1、考研数学三（微积分）-试卷 16 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D.3.微分方程 y“一 y“一 6y=(x+1)e 2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+6)e 2xB.ax 2 e 2xC.(ax 2 +bx)e 2xD.x 2 (ax+b)e 2x二、填空题(总题数：11，分数
2、：22.00)4.微分方程 y“+4y=4x 一 8 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 2y“=3y。满足初始条件 y(2)=1，y“(一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_8.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为
3、 2（分数：2.00）填空项 1:_9.以 y=C 1 e 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 y“一 3y+ay=一 5e x 的特解形式为 Axe x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续，且 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.差分方程 y x+1 一 y x =x2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_1
4、4.差分方程 y x+1 件一 y t =2t 2 +1 的特解形式为 y t * = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_17.求微分方程 y“一 y“一 6y=0 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解（分数：2.00）_19.求微分方程 y“一 y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_20.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2
5、x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_21.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_22.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_23.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_24.求微分方程 y“+y=x 3 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_25.求微分方程 xy“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_26.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度
6、成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_28.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_29.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_30
7、.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_31.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 16 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y=y(x
8、)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D. 解析：解析：3.微分方程 y“一 y“一 6y=(x+1)e 2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+6)e 2xB.ax 2 e 2xC.(ax 2 +bx)e 2x D.x 2 (ax+b)e 2x解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 =一 2， 2 =3，而一 2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e 2x ，选 C二、填空题(总题数：11，分数：22.00)4.微分方程 y“+4y=4x 一 8 的
9、通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 cos2x+C 2 sin2x+x 一 2）解析：解析：微分方程两个特征值为 1 =一 2i， 2 =2i， 则微分方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x+x 一 25.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意得 y(0)=0，y“(0)=2， y“一 6y“+9y=e 3x 的特征方程为 2 一 6+9=0，特征值为
10、1 = 2 =3， 令 y“一 6y“+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 a= ， 故通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x + 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 y(x)=2xe 3x + 6.微分方程 2y“=3y。满足初始条件 y(2)=1，y“(一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y
11、=3e 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x一 19； y=C 1 e 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2）解析：解析：显然 =一 4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2 + 一12=0，特征值为 1 =一 4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“一 12y=Q(x)的一个特解， 所以Q(x)=2+2x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x
12、一 19， 且通解为 y=C 1 e 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中C 1 ，C 2 为任意常数)9.以 y=C 1 e 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+y“一 2y=一 sinx 一 3cosx）解析：解析：特征值为 1 =一 2， 2 =1，特征方程为 2 + 一 2=0， 设所求的微分方程为 y“+y“一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y“一 2y=一 sinx 一3cosx10
13、.设 y“一 3y+ay=一 5e x 的特解形式为 Axe x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 4x +xe x）解析：解析：因为方程有特解 Axe x ，所以一 1 为特征值，即(一 1) 2 一 3(一 1)+a=0a=一 4，所以特征方程为 一 3 一 4=0 1 =一 1， 2 =4，齐次方程 y“一 3y“+ay=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 4x ，再把 Ax e x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 4x +xe x 11.设 f(x)连续，且 0
14、1 f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x）解析：解析：由 0 1 f(x)+xf(xt)dt=1 得 0 1 f(x)dt+ 0 1 f(xt)d(xt)=1，整理得 f(x)+ 0 x f(u)du=1，两边对 x 求导得 f“(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce x ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e x 12.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y x+1 +2y x =0 的通解为 y=C(一
15、2) x ， 令 y x+1 +2y x =5x 2 的特解为 y 0 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ，代入原方程整理得 3a 0 +a 1 +a 2 +(3a 1 +2a 2 )x+3a 2 x 2 =5x 2 ，解得 13.差分方程 y x+1 一 y x =x2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C+(x 一 2)2 x）解析：解析：y x+1 y x =0 的通解为 y=C(1) x =C， 令 y x+1 一 y x =x2 x 的特解为 y 0 =(ax+b)2 x ， 代入原方程得 y 0 =(x 一 2)2 x ，原方程
16、的通解为 y=C+(x 一 2)2 x 14.差分方程 y x+1 件一 y t =2t 2 +1 的特解形式为 y t * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(at 2 +bt+c)）解析：解析：p=1，f(t)=2t 2 +1，故特解形式为 y t * =t(at 2 +bt+c)三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求微分方程 y“一 y
17、“一 6y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 一 一 6=0，特征值为 1 =一 2， 2 =3，则原方程的通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 3x )解析：18.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x )解析：19.求微分方程 y“一 y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 一 +2=0，特征值为 ， 则原方程的通解为 )解析：20.设二阶常系数齐次线
18、性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =一 1， 2 =2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 2y=0)解析：21.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2 一 3=0，特征值为 1 =1， 2 =一 3，则 y“
19、+2y“一 3y=0的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+6)e x ，代入原方程得 )解析：22.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 y“一 2y“=e 2x ，特征方程为 r 2 一 2r=0，其对应的齐次线性微分方程的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y * =Axe 2x ，代入原方程得 A= ，从而原方程的通解为 y=C 1 +(C 2 + )解析：23.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 ； (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e 2x ，代入原方程得 )解析：24.求微分方程 y“+y=x 3 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =一 1， 2 =i， 方
21、程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； )解析：25.求微分方程 xy“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 u(t)，阻力 解此微分方程得 v(t)=v 0 e t 由 v 0 e t = 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点
22、所经过的路程为 )解析：27.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y“(Xx) 令 X=0，则 Y=yxy“，故A 点的坐标为(0，yxy“) )解析：29.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此
23、曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 )解析：30.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 )解析：31.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 )解析：
