1、考研数学三（微积分）-试卷 27 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 1 f(x 一 t)dt，G(x)= 0 1 x(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小3.设 F(x)= x x+2 e sintst sintdt，则 F(x)( )（分数：2.0
2、0）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关4.设 a= 0 5x dt，= 0 sinx (1+t) （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小5.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点6.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. 一 x a f(t)dtC. 一 x 0 f(t)dt 一 x 0 f(t)dtD. 一 x x tf(t)dt二、填空题(总题数：25，分
3、数：50.00)7.设xf(x)dx=arcstnx+C，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 (xt)dt=f(x)+xsinX，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.maxx+2x 2 dx= 1（分数：2.00）填空
4、项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20. （分数：2.00）填空项 1:_21. （分数：2.00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_24.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_25.设 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 f(x)= 0 1 e“ostdt，求 0 f(x)cosrdx（分数：2.00）填空项 1:_27.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x 一 t)dt= （分数：2.00）填空
5、项 1:_28.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_29.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_30.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_31.y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：2，分数：4.00)32.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_33.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 27 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选
6、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)= 0 1 f(x 一 t)dt，G(x)= 0 1 x(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：F(x)= 0 x f(x 一 t)dt=一 0 x f(x 一 t)d(x 一 t)= 0 x f(u)du，G(x)= 0 x xg(xt)dt= 0 x g(u)du，则 3.设 F(x)= x x+2
7、e sintst sintdt，则 F(x)( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 x 有关解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x)= x x 一 2 e sint sintdt= 一 e sint sintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)= 0 (e sint sint 一 e 一 sint sint)dt= 0 (e sint 一 e 一 sint )sintdt，又(e sint 一 e 一 sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A)4.设 a= 0 5x dt，= 0 sinx (1+t) （分数：2.00）A.高阶无穷
8、小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为5.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析：因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)6.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. 一 x a f(t)dtC. 一 x 0 f(t)dt 一 x 0 f(t)dtD. 一 x x tf(t)dt 解析：解析：设 (x)= 一 x x tf(t)dt
9、=2 0 x tf(t)dt，(x+T)=2 0 x+T tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt+2 0 x+T tf(t)dt(x)，选(D)二、填空题(总题数：25，分数：50.00)7.设xf(x)dx=arcstnx+C，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 (xt)dt=f(x)+xsinX，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosx 一 xsinx+C）解析：解析：由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 0 1 f(xt)d(a)=xf(x)+
10、x 2 sinx，即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx，两边求导得 f“(x)=一 2sinx 一 xcosx，积分得 f(x)=cosx 一 xsinx+C9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14. （分数：2.00）
11、填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.maxx+2x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：20. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：21. （分数：2.00）填空项
12、1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 一 ）解析：解析：23.设 f(x)满足等式 xf“(x)一 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：25.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：26.设 f(x)= 0 1 e“ostdt，求 0 f(x)cosrdx（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 一 1 一
13、e）解析：解析： 0 2 f(x)cosxdx= 0 f(x)d(sinx)=f(x)sinx| 0 f“(x)sinxdx =一 0 e cosx sinxdx=e cosx | 0 =e 一 1 一 e27.设 f(x)连续，且 0 x tf(2x 一 t)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 0 x tf(2x 一 t)dt 2x x (2x 一 u)f(u)(一 du) = x 2x (2x 一 u)f(u)du=2x x 2x f(u)du 一 x 2x uf(u)du 得 2x x 2x f(u)du 一 x 2x uf(u)du= a
14、rctanx 2 ，等式两边对x 求导得 2 x 2x f(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一 4xf(2x)+xf(x)= ，整理得 2 x 2x f(u)du 一xf(x)= ， 取 x=1 得 2 1 2 f(u)du 一 f(1)= ，故 1 2 f(x)dx= 28.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：29.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：30.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：31.y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：2，分数：4.00)32.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：33.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t 时刻雪堆体积 侧面积 根据题意得 因为 h(0)=130，所以C=130，则 h(t)= )解析：
