1、考研数学三（微积分）-试卷 40 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f（x）在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是（ ）（分数：2.00）A.f（x）sinxB.f（x）+sinxC.f 2 （x）D.|f（x）|3.设函数 f（x）对任意的 x 均满足等式 f（1+x）=af（x），且有 f“（0）=b，其中 a，6 为非零常数，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）在 x=1 处
2、不可导B.f（x）在 x=1 处可导，且 f“（1）=aC.f（x）在 x=1 处可导，且 f“（1）=bD.f（x）在 x=1 处可导，且 f“（1）=ab4.设在0，1上 f“（x）0，则 f“（0），f“（1），f（1）f（0）或 f（0）f（1）的大小顺序是（ ）（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0）B.f“(1)f(1）一 f(0)f“(0)C.f(1)一 f(0）f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0）一 f(1)f“(0)5.设函数 f（x）满足关系式 f“（x）+f“（x）2=X，且 f“（0）=0，则（ ）（分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的
3、极大值B.f（0）是 f（x）的极小值C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（0）不是 f（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点6.曲线 y=e x sinx（0x3）与 x 轴所围成图形的面积可表示为（ ）（分数：2.00）A. 0 3 e x sinxdxB. 0 3 e x sinxdxC. 0 e x sinxdx 2 e x sinxdx+ 2 3 e x sinxdxD. 0 2 e x sinxdx 一 2 3 e x sinxdx7.二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f
4、（u）连续，区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos）drD. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos）rdr9.设 （a 2n1 +a 2n ）收敛，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p（x）y“+q（x）y=f（x）的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 （C 1 +C 2 ）y
5、3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 （1C 1 C 2 ）y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +（1C 1 C 2 ）y 3二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 y=f（x）由方程 yx=e x（1y） 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y（x）是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f（x）=3x 2 +Ax 3 （x0），A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f（x）20（x0）。（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填
6、空项 1:_16.设位于曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f（x，y）= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 +y（x+y）， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 z=f（x，y）（xy0）满足 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知幂级数 a n （x+2） n 在 x=0 处收敛，在 x=4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程 y“4y=e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答
7、题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设函数 f（x）在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f（0）f“（0）0，当 h0 时，若 af（h）+bf（2h）一 f（0）=o（h），试求 a，b 的值。（分数：2.00）_26.设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P（0，20），Q 为需求量。 （）求需求量对价格的弹性 E d （E d 0）； （）推导 （分数：2.00）_27.设 y=f（x）是区间0，1上的任一非负连续函数。 （）试证存在 x 0 （0，1），使得在区间0
8、，x 0 上以 f（x 0 ）为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f（x）为曲边的梯形面积。 （）又设 f（x）在区间（0，1）内可导，且 f“（x） （分数：2.00）_28.设函数 f（u）具有二阶连续导数，而 z=f（e x sin y）满足方程 （分数：2.00）_29.计算二重积分 （分数：2.00）_30.设函数 f（x）在区间o，1上连续，且 0 1 f（x）dx=A，求 0 1 dx x 1 f（x）f（y）dy。（分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 40 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
9、题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f（x）在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是（ ）（分数：2.00）A.f（x）sinxB.f（x）+sinx C.f 2 （x）D.|f（x）|解析：解析：若 f（x）+sinx 在 x=x 0 处连续，则 f（x）=f（x）+sinxsinx 在 x=x 0 处连续，与已知矛盾。因此 f（x）+sinx 在点 x 0 必间断。故选 B。3.设函数 f（x）对任意的 x 均满足等式 f（1+x）=af（x
10、），且有 f“（0）=b，其中 a，6 为非零常数，则（ ）（分数：2.00）A.f（x）在 x=1 处不可导B.f（x）在 x=1 处可导，且 f“（1）=aC.f（x）在 x=1 处可导，且 f“（1）=bD.f（x）在 x=1 处可导，且 f“（1）=ab 解析：解析：由导数的定义4.设在0，1上 f“（x）0，则 f“（0），f“（1），f（1）f（0）或 f（0）f（1）的大小顺序是（ ）（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0）B.f“(1)f(1）一 f(0)f“(0) C.f(1)一 f(0）f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0）一 f(1)f“(0)解
11、析：解析：由已知 f“（x）0，x0，1，所以函数 f“（x）在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f（1）一 f（0）=f“（），（0，1）。 于是有 f“（0）f“（）f“（1）， 即 f“（0）f（1）一 f（0）f“（1）。 故选 B。5.设函数 f（x）满足关系式 f“（x）+f“（x）2=X，且 f“（0）=0，则（ ）（分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的极大值B.f（0）是 f（x）的极小值C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点 D.f（0）不是 f（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：在题设等式两端对 x 求导，得 f“（
12、x）+2f“（x）f“（x）=1。令 x=0 可得 f“（0）=1（因由上式可推得 f“（x）连续）。又 f“（0）=0，由拐点的充分条件可知，（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点。故选 C。6.曲线 y=e x sinx（0x3）与 x 轴所围成图形的面积可表示为（ ）（分数：2.00）A. 0 3 e x sinxdxB. 0 3 e x sinxdxC. 0 e x sinxdx 2 e x sinxdx+ 2 3 e x sinxdx D. 0 2 e x sinxdx 一 2 3 e x sinxdx解析：解析：当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0所以 y=e x
13、sinx（0x3）与 x 轴所围成的面积为 0 esinxdx 2 e x sinxdx+ 2 3 e x sinxdx。 故选 C。7.二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：按可微性定义，f（x，y）在（0，0）处可微8.设函数 f（u）连续，区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos）drD. 0 d 0 2sin f（r 2 sincos）rdr 解析：解析：积分区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 2y（如图 143）。在直
14、角坐标系下， 9.设 （a 2n1 +a 2n ）收敛，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当 a n 0 时，级数 （a 2n1 +a 2n ）为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 a n 的部分和数列 S n =a 1 +a 2 +a n 有上界，则级数 10.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p（x）y“+q（x）y=f（x）的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 （C 1 +C 2 ）y 3C
15、.C 1 y 1 +C 2 y 2 （1C 1 C 2 ）y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +（1C 1 C 2 ）y 3 解析：解析：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是二阶非齐次线性微分方程）y“+p（x）y“+q（x）y=f（x）线性无关的解，所以（y 1 y 3 ），（y 2 y 3 ）都是齐次线性微分方程 y“+p（x）y“+q（x）y=0 的解，且（y 1 y 3 ）与（y 2 y 3 ）线性无关，因此该齐次线性微分方程的通解为 y=C 1 （y 1 y 3 ）+C 2 （y 2 y 2 ）。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，选 D。二、填空题(总题数：12
16、，分数：24.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.设函数 y=f（x）由方程 yx=e x（1y） 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y“1=e x（1y） （1yxy“）， 将 x=0，y=1 代入上式，可得 y“ -|_|-=1。 所以 13.设 y=y（x）是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：在方程 xy+e y =x+1 两边对 x 求导，有 y+xy“+
17、y“e y =1，得 y“= 对 y+xy“+y“e y =1再次求导，可得 2y“+xy“+y“e y +（y“） 2 e y =0，得 当 x=0 时，y=0，y“ -|_|-=1，代入（*）得 14.设 f（x）=3x 2 +Ax 3 （x0），A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f（x）20（x0）。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：64）解析：解析：要使 f（x）20，只需 3x 5 +A20x 3 ，即 20x 3 3x 5 A（x0）。 设 g（x）=20x 3 3x 5 ，则 A 至少是 g（x）在（0，+）内的最大值。 由于 g“（x）=60x 2
18、 15x 4 =15x 2 （4 一 x 2 ） 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.设位于曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 f（x，y）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 利用夹逼定理知18.设 +y（x+y）， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yf“（xy）+“（x+y）+y“（x+y）解析：解析：由题干可得：19.设函数 z=f（x，y）（xy0）满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （
19、正确答案：正确答案：（2xy）dxxdy）解析：解析：利用变量替换，设 xy=u， =，则有 20.已知幂级数 a n （x+2） n 在 x=0 处收敛，在 x=4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1，5）解析：解析：由题意可知， a n （x+2） n 的收敛域为（4，0，则 a n x n 的收敛域为（2，2。所以 21.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（x+C）cosx，C 是任意常数）解析：解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知 y=e tanxdx co
20、sxe tanxdx dx+C=（x+C）cosx，其中 C 是任意常数。22.微分方程 y“4y=e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 2x +（C 2 + ）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方程为 r 2 4=0，解得 r 1 =2，r 2 =2。 故 y“4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e 2x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 由于非齐次项为 f（x）=e 2x ，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y * =Axe 2x ， 代入原方程可求出 A= 故所求通解为 y=C 1
21、e 2x +（C 2 + 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设函数 f（x）在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f（0）f“（0）0，当 h0 时，若 af（h）+bf（2h）一 f（0）=o（h），试求 a，b 的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 af（h）+bf（2h）f（0）=（a+b1）f（0）。 由于f（0）0，故必有 a+b1=0。 又由洛必达法则 )解析：26.设某商品的需求函数为 Q=1005P
22、，其中价格 P（0，20），Q 为需求量。 （）求需求量对价格的弹性 E d （E d 0）； （）推导 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又令 E d = =1，得 P=10。当 10P20 时，E d 1，于是 )解析：27.设 y=f（x）是区间0，1上的任一非负连续函数。 （）试证存在 x 0 （0，1），使得在区间0，x 0 上以 f（x 0 ）为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f（x）为曲边的梯形面积。 （）又设 f（x）在区间（0，1）内可导，且 f“（x） （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）本题可转化为证明 x 0 f（x 0 ）= x0 a
23、 f（x）dx 0 令 （x）=x x 1 f（t）dt，则 （x）在闭区间0，1上是连续的，在开区间（0，1）上是可导的，又因为 （0）=（1）=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 （0，1），使得 “（x 0 ）=0，即 x 0 f（x 0 ）= （）令 F（x）=xf（x）一 x 1 f（t）dt， 且由 f“（x） )解析：28.设函数 f（u）具有二阶连续导数，而 z=f（e x sin y）满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 )解析：29.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 1417 所示。 D=
24、（x，y）|0x1，0yx， )解析：30.设函数 f（x）在区间o，1上连续，且 0 1 f（x）dx=A，求 0 1 dx x 1 f（x）f（y）dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用分部积分法。 0 1 dx x 1 f（x）f（y）dy= 0 1 （ x 1 f（y）dy）f（x）dx = 0 1 （ x 1 f（y）dy）d（ 1 x f（t）dt） =A 2 0 1 （ x 1 f（t）dt）d（ x 1 f（y）dy） )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以当 x 2 1，即1 x 1 时，原幂级数绝对收敛。当 x=+1 时，级数为 显然收敛，故原幂级数的收敛域为1，l。 因为 )解析：
