1、考研数学三（微积分）-试卷 25 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件3.设 f(x)连续，且 F(x)= ，则 F“(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0，1时，f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)一 f(0)的大小次序为(
2、 )（分数：2.00）A.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)B.f“(0)f“(1)f(1)一 f(0)C.f“(0)f“(1)f(1)一 f(0)D.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)5.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)7.设 f(
3、x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值8.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_
4、三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_15.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_16.证明：当 0x1，证明： （分数：2.00）_17.当 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x （分数：2.00）_19.求曲线 y= （分数：2.00）_20.求曲线 （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.证明当 x0 时， （分数：2.00）_23.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0
5、，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)= （分数：2.00）_25.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(6)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：(1) 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0 (2)存在 (0，3)，使得 f“()一 2f“()=0（
6、分数：2.00）_27.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 存在，证明： (1)存在(1，2)，使得 （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 25 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的
7、( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)=0， ， ， 因为 f“一(1)=f“+(1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在x=1 处可导， 3.设 f(x)连续，且 F(x)= ，则 F“(x)=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：4.当 x0，1时，f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)一 f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)B.f“(0)f“(1)f(1)一 f(0)C.f“(0)f“(1)f(1)一 f(0)D.f“
8、(0)f(1)一 f(0)f“(1) 解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f“(c)(0c1)， 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，故 f“(0)f“(c)f“(1)， 即 f“(0)f(1)一 f(0)f“(1)，应选 D5.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x
9、)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 得 f(0)=0， 由极限保号性，存在 0，当 0x 时，8.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析：因为 f“(0)= 0， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0x 时
10、，二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)）解析：解析：11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+3）解析：解析：12.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：由三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确
11、答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=21n20， 因为 f“(x)=ln(1+x)+1 一 lnx一 1=ln(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0， )解析：解析：当 x1 时，15.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.证明：当 0x1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：17.当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xsinx，f(0)=0， )解析：18.设
12、f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= ， 因为 f(x)1，所以 f(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 “(x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 2x )解析：19.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.证明当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=ln
13、(x+y)，由拉格朗日中值定理得 )解析：23.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=lnx，F“(x)= )解析：25.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(6)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)e g(x) ，
14、 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 “()=0， 因为 “(x)=e g(x) f“(x)+f(x)g“(x)且 e g(x) 0，所以 f“()+f()g“()=0)解析：26.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：(1) 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0 (2)存在 (0，3)，使得 f“()一 2f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= 0 x f(t)dt，F“(x)=f(x)， 0 2 f(t)d
15、t=F(2)一 F(0)=F“(c)(2一 0)一 2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 f(x 0 )= ，即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )， 于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 ，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0 (2)令 (x)=e 2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 (，) )解析：27.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 存在，证明： (1)存在(1，2)，使得
16、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 h(x)=lnx，F(x)= 1 x f(t)dt，且 F“(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 (2)由 )解析：28.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 x 0 = ，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， )解析：
