1、考研数学三（微积分）-试卷 22 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散B.若x n 无界，则y n 必无界C.若x n 有界，则y n 必为无穷小D.若 3.设函数 f（x）= 在（一，+）内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b04.f（x）= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导D.可导
2、5.设 f（x）可导且 f“（x 0 ）= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小6.设常数 k0，函数 f（x）=lrix （分数：2.00）A.3B.2C.0D.17.设 f（x）在a，b上二阶可导，且 f（x）0，使不等式 f（a）（ba） a b f（x）dx（ba） （分数：2.00）A.f“（x）0，f“（x）0B.f“（x）0，f“（x）0C.f“（x）0，f“（x）0D.f“（x）0，f“（x）08.使不等式 （分数：2.00）A.（0，1）B.C.D.（，+）9.设函数 z=f（x，y）的全微分为出=xdx+
3、ydy，则点（0，0）（ ）（分数：2.00）A.不是 f（x，y）的连续点B.不是 f（x，y）的极值点C.是 f（x，y）的极大值点D.是 f（x，y）的极小值点10.设 f（x，y）为连续函数，则 f（rcos，rsin）rdr 等于（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 0a n （n=1，2，），则下列级数中一定收敛的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.12.方程 y“3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x （Acos2x 十 Bsin2x）C
4、.y=axe x +b+xe x （Acos2x+Bsin2x）D.y=axe x +b+e x （Acos2x+Bsin2x）二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.设 y=（1+sinx） x ，则 dy| x= = 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 f（u）可微，且 f“（0）= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.若数列（a n +a 2 ）+
5、（a 3 +a 4 ）+（a 2n1 +a 2n ）+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.求函数 f（x）= （分数：2.00）_24.设函数 f（x），g（x）在a，b上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（A），f（b）=g（b），证明：存在 （a，b），使得 f“（）=g“（）。（分数：2.00）_25.设 f（x）= （分数：2.00）_26. （分数：
6、2.00）_27.求二元函数 z=f（x，y）=x 2 y（4xy）在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_28.设 D=（x，y）|x 2 +y 2 （分数：2.00）_29.设 a 1 =2，a n+1 = （n=1，2，）。证明： （分数：2.00）_30.求级数 （分数：2.00）_31.设 f（u，）具有连续偏导数，且 f u “ （u，）+f “ （u，）=sin（u+）e u+ ，求y（x）=e 2x f（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 22 答案解析(总分：62.00
7、，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散B.若x n 无界，则y n 必无界C.若x n 有界，则y n 必为无穷小D.若 解析：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足 x n y n =0，由此可排除 A、B。若取 x n =0，y n =n，也满足 3.设函数 f（x）= 在（一，+）内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析
8、：因 f（x）连续，故 a+e bx 0，因此只要 a0 即可。再由 4.f（x）= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析： 5.设 f（x）可导且 f“（x 0 ）= （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小 C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析：解析：由 f（x）在 x 0 点处可导及微分的定义可知 6.设常数 k0，函数 f（x）=lrix （分数：2.00）A.3B.2 C.0D.1解析：解析：因 令 f“（x）=0，得唯一驻点 x=e，且在 f（x）的定义域内无 f“（x）不存在的点，故 f（x）
9、在区间（0，e）与（e，+）内都具有单调性。 又 f（e）=k0，而7.设 f（x）在a，b上二阶可导，且 f（x）0，使不等式 f（a）（ba） a b f（x）dx（ba） （分数：2.00）A.f“（x）0，f“（x）0B.f“（x）0，f“（x）0C.f“（x）0，f“（x）0 D.f“（x）0，f“（x）0解析：解析：不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需过点（a，f（A）且平行于 x 轴的直线在曲线 y=f（x）的下方，连接点（a，f（A）和点（b ，f（b）的直线在曲线 y=f（x）的上方，如图 124 所示。8.使不等式 （分数：2.00）A.
10、（0，1） B.C.D.（，+）解析：解析：原问题可化为求 f（x）= 成立时 x 的取值范围，由9.设函数 z=f（x，y）的全微分为出=xdx+ydy，则点（0，0）（ ）（分数：2.00）A.不是 f（x，y）的连续点B.不是 f（x，y）的极值点C.是 f（x，y）的极大值点D.是 f（x，y）的极小值点 解析：解析：根据 又在（0，0）处， 10.设 f（x，y）为连续函数，则 f（rcos，rsin）rdr 等于（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设可知，积分区域 D 如图 145 所示，则 原式=11.设 0a n （n=1，2，），则下列级数中一定收敛的
11、是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 0a n a n 2 收敛，从而 12.方程 y“3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为（ ）（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x （Acos2x 十 Bsin2x）C.y=axe x +b+xe x （Acos2x+Bsin2x）D.y=axe x +b+e x （Acos2x+Bsin2x） 解析：解析：齐次微分方程 y“3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 3r+2=0 特征根为 r 1 =1，r 2 =2，则方程 y“3y“+2y=e x +1
12、+e x cos2x 的特解为 y=axe x +b+e x （Acos2x+Bsin2x）， 故选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.设 y=（1+sinx） x ，则 dy| x= = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx）解析：解析：等式转换为：y=（1+sinx）e x =e xln（1+sinx） ，于是 y“=e xln（1+sinx） ln（1+sinx）+x 14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y=0 与 x+y=0）解析：解析：显然原点（0，0）不在曲线上，首先求出切点坐标。 设切点为
13、 则切线方程为 把（0，0）代入上式得 x 0 =3 或 x 0 =15。 则斜率分别为 k 1 =y“ | x=3 =1；k 2 =y“|x= 15 = 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x=sint，则17.设函数 f（u）可微，且 f“（0）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4dx2dy）解析：解析：直接利用微分的形式计算，因为 | （1，2） =f x “ （4x 2 一 y 2 ）8x| （1，2） =4， | （1，2） =f
14、y “ （4x 2 一 y 2 ）（一 2y）| （1，2） =一 2， 所以 18.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知， min（x，y）dxdy= 0 1 dy y 3 ydx+ 0 1 dy 0 y xdx= 19.若数列（a n +a 2 ）+（a 3 +a 4 ）+（a 2n1 +a 2n ）+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设 a n 收敛，则级数（a 1 +a 2 ）+（a 3 +
15、a 4 ）+（a 2n1 一+a 2n ）+收敛，与题设矛盾，故 20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2 +y）解析：解析：将 x 看作未知函数，则 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件有 )解析：23.求函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“（x）= =0，可得，x=0，+1。 列表讨论如下： 因此，f（x）的单调增加区间为（1，0）及（1，+），单调减少区间为（一，1）及（
16、0，1）；极小值为 f（1）=f（一 1）=0，极大值为 f（0）= 0 1 )解析：24.设函数 f（x），g（x）在a，b上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（A），f（b）=g（b），证明：存在 （a，b），使得 f“（）=g“（）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F（x）=f（x）g（x），由题设有 F（a）=F（b）=0。又 f（x），g（x）在（a，b）内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 （a，b）使得 （a，b），使 F（c）=0。 在区间a，c，c，b上分别应用罗尔定理知，存在 1 （a，c）
17、， 2 （c，b），使得 F“（ 1 ）=F“（ 2 ）=0。 再对 F“（x）在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理知，存在 （ 1 ， 2 ） )解析：25.设 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 f（x）是以 为周期的周期函数。 （）因为|sinx|的周期为 ，故只需在0，上讨论值域。因为 )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 而且 f（x）是一元函数 f（u）与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量；（xy）是一元函数 （）与二元函数 =x+y 的复合， 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得 )解析：27.求二元函数 z=f（x
18、，y）=x 2 y（4xy）在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求在 D 内的驻点，即 因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为f（2，1）=4。 再求 f（x，y）在 D 边界上的最值 （1）在 x 轴上 y=0，所以 f（x，0）=0。 （2）在 y轴上 x=0，所以 f（0，y）=0。 （3）在 x+y=6 上，将 y=6x 代入 f（x，y）中，得 f（x，y）=2x 2 （x6）， 因此 f x “ =6x 2 24x=0。得 x=0（舍），x=4。所以 y=6x=2。于是得驻点 )解析：28.设 D=（
19、x，y）|x 2 +y 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =（x，y）|0x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =（x，y）|1x 2 +y 2 ，x0，y0。 则 )解析：29.设 a 1 =2，a n+1 = （n=1，2，）。证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）显然 a n 0（n=1，2，），由初等不等式：对任意的非负数 x，y 必有x+y 易知 因此a n 单调递减且有下界，故极限 a n 存在。 （）由a n 单调递减，知 0，则原级数是正项级数。 由 a n 1，得 0 a n a n+1 。 而级数 （a n a n+1 ）的部分
20、和 S n = （a k a k+1 ）=a 1 a n+1 ， )解析：30.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 f（u，）具有连续偏导数，且 f u “ （u，）+f “ （u，）=sin（u+）e u+ ，求y（x）=e 2x f（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y（x）=e 2x f（x，x），有 y“（x）=2e 2x f（x，x）+e 2x f 1 “ （x，x）+f 2 “ （x，x）， 由 f u “ （u，）+f u “ （u，）=sin（u+）e u+ 可得 f 1 “ （x，x）+f 2 “ （x，x）=（sin2x）e 2x 于是 y（x）满足一阶线性微分方程 y“（x）+2y（x）=sin2x 通解为 y（x）=e 2x sin2xe 2x dx+C， 由分部积分公式，可得 )解析：
