1、考研数学三（微积分）-试卷 3 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.C.D.4.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f(a)D.f“(a)5.设 f(x
2、)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(c)的极大值B.f(0)是 f(c)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 y=f(x)的拐点7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定
3、不可导C.不一定连续D.连续8.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导9.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续10.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f(x)0B
4、.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：
5、40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 x=x(t)由 （分数：2.00）_18.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_19.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_22.设 （分数
6、：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0证明： (1)存在 (（分数：2.00）_25.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_27.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_28.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00
7、）_29.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_30.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： f“(x)（分数：2.00）_31.设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x； (2) （分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b是二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (
8、a，b)，使得 f() （分数：2.00）_33.f(x)在-1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (一 1，1)，使得f“()=3（分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_35.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点 (1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：f“(c)2a+（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 3 答案解析(总分：70.0
9、0，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x 一 a 时，有 f(x)0，于是3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.C. D.解析：解析：4.设 f(x)在
10、x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f(a)D.f“(a) 解析：解析：5.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(c)的极大值B.f(0)是 f(c)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：6.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，0
11、)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(x-t)dt= 0 x g(t)dt 得 f“(x)=一 2x 2 + 0 x g(t)dt，f“(x)=一 4x+g(x)， 7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以8.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导
12、，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令 f(x)=9.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解析：由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连续，但f(x)在 x 0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导，选 C10.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f(x)0 B.f“(x)0，f“(x
13、)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=一 f(x)，f“(一 x)=f“(x)，f“(一 x)=一 f“(x)，即 f“(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，选 A二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(1+4x)e 8x）解析：解析： 12.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1，1)处相切，
14、则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x 2 +ax+b 得 =a 一 2，再由一 2y=一 1+xy 3 得 13.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：15.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：
15、解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 x=x(t)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 一 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 )解析：19.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分
16、数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以x 一 1，得 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0证明： (1)存在 (（分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f(x)一 x，(x)在0，1上连续， ，(1)=一 10，由零点定理，存在 ( )解析：25.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上连续，故f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0
18、时，M=f(x 0 )=f(x 0 )一 f(0)=f“()x 0 f“() )解析：27.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：28.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0，=一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0
19、，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=一 1，再由费马定理知 f“(c)=0， 根据泰勒公式 )解析：29.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S“(0)=0，S(1)=1，S“(1)=0由泰勒公式 )解析：30.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： f“(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
20、由泰勒公式得 )解析：31.设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf“(x)x，其中0(x)1 因为 f“(x)C(一 1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f“(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的 (2)由泰勒公式，得 )解析：32.设 f(x
21、)在a，b是二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：33.f(x)在-1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (一 1，1)，使得f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6 因为 f(x)在一1，1上三阶连续可导，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“( 1 )+f“( 2 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：34.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 )解析：35.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点 (1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：f“(c)2a+（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
