1、考研数学三（微积分）-试卷 13 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.把 x0 + 时的无穷小量 =cost 2 dt，= （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，3.设 f（x）在点 x=a 处可导，则函数|f（x）|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.f（a）=0，且 f“（a）=0B.f（a）=0，且 f“（A）0C.（a）0，且 f“（A）0D.（a）0，且 f“（A）04.设函数 f（x）在（0，+）上具有二
2、阶导数，且 f“（x）0，令 u n =f（n）（n=1，2，），则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散5.已知函数）y=f（x）对一切的 x 满足 xf“（x）+3xf“（x） 2 =le x ，若 f“（x 0 ）=0（x 0 0），则（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ）是 f（x）的极大值B.f（x 0 ）是 f（x）的极小值C.（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（x 0 ）不是 f（x）
3、的极值，（x 0 f（x 0 ）也不是曲线 y=f（x）的拐点6.曲线 y=x（x1）（2x）与 x 轴所围成的图形面积可表示为（ ）（分数：2.00）A. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dxB. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx 一 x（x 一 1）（2 一 x）dxC. 0 1 x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 1 2 2x（x 一 1）（2 一 x）dxD. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx7.设函数 z（x，y）由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 “ 0，则 （分数：2.00）A.xB.zC.xD.z8.设函数 f（x，y）连续，则二次
4、积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy +arcsiny 1 f（x，y）dxB. 0 1 dy arcsiny 1 f（x，y）dxC.D.9.已知 （分数：2.00）A.3B.7C.8D.910.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数（m2），则 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 y= （分数：2.00）填空
5、项 1:_13.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 z=z（x，y）由方程（z+y） x =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 z=xg（x+y）+y（xy），其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.二元函数 f（x，y）=x 2 （2+y 2 ）+ylny 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.已知幂级数 a n x n 在 x=l 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 xy“+
6、2y=sinx 满足条件 y| x= = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.证明 4arctanxx+ （分数：2.00）_24.设生产某产品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60- （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.设 f（x）在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_27.设函数 f（u）在（0，+）内具有二阶导数，且 满足等式 （）验证 f“（u）+ （分数：2.00）_28.
7、设 D=（x，y）|（x1） 2 +（y1） 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_29.求幂级数 （分数：2.00）_30.求微分方程 y“3y“+2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 13 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.把 x0 + 时的无穷小量 =cost 2 dt，= （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：因为3.设 f（x）在点 x=a 处可导，则函数|f（x）|在点 x
8、=a 处不可导的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.f（a）=0，且 f“（a）=0B.f（a）=0，且 f“（A）0 C.（a）0，且 f“（A）0D.（a）0，且 f“（A）0解析：解析：若 f（A）0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。（当 f（x）在 x=a 可导，且f（a）0 时，|f（x）|在 x=a 点可导。） 当 f（a）=0 时，4.设函数 f（x）在（0，+）上具有二阶导数，且 f“（x）0，令 u n =f（n）（n=1，2，），则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C
9、.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 解析：解析：本题依据函数 f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列u n =f（n）的敛散性。 取f（x）=lnx，f“（x）= 0，u 1 =ln1=0ln2=u 2 ，而 f（n）=lnn，发散，则可排除A； 取 收敛，则可排除 B； 取 f（x）=x 2 ，f“（x）=2 0，u 1 =14=u 2 ，而 f（n）=n 2 发散，则可排除 C；故选 D。 事实上，若 u 1 u 2 ，则 5.已知函数）y=f（x）对一切的 x 满足 xf“（x）+3xf“（x） 2 =le x ，若 f“（x 0 ）=
10、0（x 0 0），则（ ）（分数：2.00）A.f（x 0 ）是 f（x）的极大值B.f（x 0 ）是 f（x）的极小值 C.（x 0 ，f（x 0 ）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（x 0 ）不是 f（x）的极值，（x 0 f（x 0 ）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：由 f“（x 0 ）=0 知，x=x 0 是 y=f（x）的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f“（x 0 ）+3x 0 f“（x 0 ） 2 =1e x0 ，即得 f“（x 0 ）= 6.曲线 y=x（x1）（2x）与 x 轴所围成的图形面积可表示为（ ）（分数：2.00）A. 0 2 x（x 一 1）
11、（2 一 x）dxB. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx 一 x（x 一 1）（2 一 x）dxC. 0 1 x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 1 2 2x（x 一 1）（2 一 x）dx D. 0 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx解析：解析：由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考 查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上， S= 0 2 |y|dx= 0 2 |x（x1）（2x）|dx = 0 1 |x（x 一 1）（2 一 x）|dx+ 1 2 |x（x 一 1）（2 一 x）|dx = 0 1 x
12、（x 一1）（2 一 x）dx+ 1 2 x（x 一 1）（2 一 x）dx。7.设函数 z（x，y）由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 “ 0，则 （分数：2.00）A.xB.z C.xD.z解析：解析：对已知的等式 两边求全微分可得8.设函数 f（x，y）连续，则二次积分 （分数：2.00）A. 0 1 dy +arcsiny 1 f（x，y）dxB. 0 1 dy arcsiny 1 f（x，y）dx C.D.解析：解析：由题设可知，9.已知 （分数：2.00）A.3B.7C.8 D.9解析：解析： 10.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p（x）y
13、=q（x）的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由已知条件可得二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数（m2），则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：maxa 1 ，a 2 ，a m ）解析：解析：假设 a 1 为最大值，则 原式= =a 1 .1=a 1 。 因此 12.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：等式两边取对数，则有13.设函数 y= （分数：
14、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。因为 于是所求斜渐近线方程为15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x1=t，则16.设函数 z=z（x，y）由方程（z+y） x =xy 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：221n2）解析：解析：把点（1，2）代入（z+y） x =xy，得到 z（1，2）=0。在（z+y）x=xy 两边同时对
15、 x 求偏导数， 有 将 x=1，y=2，z（1，2）=0 代入得 17.设 z=xg（x+y）+y（xy），其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：g“（x+y）+xg“（x+y）+2y“（xy）+xy 2 “（xy）解析：解析：由题干可知，18.二元函数 f（x，y）=x 2 （2+y 2 ）+ylny 的极小值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知， f x “ =2x（2+y 2 ），f y “ =2x 2 y+lny+1。 19.已知幂级数 a n x n 在 x=l 处条件收敛，则
16、幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题干已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 20.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y| x= = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*（smxxcosx）解析：解析：将已知方程变形整理得，三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.证明 4arctanx
17、x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设生产某产品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 P=60 ，因此 Q=1 000（60P）。由 总成本 C（P）=60 000+20Q=1260 00020 000P， 总收益 R（P）=PQ=1000P 2 +60 000P， 总利润 L（P）=R（P）C（P）=1 000P 2 +80 000P1 260 000。 （）边际利润 L“（P）=2 000P+80 000。 （）当P=50 时的边际利润为 L“（50）=2 00050+80
18、 000=20 000，其经济意义为在 P=50 时，价格每提高 1元，总利润减少 20 000 元。 （）由于 )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f（x）在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设 )解析：27.设函数 f（u）在（0，+）内具有二阶导数，且 满足等式 （）验证 f“（u）+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 D=（x，y）|（x1） 2 +（y1） 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：
19、(正确答案： )解析：30.求微分方程 y“3y“+2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 3r+2=0，由此得 r 1 =2，r 2 =1。即对应齐 次方程的通解为 Y=C 1 e 2x +C 2 e x 设非齐次方程的特解为 y * =（ax+b）xe x 则 （y“）“=ax 2 +（2a+b）x+be x （y * ）“=ax 2 +（4a+b）x+2a+2be x ， 代入原方程得 a=1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x x（x+2）e x 。（C 1 ，C 2 为任意常数）。)解析：
