n 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_19.设 f“(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足：ftx 1 +(1 一 t)x 2 tf(x 1 )+(1 一 t)f(x 2 )证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_21.令 f(x)=x 一x，求极限 （分数：2.00）_22.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz
7、 = xy z h(xy+z 一 t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_23.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_24.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_25.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 A 从原点出发，以固定速度 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点
8、 A的固定速度 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 41 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 =0=f“(0，0)，所以 f(x，y)在(00)处连续； 因为 所以 f(0，0)=0根据对称性，f(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由 得 f(x，y)在(0，0)处
9、可微； 当(x，y)(0，0)时，f x “ (x，y)= 则 因为 3.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)4.设 f(x，y)在有界闭区域 D
10、 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 =0，因为 M 0 为最大值点，所以AC 一 B 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 z=xf(x+y)+g(x 一 y，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，
11、则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“+xf“+x y 一 1 g“ 1 +yx y 一 1 lnxg“ 1 +yx 2y 一 1 lnxg“ 11 +2y y 一 1 g“ 12 +2x y+1 lnxg“ 21 +4xyg“ 22）解析：解析：由 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf“(x+y)+yx y 一 1 g“ 1 (x y ，x 2 +y 2 )+2xg“ 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 6.设 f(u，)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ x (1，2)=1，f“ y (1
12、，2)=4，则 f(1，2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)=t 3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf“ x (tx，ty)+yf“ y (tx，ty)=3t 2 f(x，y)，取 t=1，x=1，y=2 得 f“ x (1，2)+2f“ y (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=37.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析：由 =2y+(x)，因为 f“ y (x，0)=x，所以 (x)=x，即 8.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，
13、且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 u x (x，3x)+3“ y (x，3x)=1，再对 x 求导，得“ xx (x，3x)+6“ xy (x，3x)+9u“ yy (x，3x)=0由 ，得 10“ xx (x，3x)+6“ xy (x，3x)=0， u“ x (x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+3u“ xy (x，3x)=3x 2 解得 u“ xy (x，3x)= 9.设(ay 一 2x 一 y 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1
14、，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：一 2）解析：解析：令 P(x，y)=ay 一 2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3，因为(ay 一 2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，所以 三、解答题(总题数：20，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以|f(x)|在a，b上连续，令|f(c)|= 根据积分中值定理， a b f(x
15、)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ c f“(x)dx，取绝对值得 |f(c)|f()|+| c f“(x)dx|f()|+ a b |f“(x)|dx，即 )解析：12.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 与 t 之间，从而 f(x 2 ) )解析：13.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)C0，1f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(
16、x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=1nt(t0)，g“(t)= 0，再令 x 0 = 0 1 f(x)dx，则有 g(t)g(x 0 )+g“(x 0 )(t 一 x 0 ) )解析：设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 y=ax 与抛物线 y=a 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当 0a1 时，S=S 1 +S 2 = 0 a (ax 一
17、 x 1 )dx+ a 1 (x 1 一 ax)dx= 令 S“=a 2 =0 得 a= 时，S 1 +S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S= 0 a (ax 一 x 2 )dx+ 0 a (x 2 一 ax)dx= 因为 S“= (a 2 +1)0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0)= )解析：(2).求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积为 V x = )解析：15.求曲线 y=3 一|x 2 1|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的
18、体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积 当x0 时， dV 1 =3 2 一3 一(x 2 +2) 2 dx=(2x 2 一 x 4 +8)dx， V 1 = 0 1 dV1= 0 1 (2x 2 一 x 4 +8)dx= dV 2 =3 2 一3 一(4 一 x 2 ) 2 dx=(2x 2 一 x 4 +8)dx， V 2 = 1 2 dV 2 = 1 2 2x 2 一 x 4 +8)dx= 则 V=2(V 1 +V 2 )= )解析：16.求椭圆 =1 与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称
19、性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积， 令 则 L 1 ： =1 的极坐标形式为 L 1 ：r 2 =r 2 2 ()= L 2 ： =1 的极坐标形式为 L 2 ：r 2 =r 2 2 ()= 则第一象限围成的面积为 )解析：设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 1，1，1)，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S，过M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z
20、)，T(0，0，z)，由|MT|=|M 0 T|，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， 因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 从而 )解析：(2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 2z+1) 于是 V= 0 1 A(z)dz= )解析：17.证明： 0 xa sinx dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt 的最大值
21、不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f“(x)=(xx 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)， 当0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f“(x)0)， 于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx， 所以当 x0，1时，(x 一 x 2 )sin 2n x(x 一 x 2 )x 2n =x 2n+1 一 x 2n+2 ， 于是 f(x)f(1)= 0 1 (x 一 x 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n+1 x 2n+2 )dx
22、= )解析：19.设 f“(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足：ftx 1 +(1 一 t)x 2 tf(x 1 )+(1 一 t)f(x 2 )证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 ) 取 x 0 = a b x(x)d
23、x，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1，于是有 a a b x(x)dxx 0 b把 x 0 = a b x(x)dx 代入 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)一 x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：21.令 f(x)=x 一x，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=x 一x是以 1 为周期的函数，又
24、xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n+1 f(x)dx， 而 0 n f(x)dx=n 0 1 f(x)dx= 0 1 xdx= ，同理 0 n+1 f(x)dx= 所以 显然当 x时，n，由夹逼定理得 )解析：22.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+z 一 t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若
25、 证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数 )解析：24.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 x 一 y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 :y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 :x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：6=x(0x6)上，z=一 2x 2 (6 一 x)一 2x 3 12x 2 ， 由 =6x 2 24x=
26、0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=一 64，所以 f(x，y)在 L 3 上最小值为一 64，最大值为 0 (2)在区域 D 内，由 得驻点为(2，1)， )解析：25.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 f x “ (0，0)=f y “ (0，0)=0 f(x，y)一 f(0，0)一 f x y (0，0)x 一 f y “ (0，0)y= 2 sin 因为 所以f(x，y)在(0，0)处可微， 当(x，y)(0，0)时， )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0|f(x，y)| =0=f(0，0)，故 f(x，y)在点(0，0)处连续)解析：27.设 A 从原点出发，以固定速度 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A的固定速度 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 即 )解析：
