1、考研数学三（微积分）-试卷 21 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 xa 时，f（x）与 g（x）分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（ ）f（x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.03.设 f（x）=|（x1）（x2） 2 （x3） 3 |，则导数 f“（x）不存在的点的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设函数 f（x）在（一，
2、+）存在二阶导数，且 f（x）=f（x），当 x0 时有 f“（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有（ ）（分数：2.00）A.f“（x）0，f“（x）0B.f“（x）0，f“（x）0C.f“（x）0，f“（x）0D.f“（x）0，f“（x）05.设 f（x）在（一，+）可导，x 0 0，（x 0 f（x 0 ）是 y=f（x）的拐点，则（ ）（分数：2.00）A.x 0 必是 f“（x）的驻点B.（x 0 ，f（x 0 ）必是 y=f（x）的拐点C.（x 0 ，一 f（x 0 ）必是 y=一 f（x）的拐点D.对任意的 xx 0 与 xx 0 ，y=f（x）的凹凸性相反6.设 f（x）在
3、a，b连续，则 f（x）在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F（x）= a x f（t）dt 在a，b单调增加的（ ）（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.已知 f“（x 0 ，y 0 ）存在，则 （分数：2.00）A.f x “ （x 0 ，y 0 ）B.0C.2f x “ （x 0 ，y 0 ）D.8.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 29.设函数 f（t）连续，则二重积分 f（r 2 ）rdr=（ ） （分数：2.00）
4、A.B.C.D.10.设 p n = n=1，2，则下列命题正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.若函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=y（x）是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 确定的，则 y=y（x）的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_18
5、.设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程（y+x 2 e x ）dxxdy=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数。（分数：2.00）_25.设奇函数 f（x）在1，1上具有二
6、阶导数，且 f（1）=1，证明：（）存在 （0，1），使得f“（）=1；（）存在 （1，1），使得 f“（）+f“（）=1。（分数：2.00）_26.设 f（x）在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_27.设 z=f（x+y，xy，xy），其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：2.00）_28.已知函数 z=f（x，y）的全微分出=2xdx2ydy，并且 f（1，1）=2。求 f（x，y）在椭圆域D=（x，y）| x 2 + （分数：2.00）_29.计算二重积分 x（y+1）d，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y= （分数：2.00）_30.设有正项级数 是
7、它的部分和。（）证明 收敛；（）判断级数 （分数：2.00）_31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 21 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 xa 时，f（x）与 g（x）分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（ ）f（x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm，则 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.0解析：解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义： 关
8、于： 故 f（x）g（x）是 xa的 n+m 阶无穷小； 关于： 若 nm， 故 f（x）/g（x）是 xa 的 nm 阶无穷小； 关于： 例如，x0 时，sinx 与x 均是 x 的一阶无穷小，但3.设 f（x）=|（x1）（x2） 2 （x3） 3 |，则导数 f“（x）不存在的点的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 （x）=（x1）（x2） 2 （x3） 3 ，则 f（x）=| （x）|。使 （x）=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f（x）的不可导点，还需考虑 “（x）在这些点的值。“（x）=（x2） 2 （x3） 3 +2（x1）（x2）（x
9、3） 3 +3（x1）（x2）2（x3） 3 ，显然，“（1）0，“（2）=0，“（3）=0，所以只有一个不可导点 x=1，故选 B。4.设函数 f（x）在（一，+）存在二阶导数，且 f（x）=f（x），当 x0 时有 f“（x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有（ ）（分数：2.00）A.f“（x）0，f“（x）0B.f“（x）0，f“（x）0C.f“（x）0，f“（x）0 D.f“（x）0，f“（x）0解析：解析：由 f（x）=f（x）可知，f（x）为偶函数，因可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，即 f“（x）为奇函数，f“（x）为偶函数，因此当 x0 时，有 f“（
10、x）0，f“（x）0，则当 x0 时，有 f“（x）0，f“（x）0。故选 C。5.设 f（x）在（一，+）可导，x 0 0，（x 0 f（x 0 ）是 y=f（x）的拐点，则（ ）（分数：2.00）A.x 0 必是 f“（x）的驻点B.（x 0 ，f（x 0 ）必是 y=f（x）的拐点 C.（x 0 ，一 f（x 0 ）必是 y=一 f（x）的拐点D.对任意的 xx 0 与 xx 0 ，y=f（x）的凹凸性相反解析：解析：从几何意义上分析，y=f（x）与 y=f（x）的图形关于原点对称。x 0 0，（x 0 ，f（x 0 ）是 y=f（x）的拐点，那么（x 0 ，f（x 0 ）是 y=一 f
11、（x）的拐点。故选 B。6.设 f（x）在a，b连续，则 f（x）在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F（x）= a x f（t）dt 在a，b单调增加的（ ）（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：已知 g（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，则 g（x）在a，b单调增加 g“（x）0（x（a，b），在（a，b）内的任意子区间内 g“（x）0。因此，F（x）= 0 x f（t）dt（在a，b可导）在a，b单调增加 7.已知 f“（x 0 ，y 0 ）存在，则 （分数：2.00）A.f x “ （x 0 ，y 0
12、）B.0C.2f x “ （x 0 ，y 0 ） D.解析：解析：由题意 8.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 2解析：解析：在区域 D=（x，y）|x 2 +y 2 1上，有 0x 2 +y 2 1，从而有 9.设函数 f（t）连续，则二重积分 f（r 2 ）rdr=（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =4，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为x 2 +y 2 =2x，即（x1）2+y 2 =1，因此根据直
13、角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得 10.设 p n = n=1，2，则下列命题正确的是（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若 |a n |收敛，由级数绝对收敛的性质知 a n 收敛。而 p n = 再由收敛级数的运算性质知， 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：将分子化简后，应用等价无穷小因子代换。易知12.若函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）填空项 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析：因 f（x）在 x=1 处连续，则 =f（1）
14、，即 1=a+b。 若函数 f（x）在 x=1 处可导，必须有 f “ （1）=f + “ （1）。 由已知可得 13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设 y=y（x）是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 确定的，则 y=y（x）的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 y“（3y 2 2y+x）=xy，（*） 令 y“=0，有 x=y，代入 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 中，可得 （x1）（2x 2 +x+1）=0。 那么 x=1 是唯一的驻
15、点。 下面判断 x=1 是否为极值点： 在（*）两端对 x 求导得 y“（3y 2 2y+x）+y“（3y 2 2y+x）“ x =1y “，把x=y=1，y“（1）=0 代入上式，得 y“（1）= 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x1=sint，则16.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 x0 时，函数值恒为 0，因此可得17.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1+21n2）dx+（12ln2）dy）解析：解析：18.设平面区域 D 由直线 y=x
16、，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：本题可以利用极坐标变换，19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4，6）解析：解析：幂级数的系数为 a n = 则有 因此，幂级数的收敛半径为 R=1，其收敛区间为（4，6）。当 x=4 时，原级数为 收敛；当 x=6 时，原级数为 20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=Cxe x （x0），C 为任意常数）解析：解析：原方程等价为 21.微分方程（y+x 2 e x ）dxxdy=0 的通解为
17、 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x（e x +C），C 为任意常数）解析：解析：微分方程 （y+x 2 e x ）dxxdy=0， 可变形为 =xe x 所以其通解为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a0 时，显然无实根。以下讨论当 a0 时的情形，由题意知 x=0 显然不是原方程的根， 当 x0
18、 时，f“（x）0；当 0 x2 时 f“（x）0；当 x2 时 f“（x）0。 且 所以当 a0 时 f（x）在区间（一，0）上有唯一实零点。 又在区间（0，+）上， f min (x)=f(2)= -a。 当 a 时，f（x）在区间（0，+）上无实数根；当 =a 时，f（x）在区间（0，+）上有唯一实数根；当 =+，f（x）在（0，+）上有两个实数根。 综上所述，当a0 时，f（x）=0 无实根；当 a0 时，仅当 x0 时，f（x）=0 有唯一实根； 当 =a 时，f（x）=0 仅有两个实根，一正一负；当 )解析：25.设奇函数 f（x）在1，1上具有二阶导数，且 f（1）=1，证明：（
19、）存在 （0，1），使得f“（）=1；（）存在 （1，1），使得 f“（）+f“（）=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 F（x）=f（x）x，F（0）=f（0）=0，F（1）=f（1）1=0， 则由罗尔定理知，存在 （0，1）使得 F“（）=0，即 f“（）=1。 （）令 G（x）=e x f“（x）1，由（）知，存在 （0，1），使 G（）=0，又因为 f（x）为奇函数故 f“（x）为偶函数，知G（）=0，则存在 （一 ，） )解析：26.设 f（x）在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有 a b f（x）dx= a
20、 b f（x）d（x 一 b）=f（a）（ba）一 a b f“（x）（x 一 b）d（x 一 a） =f（a）（ba）+ a b （xa）df“（x）（xb） =f（a）（b 一 a）+ a b b（x 一 a）df（x）+ a b bf“（x）（x 一 a）（x 一 b）dx =f（a）（ba）+f（b）（ba）一 a b f（x）clx+ a b bf“（x）（x 一 a）（x 一 b）dx， 移项并整理后得 a b f（x）dx= )解析：27.设 z=f（x+y，xy，xy），其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 =f 1 “
21、f 2 “ +xf 3 “ ， 所以 =（f 1 “ +f 2 “ +yf 3 “ ）dx+（f 1 “ 一 f 2 “ +xf 3 “ ）dy， )解析：28.已知函数 z=f（x，y）的全微分出=2xdx2ydy，并且 f（1，1）=2。求 f（x，y）在椭圆域D=（x，y）| x 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 =2y，于是 f（x，y）=x 2 +C（y），且 C“（y）=2y，因此有 C（y）=一 y 2 +C，由 f（1，1）=2，得 C=2，故 f（x，y）=x 2 一 y 2 +2。 =B 2 AC=4 0，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是
22、最值点。 得可能极值点x=0，y=2，=4；x=0，y=2，=4；x=1，y=0，=1；x=1，y=0，=1。 将其分别代入f（x，y）得，（0，2）=2，f（1，0）=3，因此 z=f（x，y）在区域 D=（x，y）|x 2 + )解析：29.计算二重积分 x（y+1）d，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入极坐标（r，）满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标（r，）中积分区域D 可表示为 )解析：30.设有正项级数 是它的部分和。（）证明 收敛；（）判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 T n 为 因正项级数的部分和数列 S n 单调上升，将上式放缩 由（）可知 收敛，再由比较原理知， )解析：31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
