1、考研数学三（微积分）-试卷 20 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+ 3 (x)B.C 1 1 (x)一 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 ( 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)一 3 (x)D.C 1 1 (x)+C 2 2
2、 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1二、解答题(总题数：22，分数：50.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有|y(x)| （分数：2.00）_4.设有微分方程 y“一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_5.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_6.
3、利用变换 x=arctant 将方程 cos 4 x +cos 2 x(2 一 sin2x) （分数：2.00）_7.设 f(x)为偶函数，且满足 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(t 一 x)dt=一 3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_8.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_9.设 u= 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f“(x)+f(x)一 （分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.
4、00）_(2).证明：当 x0 时，e 一 x f(x)1（分数：2.00）_10.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_11.设函数 f(x，y)可微, （分数：2.00）_设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)一 f(1)若 f(1)= （分数：4.00）(1).f(x)
5、；（分数：2.00）_(2).f(x)的极值（分数：2.00）_设函数 f(x)满足 xf“(x)一 2f(x)=一 x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_12.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y “2 之积成反比，比例系数为 （分数：2.00）_13.一条曲线经过点(2，0
6、)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_14.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_15.用变量代换 x=sint 将方程(1 一 x 2 ) （分数：2.00）_16.用变量代换 x=1nt 将方程 （分数：2.00）_17.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_18.飞机以匀速 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 0 时被发现，随即从
7、 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2 (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_19.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_20.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 ，设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分
8、数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 20 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+ 3 (x)B.C 1 1 (x)一 2 (x)+C 2 3 (x)C.C 1 ( 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)一 3 (x)D.C 1 1
9、 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)一 3 (x)， 2 (x)一 3 (x)为方程有 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)一 3 (x)+C 2 2 (x)一 3 (x)+ 3 (x) 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1 一
10、C 1 一 C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选(D)二、解答题(总题数：22，分数：50.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“+ay=f(x)的通解为 y= 0 x f(t)e at dt+Ce 一 ax ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以y=e 一 ax 0 x f(t)e at dt)解析：(2).若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有|y(x)| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，|y|=e 一 ax | 0 x
11、f(t)e at dt|e 一 ax 0 x |f(t)|e at dtke 一 ax 0 x e at dt= )解析：4.设有微分方程 y“一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，y“一 2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x 一 1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x 一 1； 当 x1 时，y“2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(1 一 0)一 e 2 一 1，解得 C 2 =1 一 e 一 2 ，y=(1 一 e 一 2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=
12、e 2 一 1，则得在(一，+)内连续且满足微分方程的函数 )解析：5.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)=xy(x+y)一 f(x)y，Q(x，y)=f“(x)+x 2 y，因为xy(x+y)一 f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x 2 ， 解得 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 =2，由 f(0)=0，f“(0)=1
13、得 C 1 =2，C 2 =1， 所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 2 原方程为xy 2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得 (xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)一2(ycosxdx+sinxdy)+(一 ysinxdx+cosxdy)=0， 即 d( x 2 y 2 +2xy 一 2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为 )解析：6.利用变换 x=arctant 将方程 cos 4 x +cos 2 x(2 一 sin2x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 的特征方程为 2
14、 +2+1=0，特征值为 1 一 2 =一 1，则 )解析：7.设 f(x)为偶函数，且满足 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(t 一 x)dt=一 3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(t 一 x)dt=一 0 x f(t 一 x)d(x 一 f)=一 0 x f(一 u)du= 0 x f(u)du， 则有 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(u)du=一 3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)是奇函数， 于是f“(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f“(x)+2f(x)一 3 0 x f(u)du=一 3x+2 两边
15、对 x 求导数得 f“(x)+2f“(x)一 3f(x)=一 3， 其通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 一 3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1)解析：8.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 )解析：9.设 u= 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 或
16、rf“(r)f“(r)=0， 解得 rf“(r)=C 1 ，由 f“(1)=2 得 C 1 =2，于是 f“(r)= )解析：设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f“(x)+f(x)一 （分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x+1)f“(x)+(x+1)f(x)一 0 x f(t)dt=0，两边求导数，得 (x+1)f“(x)=一(x+2)f“(x) 再由 f(0)=1，f“(0)+f(0)=0，得 f“(0)=一 1，所以 C=一 1，于是 f“(x)= )解析：(2).证明：当 x0 时，e 一 x f(x)1（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，因为 f“(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1 令 g(x)=f(x)e 一x ，g(0)=0，g“(x)=f“(x)+e 一 x = 0，由 )解析：10.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程得 y“一 y=sinx，特征方程为 r 2 1=0，特征根为 r 1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特
18、解为 y * =acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b= 于是方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 一 x 一 sinx，由初始条件得 C 1 =1，C 2 =一 1，满足初始条件的特解为 y=e x 一 e 一 x 一 )解析：11.设函数 f(x，y)可微, （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 得 C=0，即 f(0，y)=siny 又由 )解析：设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a 2 f(a)一 f(1)若 f(1)= （分数：4.00）(1).
19、f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知， 1 a f 2 (x)dx= a 2 f(a)一 f(1)，两边对 a 求导，得 3f 2 (a)=2a(a)+a 2 f“(a) )解析：(2).f(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)= 又因为 )解析：设函数 f(x)满足 xf“(x)一 2f(x)=一 x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf“(x)一 2f(x)
20、=一 x f“(x)一 f“(x)=一 1 f(x)=x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 因为 V“(c)= 0，所以 c= 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)=x 一 )解析：(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=1 一 ，f“(0)=1，曲线 f(x)=x 一 在原点处的切线方程为 y=x， 则 A= )解析：12.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y “2 之积成反比，比例
21、系数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 p(2)=0，所以 C 1 =0，故 y“=p= 进一步解得 因为 y(0)=2，所以 C 2 =0，故曲线方程为 y= )解析：13.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为 Y 一 y=y“(X 一 x)， 令 X=0，则 Y=y 一 xy“，切线与 y 轴的交点为(0，y 一 xy“)， 由题意得 x 2 +x 2 y “2 =4，解得 y“= 积分得 因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为 y= )解析：14.设曲
22、线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对曲线 L 1 ，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =一 1，故 L 1 :y=2x 2 一 x 对曲线 L 2 ，由题意得 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 2 =一 1，故 L 2 ：y=2 一 由 2x 2 x 一 2 一 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1)， 故两条曲线所围成
23、区域的面积为 )解析：15.用变量代换 x=sint 将方程(1 一 x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.用变量代换 x=1nt 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得 因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p| x=0 =1，从而 y“= 因为曲线过点(0，1)，所以 C 2 =1+ 所求曲线为 因为 时函数取得极大值 )解析：18.飞机以匀速 沿
24、 y 轴正向飞行，当飞机行至 0 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2 (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 进一步解得 故轨迹方程为 )解析：19.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到 400，求前 12 小时后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻细菌总数为 S，则有 =kS，S(0)=100，S(24)=400， )解析：20.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 ，设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为 流出湖的污染物 A 的含量为 则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 于是 )解析：
