1、考研数学三（微积分）-试卷 14 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：40.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)在 0 处可导，则|f(x)|在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)04.设 f(x)为单
2、调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= （分数：2.00）A.B.C.D.45.设 f(x)在 x 一 a 的邻域内有定义，且 f“ + (a)与 f“ 一 (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导6.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x 一 x 0 | 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x 一 x 0 | 内可导C.若 f(
3、x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 f“(x)存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且f“(x 0 )= D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 7.f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续8.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)可导，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.下列说法中正确的是( )
4、（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 一 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值12.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)
5、的拐点13.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点14.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点15.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f “2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )
6、（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点16.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点17.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在
7、(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个18.设 k0，则函数 f(x)=1nx 一 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个19.曲线 y= （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条20.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如下页图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程
8、或演算步骤。_22.设 x=x(t)由 sint 一 1 x 一 t eu 2 du=0 确定，求 （分数：2.00）_23.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_24.设 f(x)= （分数：2.00）_25.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)一 2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.设 f(x)= （分数：2.00）_设
9、 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f( （分数：4.00）(1).存在 ( （分数：2.00）_(2).对任意的 k(一，+)，存在 (0，)，使得 f“()一 kf()一 =1（分数：2.00）_29.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= （分数：2.00）_30.质量为 lg 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cm/s外力为 392cm/s 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少？（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 14 答案解析(总分：6
10、2.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：20，分数：40.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)在 0 处可导，则|f(x)|在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续解析：解析：由 f(x)在 x 0 处可导得|f(x)|在 x 0 处连续，但|f(x)|在 x 0 处不一定可导，如 f(x)=x在 x=0 处可导，但f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，选(C)3.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有( )（
11、分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)=一 f(x)，f“(一 x)=f“(x)，f“(一 x)=一 f“(x)，即 f“(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，选(A)4.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= （分数：2.00）A.B. C.D.4解析：解析：因为5.设 f(x)在 x 一
12、a 的邻域内有定义，且 f“ + (a)与 f“ 一 (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解析：因为 f + “ (a)存在，所以 存在，于是 6.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x 一 x 0 | 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x 一 x 0 | 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 f“(x)存在，则 f
13、(x)在 x 0 处可导，且f“(x 0 )= D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：解析：设 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x 0 0，因为 不存在，所以 f(x)在 x 0 处不连续，(A)不对；同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 ，处也不可导，(B)不对；因为 =f“()，其中 介于 x 0 与 x 之间，且 存在，所以 也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 f“(x 0 )= ,选(C)；令 7.f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C
14、.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 解析：解析：显然 f(x)在 x=0 处连续，因为 所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时， 当 x0 时，8.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：9.设 f(x)可导，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：10.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：11.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若
15、f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 一 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析： 则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，(A)不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对；12.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.
16、f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：13.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =0 得 g(0)=g“(0)=0，f“(0)=0， f“(x)=一 2x 2 + 0 x g(x 一 t)dt=一 2x 2 一 0 x g(x 一 t)d(x 一 t)=一 2x 2 + 0
17、x g(u)du，f“(x)=一 4x+g(x)，f“(0)=0，f“(x)=一 4+g“(x)，f“(0)=一 40，因为 所以存在 0，当 0|x| 时， 14.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：因为 f(x)二阶连续可导，且 =0，即 f(0)=0又 =一 10由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，有15.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f “2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.0
18、0）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f“(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=12f“(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0|x| 时，f“(x)0，再由 f“(0)=0，得16.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导
19、，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令17.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析：因为 f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f“(a)(x 一 a)+ 故18.设 k0，则函数 f(x)=1nx 一 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 f“(x)= =0 得 x=e，当 0xe 时
20、，f“(x)0；当xe 时，f“(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又19.曲线 y= （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析：因为 =，所以曲线 y= 无水平渐近线； 由 =+，得曲线 y= 有两条铅直渐近线； 由 (y 一 x)=0，得曲线 y=20.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如下页图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个极小点，两个拐点解析：解析：设
21、当 x0 时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 3 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f“(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则 x=x 2 为f(x)的极小点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f“(x)0，则 x=x
22、4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)二、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.设 x=x(t)由 sint 一 1 x 一 t eu 2 du=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答
23、案：(正确答案： 因为 f 一 “ (0)f + “ (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 于是 令f“(x)=0 得 x=一 1 或 x= 当 x一 1 时，f“(x)0；当一 1x0 时，f“(x)0；当 0x 时，f“(x)0； 当 x 时，f“(x)0 故 x=一 1 为极小点，极小值 f(一 1)=1 一 ；x=0 为极大点，极大值f(0)=1； x= 为极小点，极小值 )解析：25.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 )解析：26.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)一 2e x
24、(x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以|x 一 1|，得)解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 由 f(x)在 x=0 处可导，得 b=1，即由 f“(0)存在，得 )解析：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f( （分数：4.00）(1).存在 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确
25、答案：令 (x)=f(x)一 x，(x)在0，1上连续， (1)=一 10，由零点定理，存在 )解析：(2).对任意的 k(一，+)，存在 (0，)，使得 f“()一 kf()一 =1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e 一 kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，17)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F“()=0，整理得 f“()一 kf()一 =1)解析：29.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 f“ (1)=0.由积分中值定理得 由罗尔定理，存在 x 0 (f，2) (1，2)，使得 f“(x 0 )=0 令 (x)=e x f“(x)，则 (1)=cp(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在(1，x 0 ) )解析：30.质量为 lg 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cm/s外力为 392cm/s 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 F= ，因为当 f=10 时，=50，F=392，所以 k=196， 从而 F=分离变量得 d=196tdt， )解析：
