1、考研数学三(微积分)-试卷 21 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 xa 时,f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小,则下列命题中,正确的个数是( )f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm,则 (分数:2.00)A.1B.2C.3D.03.设 f(x)=|(x1)(x2) 2 (x3) 3 |,则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.34.设函数 f(x)在(一,
2、+)存在二阶导数,且 f(x)=f(x),当 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时,有( )(分数:2.00)A.f“(x)0,f“(x)0B.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0D.f“(x)0,f“(x)05.设 f(x)在(一,+)可导,x 0 0,(x 0 f(x 0 )是 y=f(x)的拐点,则( )(分数:2.00)A.x 0 必是 f“(x)的驻点B.(x 0 ,f(x 0 )必是 y=f(x)的拐点C.(x 0 ,一 f(x 0 )必是 y=一 f(x)的拐点D.对任意的 xx 0 与 xx 0 ,y=f(x)的凹凸性相反6.设 f(x)在
3、a,b连续,则 f(x)在a,b非负且在a,b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x f(t)dt 在a,b单调增加的( )(分数:2.00)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.已知 f“(x 0 ,y 0 )存在,则 (分数:2.00)A.f x “ (x 0 ,y 0 )B.0C.2f x “ (x 0 ,y 0 )D.8.设 I 1 = (分数:2.00)A.I 3 I 2 I 1B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 29.设函数 f(t)连续,则二重积分 f(r 2 )rdr=( ) (分数:2.00)
4、A.B.C.D.10.设 p n = n=1,2,则下列命题正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:11,分数:22.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_12.若函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_13. (分数:2.00)填空项 1:_14.设 y=y(x)是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 确定的,则 y=y(x)的极值点是 1。(分数:2.00)填空项 1:_15. (分数:2.00)填空项 1:_16.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_17.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_18
5、.设平面区域 D 由直线 y=x,圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成,则二重积分 (分数:2.00)填空项 1:_19.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_20.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_21.微分方程(y+x 2 e x )dxxdy=0 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.求极限 (分数:2.00)_24.设 a 为常数,讨论方程 e x =ax 2 的实根个数。(分数:2.00)_25.设奇函数 f(x)在1,1上具有二
6、阶导数,且 f(1)=1,证明:()存在 (0,1),使得f“()=1;()存在 (1,1),使得 f“()+f“()=1。(分数:2.00)_26.设 f(x)在a,b上有二阶连续导数,证明 (分数:2.00)_27.设 z=f(x+y,xy,xy),其中 f 具有二阶连续偏导数,求 dz 与 (分数:2.00)_28.已知函数 z=f(x,y)的全微分出=2xdx2ydy,并且 f(1,1)=2。求 f(x,y)在椭圆域D=(x,y)| x 2 + (分数:2.00)_29.计算二重积分 x(y+1)d,其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y= (分数:2.00)_30.设有正项级数 是
7、它的部分和。()证明 收敛;()判断级数 (分数:2.00)_31.将函数 f(x)= (分数:2.00)_考研数学三(微积分)-试卷 21 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 xa 时,f(x)与 g(x)分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小,则下列命题中,正确的个数是( )f(x)g(x)是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm,则 (分数:2.00)A.1B.2 C.3D.0解析:解析:此类问题要逐一进行分析,按无穷小阶的定义: 关
8、于: 故 f(x)g(x)是 xa的 n+m 阶无穷小; 关于: 若 nm, 故 f(x)/g(x)是 xa 的 nm 阶无穷小; 关于: 例如,x0 时,sinx 与x 均是 x 的一阶无穷小,但3.设 f(x)=|(x1)(x2) 2 (x3) 3 |,则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )(分数:2.00)A.0B.1 C.2D.3解析:解析:设 (x)=(x1)(x2) 2 (x3) 3 ,则 f(x)=| (x)|。使 (x)=0 的点x=1,x=2,x=3 可能是 f(x)的不可导点,还需考虑 “(x)在这些点的值。“(x)=(x2) 2 (x3) 3 +2(x1)(x2)(x
9、3) 3 +3(x1)(x2)2(x3) 3 ,显然,“(1)0,“(2)=0,“(3)=0,所以只有一个不可导点 x=1,故选 B。4.设函数 f(x)在(一,+)存在二阶导数,且 f(x)=f(x),当 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时,有( )(分数:2.00)A.f“(x)0,f“(x)0B.f“(x)0,f“(x)0C.f“(x)0,f“(x)0 D.f“(x)0,f“(x)0解析:解析:由 f(x)=f(x)可知,f(x)为偶函数,因可导偶函数的导函数是奇函数,可导奇函数的导函数是偶函数,即 f“(x)为奇函数,f“(x)为偶函数,因此当 x0 时,有 f“(
10、x)0,f“(x)0,则当 x0 时,有 f“(x)0,f“(x)0。故选 C。5.设 f(x)在(一,+)可导,x 0 0,(x 0 f(x 0 )是 y=f(x)的拐点,则( )(分数:2.00)A.x 0 必是 f“(x)的驻点B.(x 0 ,f(x 0 )必是 y=f(x)的拐点 C.(x 0 ,一 f(x 0 )必是 y=一 f(x)的拐点D.对任意的 xx 0 与 xx 0 ,y=f(x)的凹凸性相反解析:解析:从几何意义上分析,y=f(x)与 y=f(x)的图形关于原点对称。x 0 0,(x 0 ,f(x 0 )是 y=f(x)的拐点,那么(x 0 ,f(x 0 )是 y=一 f
11、(x)的拐点。故选 B。6.设 f(x)在a,b连续,则 f(x)在a,b非负且在a,b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x f(t)dt 在a,b单调增加的( )(分数:2.00)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析:解析:已知 g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则 g(x)在a,b单调增加 g“(x)0(x(a,b),在(a,b)内的任意子区间内 g“(x)0。因此,F(x)= 0 x f(t)dt(在a,b可导)在a,b单调增加 7.已知 f“(x 0 ,y 0 )存在,则 (分数:2.00)A.f x “ (x 0 ,y 0
12、)B.0C.2f x “ (x 0 ,y 0 ) D.解析:解析:由题意 8.设 I 1 = (分数:2.00)A.I 3 I 2 I 1 B.I 1 I 2 I 3C.I 2 I 1 I 3D.I 3 I 1 I 2解析:解析:在区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 1上,有 0x 2 +y 2 1,从而有 9.设函数 f(t)连续,则二重积分 f(r 2 )rdr=( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =4,而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为x 2 +y 2 =2x,即(x1)2+y 2 =1,因此根据直
13、角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得 10.设 p n = n=1,2,则下列命题正确的是( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:若 |a n |收敛,由级数绝对收敛的性质知 a n 收敛。而 p n = 再由收敛级数的运算性质知, 二、填空题(总题数:11,分数:22.00)11. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:将分子化简后,应用等价无穷小因子代换。易知12.若函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a=2)填空项 1:_ (正确答案:b=1)解析:解析:因 f(x)在 x=1 处连续,则 =f(1)
14、,即 1=a+b。 若函数 f(x)在 x=1 处可导,必须有 f “ (1)=f + “ (1)。 由已知可得 13. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:14.设 y=y(x)是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 确定的,则 y=y(x)的极值点是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x=1)解析:解析:方程两边对 x 求导,可得 y“(3y 2 2y+x)=xy,(*) 令 y“=0,有 x=y,代入 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1 中,可得 (x1)(2x 2 +x+1)=0。 那么 x=1 是唯一的驻
15、点。 下面判断 x=1 是否为极值点: 在(*)两端对 x 求导得 y“(3y 2 2y+x)+y“(3y 2 2y+x)“ x =1y “,把x=y=1,y“(1)=0 代入上式,得 y“(1)= 15. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:令 x1=sint,则16.设函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知 x0 时,函数值恒为 0,因此可得17.设函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1+21n2)dx+(12ln2)dy)解析:解析:18.设平面区域 D 由直线 y=x
16、,圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成,则二重积分 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:本题可以利用极坐标变换,19.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4,6)解析:解析:幂级数的系数为 a n = 则有 因此,幂级数的收敛半径为 R=1,其收敛区间为(4,6)。当 x=4 时,原级数为 收敛;当 x=6 时,原级数为 20.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=Cxe x (x0),C 为任意常数)解析:解析:原方程等价为 21.微分方程(y+x 2 e x )dxxdy=0 的通解为
17、 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x(e x +C),C 为任意常数)解析:解析:微分方程 (y+x 2 e x )dxxdy=0, 可变形为 =xe x 所以其通解为 三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设 a 为常数,讨论方程 e x =ax 2 的实根个数。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 a0 时,显然无实根。以下讨论当 a0 时的情形,由题意知 x=0 显然不是原方程的根, 当 x0
18、 时,f“(x)0;当 0 x2 时 f“(x)0;当 x2 时 f“(x)0。 且 所以当 a0 时 f(x)在区间(一,0)上有唯一实零点。 又在区间(0,+)上, f min (x)=f(2)= -a。 当 a 时,f(x)在区间(0,+)上无实数根;当 =a 时,f(x)在区间(0,+)上有唯一实数根;当 =+,f(x)在(0,+)上有两个实数根。 综上所述,当a0 时,f(x)=0 无实根;当 a0 时,仅当 x0 时,f(x)=0 有唯一实根; 当 =a 时,f(x)=0 仅有两个实根,一正一负;当 )解析:25.设奇函数 f(x)在1,1上具有二阶导数,且 f(1)=1,证明:(
19、)存在 (0,1),使得f“()=1;()存在 (1,1),使得 f“()+f“()=1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 F(x)=f(x)x,F(0)=f(0)=0,F(1)=f(1)1=0, 则由罗尔定理知,存在 (0,1)使得 F“()=0,即 f“()=1。 ()令 G(x)=e x f“(x)1,由()知,存在 (0,1),使 G()=0,又因为 f(x)为奇函数故 f“(x)为偶函数,知G()=0,则存在 (一 ,) )解析:26.设 f(x)在a,b上有二阶连续导数,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:连续利用分部积分法有 a b f(x)dx= a
20、 b f(x)d(x 一 b)=f(a)(ba)一 a b f“(x)(x 一 b)d(x 一 a) =f(a)(ba)+ a b (xa)df“(x)(xb) =f(a)(b 一 a)+ a b b(x 一 a)df(x)+ a b bf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx =f(a)(ba)+f(b)(ba)一 a b f(x)clx+ a b bf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx, 移项并整理后得 a b f(x)dx= )解析:27.设 z=f(x+y,xy,xy),其中 f 具有二阶连续偏导数,求 dz 与 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意 =f 1 “
21、f 2 “ +xf 3 “ , 所以 =(f 1 “ +f 2 “ +yf 3 “ )dx+(f 1 “ 一 f 2 “ +xf 3 “ )dy, )解析:28.已知函数 z=f(x,y)的全微分出=2xdx2ydy,并且 f(1,1)=2。求 f(x,y)在椭圆域D=(x,y)| x 2 + (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据题意可知 =2y,于是 f(x,y)=x 2 +C(y),且 C“(y)=2y,因此有 C(y)=一 y 2 +C,由 f(1,1)=2,得 C=2,故 f(x,y)=x 2 一 y 2 +2。 =B 2 AC=4 0,所以点(0,0)不是极值点,也不可能是
22、最值点。 得可能极值点x=0,y=2,=4;x=0,y=2,=4;x=1,y=0,=1;x=1,y=0,=1。 将其分别代入f(x,y)得,(0,2)=2,f(1,0)=3,因此 z=f(x,y)在区域 D=(x,y)|x 2 + )解析:29.计算二重积分 x(y+1)d,其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:引入极坐标(r,)满足 x=rcos,y=rsin,在极坐标(r,)中积分区域D 可表示为 )解析:30.设有正项级数 是它的部分和。()证明 收敛;()判断级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()设 T n 为 因正项级数的部分和数列 S n 单调上升,将上式放缩 由()可知 收敛,再由比较原理知, )解析:31.将函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析: