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    【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷36及答案解析.doc

    • 资源ID:1395098       资源大小:271.50KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学三(微积分)-试卷36及答案解析.doc

    1、考研数学三(微积分)-试卷 36 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 条件收敛,且 (分数:2.00)A.|r|1B.|r|1C.r=一 1D.r=13.设 u n =(一 1) n ln ,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设幂级数 a n (x 一 2) n 在 x=6 处条件收敛,则幂级数 (分数:2.00)A.2B.4C.D.无法确定二、填空题(总题数:4,分数:8.00)5.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_6

    2、. (分数:2.00)填空项 1:_7. (分数:2.00)填空项 1:_8.设级数 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:24,分数:48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_10.计算 (分数:2.00)_11.计算 (分数:2.00)_12.计算二重积分 (分数:2.00)_13.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上,问 R 取何值时,球面 S 在定球面内的面积最大?(分数:2.00)_14.设 f(x)在a,b上连续,证明: a b f(x)dx x b f(y)dy= (分数:

    3、2.00)_15.设 f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续,且 g(x,y)0证明:存在(,)D,使得(分数:2.00)_16.设 f(x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f“(x)0, 为 y=f(x),y=0,x=a 围成区域的形心,证明: (分数:2.00)_17.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb证明: (分数:2.00)_18.设 f(x)为连续函数,计算 (分数:2.00)_19.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x (分数:2.00)_20.设 f(x)在0,1上连续且单调减少,且 f(x)0证明: (分

    4、数:2.00)_21.证明:用二重积分证明 (分数:2.00)_22.讨论级数 (分数:2.00)_23.设 a n 收敛,举例说明级数 a n 2 不一定收敛;若 a n 是正项收敛级数,证明 (分数:2.00)_24.设 0a n (分数:2.00)_25.若正项级数 u n 收敛,证明: (分数:2.00)_26.设 a n = tan n xdx (1)求 (a n +a n+2 )的值; (2)证明:对任意常数 0, (分数:2.00)_27.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x) n dx,讨论级数 (分数:2.00)_28.设na n 收敛,且 n(a n 一 a n 一

    5、 1 )收敛,证明:级数 (分数:2.00)_29.设 a n 0(n=1,2,)且a n n 一 1 单调减少,又级数 (一 1) n a n 发散,判断 (分数:2.00)_30.证明: (1)设 a n 0,且na n 有界,则级数 a n 2 收敛; (2)若 n 2 a n =k0,则级数 (分数:2.00)_31.设 (n=1,2,;a n 0,b n 0),证明: (1)若级数 b n 收敛,则级数 a n 收敛; (2)若级数 a n 发散,则级数 (分数:2.00)_32.设u n ,c n )为正项数列,证明: (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n 一 c n+1

    6、 u n+1 0,且 发散,则 u n 也发散; (2)若对一切正整数 n 满足 一 c n+1 a(a0),且 收敛,则 (分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 36 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 条件收敛,且 (分数:2.00)A.|r|1B.|r|1C.r=一 1 D.r=1解析:解析:因为 u n 条件收敛,所以级数 u n 一定不是正项或负项级数,故 r0 3.设 u n =(一 1) n ln ,则( ) (分数:2.0

    7、0)A.B. C.D.解析:解析:显然 u n 条件收敛, 收敛,所以 4.设幂级数 a n (x 一 2) n 在 x=6 处条件收敛,则幂级数 (分数:2.00)A.2 B.4C.D.无法确定解析:解析:因为 a n x(x 一 2) n 在 x=6 处条件收敛,所以级数 a n n 的收敛半径为 R=4,又因为级数 a n x n 有相同的收敛半径,所以 的收敛半径为 R=4,于是 二、填空题(总题数:4,分数:8.00)5.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:6. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3e)解析:

    8、解析:7. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2(1 一 ln2))解析:解析:8.设级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:24,分数:48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:10.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:11.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:12.计算二重积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据对称性 (x 2 +4x+y 2 )dxdy= (x 2 +y 2 )dxdy,其中 D 1 是 D

    9、位于第一卦限的区域 )解析:13.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上,问 R 取何值时,球面 S 在定球面内的面积最大?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设球面 S:x 2 +y 2 +(z 一 a) 2 =R 2 , 由 得球面 S 在定球内的部分在 xOy面上的投影区域为 D xy :x 2 +y 2 (4a 2 一 R 2 ), 球面 S 在定球内的方程为 因为 )解析:14.设 f(x)在a,b上连续,证明: a b f(x)dx x b f(y)dy= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= a b f

    10、(t)dt, 则 a b f(x)dx x b f(y)dy= a b f(x)F(b)一F(x)dx =F(b) a b f(x)dx 一 a b f(x)F(x)dx=F 2 (b)一 a b F(x)dF(x) )解析:15.设 f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续,且 g(x,y)0证明:存在(,)D,使得(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x,y)在 D 上连续,所以 f(x,y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m,故 mf(x,y)M,又由 g(x,y)0 得 mg(x,y)f(x,y)g(x,y)Mg(x,y) 积分得 )解析:16.设 f(

    11、x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f“(x)0, 为 y=f(x),y=0,x=a 围成区域的形心,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为积分区域关于直线 y=x 对称, )解析:18.设 f(x)为连续函数,计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x)的一个原函数为 F(x),则 )解析:19.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 f(x)在

    12、0,1上连续且单调减少,且 f(x)0证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 (x)dx, 等价于 0 1 f 2 (x)dxyf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy,或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy, 根据对称性,I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)f(y)一 f(x)dy, 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(yx)f(x)一 f

    13、(y)dy, 因为 f(x)0 且单调减少,所以(y 一 x)f(x)一 f(y)0,于是 2I0,或 I0, 所以 )解析:21.证明:用二重积分证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 D 1 =(x,y)|x 2 +y 2 R 2 ,x0,y0, D 2 =(x,y)x 2 +y 2 2R 2 ,x0,y0 )解析:22.讨论级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 由正项级数的比较审敛法得 )解析:23.设 a n 收敛,举例说明级数 a n 2 不一定收敛;若 a n 是正项收敛级数,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 a n = 由交错级数的 Le

    14、ibniz 审敛法,级数 收敛, 取 0 =1,存在自然数 N,当 nN 时,|a n 一 0|1,从而 0a n 1,当 nN 时,有 0a n 2 a n 1 由 a n 收敛得 收敛,再由比较审敛法得 )解析:24.设 0a n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:25.若正项级数 u n 收敛,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.设 a n = tan n xdx (1)求 (a n +a n+2 )的值; (2)证明:对任意常数 0, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x)

    15、 n dx,讨论级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设na n 收敛,且 n(a n 一 a n 一 1 )收敛,证明:级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 S n =a 1 +a 2 +a n ,S“ n+1 =(a 1 一 a 0 )+2(a 2 一 a 1 )+(n+1)(a n+1 一 a n ),则 S“ n+1 =(n+1)a n+1 一 S n 一 a 0 ,因为 n(a n 一 a n 一 1 )收敛且数列na n 收敛,所以 (n+1)a n+1 都存在,于是 S n 存在,根据级数收敛的定义, )解析:29.设 a n 0(n=1,

    16、2,)且a n n 一 1 单调减少,又级数 (一 1) n a n 发散,判断 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为a n n 单调减少且 a n 0(n=1,2,),所以 由 (一 1) n a n 发散,得 A0根据正项级数的根值审敛法,由 )解析:30.证明: (1)设 a n 0,且na n 有界,则级数 a n 2 收敛; (2)若 n 2 a n =k0,则级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为na n 有界,所以存在 M0,使得 0na n M,即 0a n 2 而级数 收敛,所以级数 a n 2 收敛 (2)取 0 = =k0,所以存在 N0,当

    17、nN 时,|n 2 a n 一 k| ,即 0n 2 a n ,或者 0a n 而 )解析:31.设 (n=1,2,;a n 0,b n 0),证明: (1)若级数 b n 收敛,则级数 a n 收敛; (2)若级数 a n 发散,则级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 则数列单调递减有下界,根据极限存在准则, )解析:32.设u n ,c n )为正项数列,证明: (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n+1 0,且 发散,则 u n 也发散; (2)若对一切正整数 n 满足 一 c n+1 a(a0),且 收敛,则 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n+1 0,于是 c n u n c n+1 c n u n c 1 u 1 0, 从而 u n c 1 u 1 也发散 (2)因为对所有 n 满足 一 c n+1 a,则 c n u n 一 c n+1 u n+1 au n+1 ,即 c n u n (c n+1 +a)u n+1 ,所以 于是 因为 )解析:


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