1、考研数学三（微积分）-试卷 24 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r=一 1D.r=13.设 u n =(一 1) n ln(1+ （分数：2.00）A.B.C.D.4.设幂级数 （分数：2.00）A.2B.4C.D.无法确定二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.
2、设级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：32，分数：64.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.讨论级数 （分数：2.00）_11.设 （分数：2.00）_12.设 0a n （分数：2.00）_13.若正项级数 （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_16.设na n 收敛，且 （分数：2.00）_17.设 a n 0(n 一 1，2，)且a n n=1 单调减少，又级数 （分数：2.00）_18.证明： （分数：2.00）_1
3、9. （分数：2.00）_20.设u n ，c n 为正项数列，证明： （分数：2.00）_21.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_22.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f“(x)q1，令 u n =f(u n-1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_23.设 f(x)在(一，+)内一阶连续可导，且 （分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_25.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.求函
4、数 f(x)=ln(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_28.求幂级数 （分数：2.00）_29.求幂级数 （分数：2.00）_30.求幂级数 （分数：2.00）_31.求 （分数：2.00）_32.设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 =1 的解。(1)求 F(x)关于 x 的幂级数；(2)求 （分数：2.00）_33.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_34.设 f(x)= ，且 a 0 =1，a n+1 =a n +n(n=0，1，2) (1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求
5、（分数：2.00）_35.证明 S(x)= （分数：2.00）_36.设 u n 0，且 （分数：2.00）_37.设级数 （分数：2.00）_38.设 （分数：2.00）_39.设函数 f 0 (x)在(一，+)内连续，f n (x)= 0 x f n-1 (t)df(n=1，2，) （分数：2.00）_40.设 a 0 =1，a 1 =一 2，a 2 = a n (n2)证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 24 答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
6、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r=一 1 D.r=1解析：解析：3.设 u n =(一 1) n ln(1+ （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：4.设幂级数 （分数：2.00）A.2 B.4C.D.无法确定解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3e）解析：解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1-ln2)）解析：解析
7、：8.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：32，分数：64.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 0a n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.若正项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 a n = 0 1 x 2 (1 一 x) n dx
8、，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设na n 收敛，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =a a +a 2 +a n ，S“ n+1 =(a n 一 a 0 )+2(a 2 一 a 1 )+(n+1)(a n+1 一 a n )，则 S“ n+1 =(n+1)a n+1 一 S n 一 a 0 ，因为 (a n 一 a n-1 )收敛且数列na n 收敛，所以 )解析：17.设 a n 0(n 一 1，2，)且a n n=1 单调减少，又级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.证明： （分数：2.00）_正确答案
9、：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设u n ，c n 为正项数列，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f“(x)q1，令 u n =f(u n-1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由u n+1 一 u n =f(u n )一 f(u n-1 )=f“( 1 )u n 一 u n-1 qu n 一 u n-1 q 2 u n
10、-1 一 u n-2 q n u 1 一 u 0 且 )解析：23.设 f(x)在(一，+)内一阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f“(x)M，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的界 所以对充分大的 n，有 )解析：25.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y“=x+y 得 y“=1+y
11、“，再由 y(0)=1 得 y“(0)=1，y“(0)=2，根据麦克劳林公式，有 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求函数 f(x)=ln(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=ln(1 一 x 一 2x 2 )=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+In(12x)， )解析：28.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然该幂级数的收敛区间为一 1，1， )解析：30.求幂级数 （分数：
12、2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 =1 的解。(1)求 F(x)关于 x 的幂级数；(2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 f(x)= ，且 a 0 =1，a n+1 =a n +n(n=0，1，2) (1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.证明 S(
13、x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数的收敛域为(一，+)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) 一 y=0 y (4) 一 y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 cosx+C 4 sinx， 由 S(0)=1，S“(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 )解析：36.设 u n 0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =(a 1 -a 0 )+(a 2 -a 1 )+(a n -a n-1 )，则 S n =a n -a 0 。 )解析：38.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.设函数 f 0 (x)在(一，+)内连续，f n (x)= 0 x f n-1 (t)df(n=1，2，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)n=1 时，f 1 (x)= 0 x f 0 (t)dt，等式成立； )解析：40.设 a 0 =1，a 1 =一 2，a 2 = a n (n2)证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
