1、考研数学三（微积分）-试卷 28 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：66.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.求 （分数：2.00）_3.求 （分数：2.00）_4.求 （分数：2.00）_5.设 f“(0)=6，且 （分数：2.00）_6.设 =e 3 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_7.求 （分数：2.00）_8.求 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.求极限 （分数：2.00）_11.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= 0 x (t 2 一 x 2 )dt，
2、且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f“(0)（分数：2.00）_12.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x)0 且 f(x)=a0，令 a n = f(k)一 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_13.设 a0，x 1 0，且定义 x n+1 = (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_14.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1 一 2c；（分数：2.00）_(2).存在 0，2，使得 2
3、f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x d(x)与 e 一 f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.求函数 y=1n(x+ （分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.证明： （分数：2.00）_25.设 f(x)=a 1
4、ln(l+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有|f(x)|e x 一 1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1（分数：2.00）_26.求极限 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得
5、 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_30.求 （分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_32.某人的食量是 2500 卡/天，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重，假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 28 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：66.00)1.解答题解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：3.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设 f“(0)=6，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.设 =e 3 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求极限 （分数：2.00
7、）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= 0 x (t 2 一 x 2 )dt，且当 x0 时，F(x)x n ，求 n及 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x)0 且 f(x)=a0，令 a n = f(k)一 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n+1 一 a n =f(x+1)一 n n+1 f(x)dx=f(n+1)一 f()0(n，n+1)，所以a
8、n 单调减少，因为 a n = f(k)一 f(x)dx+f(n)，而 k k+1 f(k)一 f(x)dx0(k=1，2，n 一 1) 且 =a0，所以存在 X0，当xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 a n =f(1)+f(2)一 1 2 f(x)dx+f(n)一 n 一 1 n f(x)dx，而 f(k)一 k 一 1 k (x)dx0(k=2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：13.设 a0，x 1 0，且定义 x n+1 = (n=1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
9、因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 )解析：14.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 所以数列a n 单调 又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 =A，则有 )解析：设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1 一 2c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)一 1+2x，(0)=一 1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在c(0，1)，使得 (c)=0
10、，于是 f(c)=1 一 2c)解析：(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由6m2f(0)+f(1)+3f(2)6m 得 m 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，因为 )解析：16.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x d(x)与 e 一 f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为
11、e x f(x)与 e 一 f(x) 在0，1上单调增加，所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0 一 x f(x 0 )， 令 xx 0 一 ，由夹逼定理得 f(x 0 一 0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 )解析：17.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=k0，取 0 = 0，因为 f(x)=k0，所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有|f(x)一 k| ，从而 f(x) )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x
12、=k+ (k=0，1，) 因为所以 x=0 为 f(x)的可去间断点； 因为 =，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点； 因为 =0，所以 x=k+ )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=0，一 1，一 2，及 x=1 当 x=0 时，f(0 一 0)= =一slnl，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x=一 1 时， 则 x=一 1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 x=k(k=一 2，一 3，)时， =，则 x=k(k=一 2，一 3，)为函数 f(x)的第二类间断点 当 x=1 时，因
13、为 )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f(x)= 其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 )解析：21.求函数 y=1n(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)=a 1 ln(l+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切x 有|f(x)
14、|e x 一 1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 一 x n =f(x n )一 f(x n 一 1 )=f“( n )(x n 一 n 一 1 )，因为 f(x)0，所以 n+1 一 x n 与 x n 一 n 一 1 同号，故x n 单调 )解析：28.设 f(x)在a，+)
15、上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：29.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)，注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向不
16、等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 由介值定理，存在 a，b，使得 f()= )解析：30.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.某人的食量是 2500 卡/天，其中 1200 卡/天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡/千克/天乘以他的体重，假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2500 卡/天，输出率为(1200+16w)，其中 为体重， )解析：
