1、考研数学三(微积分)-试卷 27 及答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x),g(x)是连续函数,当 x0 时,f(x)与 g(x)是等价无穷小,令 F(x)= 0 1 f(x 一 t)dt,G(x)= 0 1 x(xt)dt,则当 x0 时,F(x)是 G(x)的( )(分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小3.设 F(x)= x x+2 e sintst sintdt,则 F(x)( )(分数:2.0
2、0)A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关4.设 a= 0 5x dt,= 0 sinx (1+t) (分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小5.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 f(x)= (分数:2.00)A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点6.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( )(分数:2.00)A. a x f(t)dtB. 一 x a f(t)dtC. 一 x 0 f(t)dt 一 x 0 f(t)dtD. 一 x x tf(t)dt二、填空题(总题数:25,分
3、数:50.00)7.设xf(x)dx=arcstnx+C,则 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数,且满足 0 1 (xt)dt=f(x)+xsinX,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_9. (分数:2.00)填空项 1:_10. (分数:2.00)填空项 1:_11. (分数:2.00)填空项 1:_12. (分数:2.00)填空项 1:_13. (分数:2.00)填空项 1:_14. (分数:2.00)填空项 1:_15. (分数:2.00)填空项 1:_16. (分数:2.00)填空项 1:_17.maxx+2x 2 dx= 1(分数:2.00)填空
4、项 1:_18. (分数:2.00)填空项 1:_19. (分数:2.00)填空项 1:_20. (分数:2.00)填空项 1:_21. (分数:2.00)填空项 1:_22. (分数:2.00)填空项 1:_23.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_24.设函数 y=y(x)满足y= (分数:2.00)填空项 1:_25.设 (分数:2.00)填空项 1:_26.设 f(x)= 0 1 e“ostdt,求 0 f(x)cosrdx(分数:2.00)填空项 1:_27.设 f(x)连续,且 0 x tf(2x 一 t)dt= (分数:2.00)填空
5、项 1:_28.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_29.I(x)= (分数:2.00)填空项 1:_30.设 f(x)的一个原函数为 (分数:2.00)填空项 1:_31.y= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:2,分数:4.00)32.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_33.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足 (分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 27 答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选
6、择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x),g(x)是连续函数,当 x0 时,f(x)与 g(x)是等价无穷小,令 F(x)= 0 1 f(x 一 t)dt,G(x)= 0 1 x(xt)dt,则当 x0 时,F(x)是 G(x)的( )(分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析:解析:F(x)= 0 x f(x 一 t)dt=一 0 x f(x 一 t)d(x 一 t)= 0 x f(u)du,G(x)= 0 x xg(xt)dt= 0 x g(u)du,则 3.设 F(x)= x x+2
7、e sintst sintdt,则 F(x)( )(分数:2.00)A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析:解析:由周期函数的平移性质,F(x)= x x 一 2 e sint sintdt= 一 e sint sintdt,再由对称区间积分性质得 F(x)= 0 (e sint sint 一 e 一 sint sint)dt= 0 (e sint 一 e 一 sint )sintdt,又(e sint 一 e 一 sint )sint 连续、非负、不恒为零,所以 F(x)0,选(A)4.设 a= 0 5x dt,= 0 sinx (1+t) (分数:2.00)A.高阶无穷
8、小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析:解析:因为5.设 g(x)= 0 x f(u)du,其中 f(x)= (分数:2.00)A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析:解析:因为 f(x)在(0,2)内只有第一类间断点,所以 g(x)在(0,2)内连续,选(C)6.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( )(分数:2.00)A. a x f(t)dtB. 一 x a f(t)dtC. 一 x 0 f(t)dt 一 x 0 f(t)dtD. 一 x x tf(t)dt 解析:解析:设 (x)= 一 x x tf(t)dt
9、=2 0 x tf(t)dt,(x+T)=2 0 x+T tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt+2 0 x+T tf(t)dt(x),选(D)二、填空题(总题数:25,分数:50.00)7.设xf(x)dx=arcstnx+C,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:8.设 f(x)为连续函数,且满足 0 1 (xt)dt=f(x)+xsinX,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:cosx 一 xsinx+C)解析:解析:由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx,得 0 1 f(xt)d(a)=xf(x)+
10、x 2 sinx,即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx,两边求导得 f“(x)=一 2sinx 一 xcosx,积分得 f(x)=cosx 一 xsinx+C9. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:10. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:11. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:12. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:13. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:14. (分数:2.00)
11、填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:15. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:16. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:17.maxx+2x 2 dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:18. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:19. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:20. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln3)解析:解析:21. (分数:2.00)填空项
12、1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:22. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4 一 )解析:解析:23.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:24.设函数 y=y(x)满足y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:25.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:26.设 f(x)= 0 1 e“ostdt,求 0 f(x)cosrdx(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 一 1 一
13、e)解析:解析: 0 2 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx| 0 f“(x)sinxdx =一 0 e cosx sinxdx=e cosx | 0 =e 一 1 一 e27.设 f(x)连续,且 0 x tf(2x 一 t)dt= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:由 0 x tf(2x 一 t)dt 2x x (2x 一 u)f(u)(一 du) = x 2x (2x 一 u)f(u)du=2x x 2x f(u)du 一 x 2x uf(u)du 得 2x x 2x f(u)du 一 x 2x uf(u)du= a
14、rctanx 2 ,等式两边对x 求导得 2 x 2x f(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一 4xf(2x)+xf(x)= ,整理得 2 x 2x f(u)du 一xf(x)= , 取 x=1 得 2 1 2 f(u)du 一 f(1)= ,故 1 2 f(x)dx= 28.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:29.I(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln3)解析:解析:30.设 f(x)的一个原函数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:31.y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:2,分数:4.00)32.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:33.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:t 时刻雪堆体积 侧面积 根据题意得 因为 h(0)=130,所以C=130,则 h(t)= )解析: