1、考研数学三(微积分)-试卷 3 及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)在 x=a 处可导,且 f(a)0,则f(x)在 x=a 处( )(分数:2.00)A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 为 f(x)=arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 (分数:2.00)A.1B.C.D.4.设 f(x)在 x=a 处二阶可导,则 (分数:2.00)A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f(a)D.f“(a)5.设 f(x
2、)在 x=0 处二阶可导,f(0)=0 且 (分数:2.00)A.f(0)是 f(c)的极大值B.f(0)是 f(c)的极小值C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 f(x)连续可导,g(x)连续,且 (分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 既不是 f(x)极值点,(0,0)也不是 y=f(x)的拐点7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在,则 f(x)在 x=a 处( )(分数:2.00)A.一定可导B.一定
3、不可导C.不一定连续D.连续8.f(x)g(x)在 x 0 处可导,则下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.f(x),g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导,g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导,g(x)在 x 0 处可导D.f(x),g(x)在 x 0 处都可能不可导9.f(x)在 x 0 处可导,则f(x)在 x 0 处( )(分数:2.00)A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续10.设 f(x)为二阶可导的奇函数,且 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时有( )(分数:2.00)A.f“(x)0,f(x)0B
4、.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0D.f“(x)0,f“(x)0二、填空题(总题数:5,分数:10.00)11.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_12.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1,1)处相切,则 a= 1,b= 2(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_13.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.00)填空项 1:_15.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导,且 f“(1)=一 2,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:20,分数:
5、40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设 x=x(t)由 (分数:2.00)_18.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数,求函数 y=y(x)的极值点(分数:2.00)_19.x=(y)是 y=f(x)的反函数,f(x)可导,且 f“(x)= (分数:2.00)_20.设 f(x)连续,(x)= 0 1 f(xt)dt,且 (分数:2.00)_21.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义,且满足f(x)-2e x (x 一 1) 2 ,研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性(分数:2.00)_22.设 (分数
6、:2.00)_23.设 f(x)= (分数:2.00)_24.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f( )=1,f(1)=0证明: (1)存在 ((分数:2.00)_25.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内二阶可导,且 (分数:2.00)_26.设 f(x)在0,1上可导,f(0)=0,f“(x) (分数:2.00)_27.设 f(x)Ca,b,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1证明:存在 ,(a,b),使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f()(分数:2.00)_28.设 f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0 且 (分数:2.00
7、)_29.一质点从时间 t=0 开始直线运动,移动了单位距离使用了单位时间,且初速度和末速度都为零证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不小于 4(分数:2.00)_30.设 f(x)在0,1上二阶可导,且f“(x)1(x0,1),又 f(0)=f(1),证明: f“(x)(分数:2.00)_31.设 f(x)在(一 1,1)内二阶连续可导,且 f“(x)0证明: (1)对(一 1,1)内任一点 x0,存在唯一的 (x)(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x; (2) (分数:2.00)_32.设 f(x)在a,b是二阶可导,且 f“(a)=f“(b)=0证明:存在 (
8、a,b),使得 f() (分数:2.00)_33.f(x)在-1,1上三阶连续可导,且 f(-1)=0,f(1)=1,f“(0)=0证明:存在 (一 1,1),使得f“()=3(分数:2.00)_34.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶连续可导证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_35.设 f(x)在0,1上二阶可导,且f(x)a,f“(x)b,其中 a,b 都是非负常数,c 为(0,1)内任意一点 (1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:f“(c)2a+(分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 3 答案解析(总分:70.0
9、0,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)在 x=a 处可导,且 f(a)0,则f(x)在 x=a 处( )(分数:2.00)A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析:解析:不妨设 f(a)0,因为 f(x)在 x=a 处可导,所以 f(x)在 x=a 处连续,于是存在 0,当x 一 a 时,有 f(x)0,于是3.设 为 f(x)=arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 (分数:2.00)A.1B.C. D.解析:解析:4.设 f(x)在
10、x=a 处二阶可导,则 (分数:2.00)A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f(a)D.f“(a) 解析:解析:5.设 f(x)在 x=0 处二阶可导,f(0)=0 且 (分数:2.00)A.f(0)是 f(c)的极大值B.f(0)是 f(c)的极小值 C.(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析:6.设 f(x)连续可导,g(x)连续,且 (分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点,(0,0
11、)也不是 y=f(x)的拐点解析:解析:由 0 x g(x-t)dt= 0 x g(t)dt 得 f“(x)=一 2x 2 + 0 x g(t)dt,f“(x)=一 4x+g(x), 7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在,则 f(x)在 x=a 处( )(分数:2.00)A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析:解析:因为 f(x)在 x=a 处右可导,所以8.f(x)g(x)在 x 0 处可导,则下列说法正确的是( )(分数:2.00)A.f(x),g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导,g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导
12、,g(x)在 x 0 处可导D.f(x),g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析:解析:令 f(x)=9.f(x)在 x 0 处可导,则f(x)在 x 0 处( )(分数:2.00)A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析:解析:由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连续,但f(x)在 x 0 处不一定可导,如 f(x)=x 在 x=0 处可导,但f(x)=x在 x=0 处不可导,选 C10.设 f(x)为二阶可导的奇函数,且 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时有( )(分数:2.00)A.f“(x)0,f(x)0 B.f“(x)0,f“(x
13、)0C.f“(x)0,f“(x)0D.f“(x)0,f“(x)0解析:解析:因为 f(x)为二阶可导的奇函数,所以 f(-x)=一 f(x),f“(一 x)=f“(x),f“(一 x)=一 f“(x),即 f“(x)为偶函数,f“(x)为奇函数,故由 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,得当 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,选 A二、填空题(总题数:5,分数:10.00)11.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2x(1+4x)e 8x)解析:解析: 12.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1,1)处相切,
14、则 a= 1,b= 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)填空项 1:_ (正确答案:3)解析:解析:因为两曲线过点(一 1,1),所以 b 一 a=0,又由 y=x 2 +ax+b 得 =a 一 2,再由一 2y=一 1+xy 3 得 13.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:14.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 2)解析:解析:15.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导,且 f“(1)=一 2,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:
15、解析:三、解答题(总题数:20,分数:40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.设 x=x(t)由 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数,求函数 y=y(x)的极值点(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:x 3 一 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 )解析:19.x=(y)是 y=f(x)的反函数,f(x)可导,且 f“(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 f(x)连续,(x)= 0 1 f(xt)dt,且 (分
16、数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义,且满足f(x)-2e x (x 一 1) 2 ,研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 x=1 代入不等式中,得 f(1)=2e 当 x1 时,不等式两边同除以x 一 1,得 )解析:22.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f( )=1,f(1)=0证明: (1)存在 ((分数:2.00)
17、_正确答案:(正确答案:(1)令 (x)=f(x)一 x,(x)在0,1上连续, ,(1)=一 10,由零点定理,存在 ( )解析:25.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内二阶可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.设 f(x)在0,1上可导,f(0)=0,f“(x) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在0,1上可导,所以 f(x)在0,1上连续,从而f(x)在0,1上连续,故f(x)在0,1上取到最大值 M,即存在 x 0 0,1,使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时,则 M=0,所以 f(x)0,x0,1; 当 x 0 0
18、时,M=f(x 0 )=f(x 0 )一 f(0)=f“()x 0 f“() )解析:27.设 f(x)Ca,b,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1证明:存在 ,(a,b),使得 2e 2- =(e a +e b )f“()+f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=e x f(x),由微分中值定理,存在 (a,b),使得 )解析:28.设 f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0 且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在0,1上二阶可导,所以 f(x)在0,1上连续且 f(0)=f(1)=0,=一 1,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在0
19、,1取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在 c(0,1),使得 f(c)=一 1,再由费马定理知 f“(c)=0, 根据泰勒公式 )解析:29.一质点从时间 t=0 开始直线运动,移动了单位距离使用了单位时间,且初速度和末速度都为零证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不小于 4(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设运动规律为 S=S(t),显然 S(0)=0,S“(0)=0,S(1)=1,S“(1)=0由泰勒公式 )解析:30.设 f(x)在0,1上二阶可导,且f“(x)1(x0,1),又 f(0)=f(1),证明: f“(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:
20、由泰勒公式得 )解析:31.设 f(x)在(一 1,1)内二阶连续可导,且 f“(x)0证明: (1)对(一 1,1)内任一点 x0,存在唯一的 (x)(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x; (2) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)对任意 x(一 1,1),根据微分中值定理,得 f(x)=f(0)+xf“(x)x,其中0(x)1 因为 f“(x)C(一 1,1)且 f“(x)0,所以 f“(x)在(一 1,1)内保号,不妨设 f“(x)0,则 f“(x)在(一 1,1)内单调增加,又由于 x0,所以 (x)是唯一的 (2)由泰勒公式,得 )解析:32.设 f(x
21、)在a,b是二阶可导,且 f“(a)=f“(b)=0证明:存在 (a,b),使得 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 )解析:33.f(x)在-1,1上三阶连续可导,且 f(-1)=0,f(1)=1,f“(0)=0证明:存在 (一 1,1),使得f“()=3(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由泰勒公式得 两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6 因为 f(x)在一1,1上三阶连续可导,所以 f“(x)在 1 , 2 上连续,由连续函数最值定理,f“(x)在 1 , 2 上取到最小值 m 和最大值 M,故 2mf“( 1 )+f“( 2 )2M,即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理,存在 1 , 2 )解析:34.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶连续可导证明:存在 (a,b),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在(a,b)内二阶可导,所以有 )解析:35.设 f(x)在0,1上二阶可导,且f(x)a,f“(x)b,其中 a,b 都是非负常数,c 为(0,1)内任意一点 (1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:f“(c)2a+(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析: