1、考研数学三（微积分）-试卷 18 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数3.设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小4.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续5.设
2、 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导6.若 f(x)=一 f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)07.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f“(a)
3、存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_12.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设函数 f(x)在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1 证明：存在(0，3)，使得 f“()=0（分数：2.00）_15
4、.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 +( 一 1)f()=0（分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)
5、f( （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_22.95设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且
6、 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0（分数：2.00）_24.设 ba0，证明： （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上满足f“(x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： f“(a)+f“(b)2(b 一 a)（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f“(x) （分数：2.00）_27.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f“(a)=g“(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数：2
7、.00）_28.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 18 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少 C.恒等于零D.非单调函数解析：解析： ， 令 h(x)=xf“(x)一 f(x)，h(0)=0，h“(x)=xf“(x)0(0xa)， 由 ，得 h(
8、x)0(0xa)， 于是3.设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+0(x)，所以ydy 是x 的高阶无穷小，选 A4.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：5.设 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析：因 =3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续 因为 ，所以 f(x)在 x=1 处可导 当x1 时，f“(x)=2x+
9、1，因为6.若 f(x)=一 f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f“(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一，0)内 f“(x)0，选 C7.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析：由二、填空题(总题数：5，分
10、数：10.00)8.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f“(a)）解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，9.设 f“(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （
11、正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析： 12.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设函数 f(x)在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1 证明：存在(0，3)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0
12、，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2，使得f(c)=1 因为 f(x)在c，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在(c，3) )解析：15.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 “()=0，即 由于 g(b)=0
13、及 g“(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0， 从而就有 )解析：16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(b)lnxf(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0 )解析：解析：由17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a
14、，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F“()=0，而 F“(x)=f“(x)g(b)+f(a)g“(x)一 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，所以 )解析：解析：这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下把结论中的 换成 x 得18.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 +( 一 1)f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (x)= )解析：解析：19.
15、设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(a)0，f(b)0，f( )x f(x)，则 “(x)=e x f“(x)一 f(x) 因为 (a)0， ， 使得 ( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 (，) )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=x 2 ，F(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ，再由微分中值定理，存在车(口，多)，使得 )解析：22.95设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f“( 1 )=f“( 2 )， 又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理
17、，存在(，) )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得 )解析：24.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)= ，
18、其中(a，b) 因为 0ab，所以 )解析：25.设 f(x)在a，b上满足f“(x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： f“(a)+f“(b)2(b 一 a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为 f(x)在a，b上的最小值，从而 f“(c)=0 由微分中值定理得 )解析：26.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：27.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f“(a)=g“(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)一 g(x)，显然 (a)=“(a)=0，“(x)0(xa) )解析：28.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2x 一 ln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f“(0)=0； )解析：
