1、考研数学三（微积分）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，|f“(x)| （分数：2.00）_3.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 一 =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_4.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_5.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为
2、零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_6.设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：|f“(x)| （分数：2.00）_设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_7.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_8.f(x)在1，1上三
3、阶连续可导，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (一 1，1)，使得f“()=3（分数：2.00）_9.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f“(b)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 x=c 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_(2).证明：|f(c)|2a+ （分数：2.00）_设 f(x)在一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）
4、(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：存在 1 ， 2 一 a，a，使得 （分数：2.00）_10.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且|f (4) (x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_11.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ 一 (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_12.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=
5、0，且 f“ + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_13.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_14.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 0 ，x 2 a，b及 01，证明：fx 1 +(1 一 )x 2 f(x 1 )+(1 一 )f(x 2 )（分数：2.00）_15.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_1
6、7.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明：f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_18.证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_19.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_20.设 0ab，证明： （分数：2.00）_21.求由方程 x 2 +y 3 一 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小
7、值（分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)=f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_23.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.设
8、f(x)在0，1上可导，f(0)=0，|f“(x)| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而|f(x)|在0，1上连续，故|f(x)|在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得|f(x 0 )|=M 当 x 0 =0 时，则M=0，所以 f(x)=0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=|f(x 0 )|=|f(x 0 )一 f(0)|=|f“()|x 0 |f“()| |f()| )解析：3.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 一 =(e a
9、+e b )f“()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 令 (x)=e 2x ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：4.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开 因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0
10、， f(x)=一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 f(0，1)，使得 f(c)=一 1，再由费马定理知 f“(c)=0， 根据泰勒公式)解析：5.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S“(0)=0，S(1)=1，S“(1)=0由泰勒公式 两式相减，得 S“( 2 )一 S“( 1 )=一 8 )解析：6.设 f(x)在0，1上二阶可导
11、，且|f“(x)|1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：|f“(x)| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)一 f“(x)x+ f“( 1 )x 2 ， 1 (0，x)， f(1)=f(x)+f“(x)(1 一 x)+ f“( 1 )(1 一 x) 2 ， 2 (x，1)， 两式相减，得 f“(x)= f“( 1 )x 2 一 f“( 2 )(1 一 x) 2 两边取绝对值，再由|f“(x)|1，得 )解析：设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)
12、(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf“(x)x，其中0(x)1因为 f“(x)C(一 1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f“(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f“(0)x+ x 2 ，其中 介于 0 与 x 之间， 而f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有 令 x0，再由二阶导数的
13、连续性及非零性，得 )解析：7.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 (1)当|f“( 1 )|f“( 2 )|时，取 = 1 ，则有|f“()| (2)当|f“( 1 )|f“( 2 )|时，取 = 2 ，则有|f“()| )解析：8.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (一 1，1)，使得f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6因为 f(x)在一 1，
14、1上三阶连续可导，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“( 1 )+f“( 2 )2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：9.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 因为 f(x)在(a，b)内连续，所以f“(x)在 1 ， 2 上连续，从而 f(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 由介值定理，存在 1 ， 2 (a，b)，
15、使得 故 )解析：设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f“(b)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 x=c 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(c)+f“(c)(x 一 c)+ )解析：(2).证明：|f(c)|2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别令 x=0，x=1，得 )解析：设 f(x)在一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；（分数：2.00）_正确答
16、案：(正确答案：由 存在，得 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=0，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 )解析：(2).证明：存在 1 ， 2 一 a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：上式两边积分得 f(x)dx= f (4) ()x 4 dx 因为 f (4) (x)在一 a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在一 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 1 f (4) ()x 4 Mx 4 ，两边在一 a，a上积分得 a 5 a a f (4) ()x 4 dx a 5 ，从而 于是 m f(x)dxM，根据介值定理，存在 1 一 a
17、，a，使得 f (4) ( 1 )= )解析：10.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且|f (4) (x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )+ (xx 0 ) 2 + (xx 0 ) 3 + (xx 0 ) 4 ， f(x“)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x“一 x 0 )+ (x“x 0 ) 2 + (x“x 0 ) 3 + (x“x 0 ) 4 ， 两式相加得 f(x)+f(x“)一 2f(x)=f“(x 0 )(xx 0 ) 2 + f (4
18、) ( 1 )+f (4) ( 2 )x 一 x 0 ) 4 ， 于是 f (4) ( 1 )+f (4) ( 2 )x 一 x 0 ) 2 ， 再由| f (4) (x)M，得 )解析：11.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ 一 (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f 一 “ (a)0，f 一 “ (b)0， 由 f 一 “ (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得f(x 1 )f(a)=0； 由 f 一 “ (b)0
19、，存在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 )f(b)=0， 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 h(x)= ，显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(f)=h(b)=0， 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0，而 令 (x)=f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，所以 )解析：12.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b
20、)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f + “ (a)0，所以存在 0，当 0x 一 a 时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0 由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：13.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正
21、确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 )解析：14.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 0 ，x 2 a，b及 01，证明：fx 1 +(1 一 )x 2 f(x 1 )+(1 一 )f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =x 1 +(1 一 )x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0
22、)， 于是 )解析：15.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：16.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e 一 x f(x)，则 (x)在0，+)内可导，又 (0)=1，“(x)=e 一 x f(x)一 f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)e x (x0)解析：17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1
23、+k 2 +k n =1证明：f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 由 k i 0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i=1，2，n)，得 )解析：18.证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.0
24、0）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 2 1)lnx 一(x 一 1) 2 ，(1)=0 故 x=1 为 “(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故 “(x)0(x0) )解析：19.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求由方程 x 2 +y 3 一 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据隐函数求导数法，得 )解析：22.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f
25、(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)=f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e 一 x f(x)+f“(x)因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在c(0，1)使得 “(f)=0，而 “(x)=e 一 x f(x)一 f(x)且 e 一 x 0，所以方程 f“(c)一 f(c)=0 在(0，1)内有根)解析：23.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
